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- 2021-06-15 发布
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第三节 利用导数研究
函数的极值、最值
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养
·
微专题
核心素养测评
【
教材
·
知识梳理
】
1.
函数的极值与导数
(1)
函数的极小值与极小值点
:
条
件
函数
值
函数
f(x)
在点
x=a
处的函数值
f(a)
比它在点
x=a
附近其
他点的函数值
_____
导数
f′(a)=0,
而且在点
x=a
附近的左侧
_________,
右侧
_________
结论
点
a
叫做函数的极小值点
,f(a)
叫做函数的极小值
.
都小
f′(x)<0
f′(x)>0
(2)
函数的极大值与极大值点
:
条
件
函数
值
若函数
f(x)
在点
x=b
处的函数值
f(b)
比它在点
x=b
附近
其他点的函数值
_____
导数
f′(b)=0,
而且在点
x=b
附近的左侧
_________,
右侧
_________
结论
点
b
叫做函数的极大值点
,f(b)
叫做函数的极大值
.
都大
f′(x)>0
f′(x)<0
2.
函数的最值与导数
(1)
函数
f(x)
在
[a,b]
上有最值的条件
:
如果在区间
[a,b]
上函数
y=f(x)
的图象是一条
_________
的曲线
,
那么它必有最大
值和最小值
.
(2)
求
y=f(x)
在
[a,b]
上的最大
(
小
)
值的步骤
:
①
求函数
y=f(x)
在
(a,b)
内的
_____;
②
将函数
y=f(x)
的各极值与
________________________
比较
,
其中最大的一个是
最大值
,
最小的一个是最小值
.
连续不断
极值
端点处的函数值
f(a),f(b)
【
知识点辨析
】
(
正确的打“√”
,
错误的打“
×”)
(1)
函数
f(x)
在区间
(a,b)
内一定存在最值
. (
)
(2)
函数的极大值一定比极小值大
. (
)
(3)
对于可导函数
f(x),f′(x
0
)=0
是
x
0
为极值点的充要条件
. (
)
(4)
函数的最大值不一定是极大值
,
最小值也不一定是极小值
. (
)
提示
:
(1)×.
例如函数
f(x)=x,
在
(1,2)
内不存在最值
.
(2)×.
函数的极大值比局部的函数值大
,
不一定大于极小值
.
(3)×.
对可导函数
f(x),f′(x
0
)=0
是
x
0
为极值点的必要条件
.
(4)√.
最值和极值是不同的概念
.
函数的最值可能是极值
,
也可能是在区间端点处取得
.
【
易错点索引
】
序号
易错警示
典题索引
1
f(x)
与
f′(x)
的图象混淆
考点一、角度
1
2
忽视单调函数无极值
考点一、角度
2
3
含参最值问题
,
忽视分类讨论
,
最值确定不当
考点二、典例
4
实际问题中题意理解不准确
,
定义域确定出错
考点三、典例
【
教材
·
基础自测
】
1.(
选修
2-2 P31
例
2
改编
)
函数
f(x)
的定义域为
R,
导函数
f ′(x)
的图象如图所示
,
则函数
f(x) (
)
A.
无极大值点、有四个极小值点
B.
有三个极大值点、一个极小值点
C.
有两个极大值点、两个极小值点
D.
有四个极大值点、无极小值点
【
解析
】
选
C.
设
f ′(x)
的图象与
x
轴的
4
个交点的横坐标从左至右依次为
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
.
当
x0, f(x)
为增函数
,
当
x
1
0,
所以
f(x)
在
(-1,1),(3,5)
上为增函数
,
当
10
得
x<1,
由
g′(x)<0
得
x>1;
即当
x=1
时
,
函数
g(x)
取得极大值同时也是最大值
,g(1)= ,
又
g(0)=0,
当
x>0
时
,g(x)>0;
作出函数的简图如图
:
因为
g(x)
与直线
y=-a
有两不同交点
,
所以
0<-a< ,
即
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