山东专用2021版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第12讲第2课时导数在研究函数中的应用课件 42页

第二章 函数、导数及其应用 第十二讲　导数在研究函数中的应用 第二课时　导数与函数的极值、最值 1　　知识梳理 • 双基自测 2　　考点突破 • 互动探究 3　　名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 知识点一　函数的极值 1．函数的极值 ( 1 ) 设 函 数 f ( x ) 在 点 x 0 附 近 有 定 义 ， 如 果 对 x 0 附 近 的 所 有 的 点 ， 都 有 f(x)______f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作f(x)极大值＝f(x0)；如果对x0附 近的所有的点，都有f(x)______f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作f(x)极小 值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值． (2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法： 如果xx0有f′(x)______0，那么f(x0)是极大值． 如果xx0有f′(x)______0，那么f(x0)是极小值． < > > < < > 2．求可导函数f(x)极值的步骤 (1)____________________； (2)____________________________； (3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的______________的符号，如果在根的左侧附近为 正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得__________；如果在根的左侧 附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得__________. 求导数f′(x) 求方程f′(x)＝0的根 根左右的值 极大值 极小值 知识点二　函数的最值 1．函数的最值的概念 设函数y＝f(x)在______________上连续，在______________内可导，函数f(x)在 [a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值． 2．求函数最值的步骤 设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分 两步进行： (1)__________________________________； (2)__________________________________________________________________ ______________ [a，b] (a，b) 求f(x)在(a，b)内的极值 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个 是最小值． 1．f′(x0)＝0与x0是f(x)极值点的关系 函数f(x)可导，则f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝ x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． 2．极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值． 3．极值与最值的关系 极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值的 不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最 值只要不在端点处取，则必定在极值处取． 4．定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值． 题组一　走出误区 1．(多选题)下列结论正确的是(　 　) A．函数的极大值不一定比极小值大 B．导数等于0的点不一定是函数的极值点 C．若x0是函数y＝f(x)的极值点，则一定有f′(x0)＝0 D．函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值 ABCD [解析]　对于A，如图，在x1处的极大值比在x2处的极小值小． 对于B，如y＝x3在x＝0处，导数为0，但不是极值点． 对于C，由极点定义知显然正确． 对于D，如图知正确． 故选A、B、C、D． 题组二　走进教材 2．(多选题)(选修2－2P32AT4改编)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则 下面正确的是(　　) A．x＝1是最小值点 B．x＝0是极小值点 C．x＝2是极小值点 D．函数f(x)在(1,2)上单调递减 [解析]　由导数图象可知，x＝0，x＝2为两极值点，x＝0为极大值点，x＝2为 极小值点，f′(x)在(1,2)上小于0，因此f(x)单调递减，选C、D． CD 3．(选修2－2P32AT5改编)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝1或－1或0 D．x＝0 [解析]　∵f(x)＝x4－2x2＋3，由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x ＝1或x＝－1.又当x<－1时，f′(x)<0，当－10，当01时，f′(x)>0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点． C 4．(选修2－2P32AT6改编)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1－e B．－1 C．－e D．0 B 题组三　考题再现 5．(2017·课标Ⅱ，11)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的 极小值为(　　) A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1 [解析]　由题意可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ ax－1)ex－1的极值点，∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－ 1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)，∴x∈(－∞，－2)，(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递 增；x∈(－2,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.故选A． A 6．(2018·课标Ⅰ，16,5分)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是 ________. 考点突破 • 互动探究 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象 如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 考点一　用导数求解函数极值问题——多维探究 角度1　根据函数图象判断极值 D 例 1 [解析]　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2 处取得极小值．故选D． 例 2 角度2　求函数的极值 可导函数求极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开 区间，并形成表格． (4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个 根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少．f′(x)＝0是函数有极值的必要条 件． (1)已知函数f(x)＝xex在区间(a，a＋1)上存在极值点，则实数a的取值 范围为__________________. (2)(2020·江西八校联考)若函数f(x)＝x2－x＋aln x在[1，＋∞)上有极值点，则实 数a的取值范围为______________________. 角度3　根据极值求参数的取值范围 (－2，－1) 例 3 a∈(－∞，－1] 函数极值问题的常见类型及解题策略： (1)已知导函数图象判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的 点的左、右两侧的导数符号． (2)已知函数求极值．求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根 的两侧的符号→得出结论． (3)已知极值求参数．若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且f(x)在 该点左、右两侧的导数值符号相反． 〔变式训练1〕 (1)(多选题)(角度1)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所 示，则下列叙述不正确的是(　　) A． f(b)>f(a)>f(c) B．函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值 C．函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值 D．函数f(x)的最小值为f(d) ABD B D [解析]　(1)由图可知x∈[a，c]时f′(x)≥0，f(x)单调递增，又a0，f(x)递增；ce 时，f′(x)>0，f(x)递增．∴f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值，B错，C 对；f(d)不是极值，又不是定义域端点的函数值，∴f(d)不是最小值，D错，故选A、 B、D． 例 4 考点二　用导数求函数的最值——师生共研 1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值． (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)． (3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个 为最小值． 2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，一般要根据其极值及单调性画出函 数的大致图象，借图求解． 注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最值点，要通过比较再下结论． B D 名师讲坛 • 素养提升 利用导数研究生活中的优化问题 例 5 函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设，设出自 变量、因变量；二列，列出函数关系式，并写出定义域；三解，解出函数的最值， 一般常用导数求解；四答，回答实际问题． 〔变式训练3〕 已知圆柱的体积为16π cm3，则当底面半径r＝______cm时，圆柱的表面积最 小． 2