2020高中数学 章末综合测评3 导数及其应用 新人教A版选修1-1 10页

章末综合测评(三) 导数及其应用 ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若函数f(x)＝α2－cos x，则f′(α)等于(　　)‎ A．sin α　　　　　　　 B．cos α C．2α＋sin α D．2α－sin α A　[f′(x)＝(α2－cos x)′＝sin x，当x＝α时，f′(α)＝sin α.]‎ ‎2．若曲线y＝在点P处的切线斜率为－4，则点P的坐标是(　　)‎ A. B.或 C. D. B　[y′＝－，由－＝－4，得x2＝，从而x＝±，分别代入y＝，得P点的坐标为，2或－，－2.]‎ ‎3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　) ‎ ‎【导学号：97792179】‎ A．－4 B．－2‎ C．4 D．2‎ D　[f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)递增；当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，函数f(x)递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数递增，所以a＝2.]‎ ‎4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)‎ A．(－∞，2) B．(0,3)‎ C．(1,4) D．(2，＋∞)‎ D　[f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.‎ 由f′(x)>0，得x>2，故选D.]‎ ‎5．过点(0,1)且与曲线y＝在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为(　　)‎ A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋2＝0‎ C．x＋2y－2＝0 D．2x－y＋1＝0‎ D　[y′＝′＝＝，‎ 10‎ ‎∴y′|x＝3＝－，故与切线垂直的直线斜率为2，‎ 所求直线方程为y－1＝2x，‎ 即2x－y＋1＝0.故选D.]‎ ‎6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)‎ A．f(0)＋f(2)<‎2f(1)‎ B．f(0)＋f(2)>‎2f(1)‎ C．f(0)＋f(2)≤‎2f(1)‎ D．f(0)＋f(2)≥‎2f(1)‎ D　[①若f′(x)不恒为0，则当x>1时，f′(x)≥0，当x<1时，f′(x)≤0，‎ 所以f(x)在(1，＋∞)内单调递增，‎ 在(－∞，1)内单调递减．‎ 所以f(2)>f(1)，f(1)‎2f(1)．‎ ‎②若f′(x)＝0恒成立，则f(2)＝f(0)＝f(1)，‎ 综合①②，知f(0)＋f(2)≥‎2f(1)．]‎ ‎7．函数y＝的最大值为(　　)‎ A．e－1　　　　B．e　　　　C．e2　　　　D. A　[y′＝＝，令y′＝0，得x＝e.‎ 当x>e时，y′<0；当00.‎ 故y极大值＝f(e)＝e－1.因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.]‎ ‎8．如图1，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数f′(x)的图象，则f(－1)的值为(　　)‎ 图1‎ A. B．－ C. D．－或 B　[f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，其图象为开口向上的抛物线，故不是图①，图②中，a 10‎ ‎＝0，f′(x)＝x2－1，与已知矛盾；故f′(x)的图象为图③，∴f′(0)＝0，a＝±1，又其对称轴在y轴右边，故a＝－1，∴f(x)＝x3－x2＋1，∴f(－1)＝－.]‎ ‎9．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为(　　)‎ A．10 B．15‎ C．25 D．50‎ C　[设内接矩形的长为x，‎ 则宽为，‎ ‎∴S2＝x2·＝y，‎ ‎∴y′＝50x－x3.‎ 令y′＝0，得x2＝50或x＝0(舍去)，‎ ‎∴S＝625，即Smax＝25.]‎ ‎10．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)‎ A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7‎ C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21‎ A　[f′(x)＝3x2＋2ax＋‎7a，当Δ＝‎4a2－‎84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．]‎ ‎11．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图2所示．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式xf′(x)≤0的解集为 (　　) ‎ ‎【导学号：97792180】‎ 图2‎ A.∪[0,1]∪[2,3)‎ B.∪[1,2]∪ C.∪[2,3)‎ 10‎ D.∪∪ A　[对于不等式xf′(x)≤0，当－即af(b)0)的单调减区间是(0,4)，则k的值是__________．‎ 　[f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝－，‎ 由题意知－＝4，解得k＝.]‎ ‎16．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是__________．‎ ‎[3，＋∞)　[f′(x)＝－3x2＋a，由题意知f′(x)≥0在x∈(－1,1)时恒成立，‎ 即a≥3x2在x∈(－1,1)时恒成立，又x∈(－1,1)时，3x2<3，则a≥3.]‎ 10‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)(1)已知曲线f(x)＝－在x＝4处的切线方程为5x＋16y＋b＝0，求实数a与b的值．‎ ‎(2)直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求实数a的值. ‎ ‎【导学号：97792181】‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝－－，由题意知f′(4)＝－－＝－，‎ 解得a＝1，‎ ‎∴f(x)＝－，f(4)＝－＝－.‎ 即切点为.‎ ‎∵在切线5x＋16y＋b＝0上，‎ ‎∴5×4＋16×＋b＝0，即b＝8，‎ 从而a＝1，b＝8.‎ ‎(2)设直线l和曲线C相切于点P(x0，y0)，‎ 由y′＝3x2－2x得y′|x＝x0＝3x－2x0，‎ 由题意知3x－2x0＝1，解得x0＝－或x0＝1，‎ 于是切点的坐标为或(1,1)．‎ 当切点为时，＝－＋a，即a＝.‎ 当切点为(1,1)时，1＝1＋a，即a＝0(舍去)．‎ ‎∴实数a的值为.‎ ‎18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间与极值．‎ ‎[解]　(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，‎ 由y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知 10‎ f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.‎ ‎(2)由(1)可知f(x)＝＋－ln x－，‎ 则f′(x)＝.‎ 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.‎ 因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，舍去．‎ 当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)上为增函数．‎ 由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5，无极大值．‎ ‎19．(本小题满分12分)设函数y＝f(x)＝4x3＋ax2＋bx＋5在x＝与x＝－1处有极值．‎ ‎(1)写出函数的解析式．‎ ‎(2)指出函数的单调区间．‎ ‎(3)求f(x)在[－1,2]上的最值．‎ ‎[解]　(1)y′＝12x2＋2ax＋b，由题设知当x＝与x＝－1时函数有极值，则x＝与x＝－1满足y′＝0，‎ 即解得 所以y＝4x3－3x2－18x＋5.‎ ‎(2)y′＝12x2－6x－18＝6(x＋1)(2x－3)，列表如下：‎ x ‎(－∞，‎ ‎－1)‎ ‎－1‎ y′‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ y ‎↗‎ y极大值 ‎＝16‎ ‎↘‎ y极小值 ‎＝－ ‎↗‎ 由上表可知(－∞，－1)和为函数的单调递增区间，为函数的单调递减区间．‎ ‎(3)因为f(－1)＝16，f＝－，f(2)＝－11，‎ 所以f(x)在[－1,2]上的最小值是－，最大值为16.‎ ‎20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a>0，b∈R)有极值，且导函数 10‎ f′(x)的极值点是f(x)的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)‎ ‎(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎(2)证明：b2>‎3a；‎ ‎(3)若f(x)，f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于－，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝32＋b－.‎ 当x＝－时，f′(x)有极小值b－.‎ 因为f′(x)的极值点是f(x)的零点，‎ 所以f＝－＋－＋1＝0.‎ 又a>0，故b＝＋.‎ 因为f(x)有极值，故f′(x)＝0有实根，‎ 从而b－＝(27－a3)≤0，即a≥3.‎ 当a＝3时，f′(x)>0(x≠－1)，‎ 故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；‎ 当a>3时，f′(x)＝0有两个相异的实根 x1＝，x2＝.‎ 列表如下：‎ x ‎(－∞，x1)‎ x1‎ ‎(x1，x2)‎ x2‎ ‎(x2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 故f(x)的极值点是x1，x2.‎ 从而a>3.‎ 因此b＝＋，定义域为(3，＋∞)．‎ ‎(2)证明：由(1)知，＝＋.‎ 设g(t)＝＋，则g′(t)＝－＝.‎ 当t∈时，g′(t)>0，‎ 10‎ 从而g(t)在上单调递增．‎ 因为a>3，所以a>3，‎ 故g(a)>g(3)＝，即>.‎ 因此b2>‎3a.‎ ‎(3)由(1)知，f(x)的极值点是x1，x2，且x1＋x2＝－a，‎ x＋x＝.‎ 从而f(x1)＋f(x2)＝x＋ax＋bx1＋1＋x＋ax＋bx2＋1‎ ‎＝(3x＋2ax1＋b)＋(3x＋2ax2＋b)＋a(x＋x)＋b(x1＋x2)＋2‎ ‎＝－＋2＝0.‎ 记f(x)，f′(x)所有极值之和为h(a)，‎ 因为f′(x)的极值为b－＝－a2＋，‎ 所以h(a)＝－a2＋，a>3.‎ 因为h′(a)＝－a－<0，‎ 于是h(a)在(3，＋∞)上单调递减．‎ 因为h(6)＝－，于是h(a)≥h(6)，故a≤6.‎ 因此a的取值范围为(3,6]．‎ ‎21．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.‎ ‎(1)求函数的解析式．‎ ‎(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝3ax2－b，由题意知 即，解得 故f(x)＝x3－4x＋4.‎ ‎(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4‎ ‎＝(x－2)(x＋2)，‎ 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：‎ 10‎ x ‎(－∞，－2)‎ ‎－2‎ ‎(－2,2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎－ ‎↗‎ 因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有极小值－，‎ 所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如图所示．‎ 若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－