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  • 2021-06-15 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版导数与函数、不等式综合问题学案

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‎2018年高考数学专题复习难点突破名师讲练:导数与函数、不等式综合问题 一、考点突破 ‎ 函数与不等式解答题是高考命题的重要题型,解答这类题需要用到导数的相关知识。其命题热点经常是与导数知识的综合考查,出现频率较高的题型是最值、范围问题,单调性或方程根的讨论等综合问题。‎ 二、重难点提示 重点:导数的定义和几何意义;和差积商的导数;复合函数的导数。‎ 难点:导数与函数单调性、极值、最值的关系;利用导数解决不等式、函数零点等问题。‎ 一、知识脉络图 二、知识点拨 ‎1. 导数的定义:‎ ‎2. 导数的几何意义:‎ ‎(1)函数在点处的导数,就是曲线在点处的切线的斜率;‎ ‎(2)函数在点处的导数,就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度;‎ ‎3. 要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意:‎ 和。‎ ‎4. 求函数单调区间的步骤:‎ ‎(1)确定f(x)的定义域 ‎(2)求f(x)的导数 ‎(3)令y′>0(y′<0),解出相应的x的范围。当y′>0时,f(x)在相应区间上是增函数;当y′<0时,f(x)在相应区间上是减函数 ‎5. 求极值常按如下步骤:‎ ‎①确定函数的定义域;‎ ‎②求导数;‎ ‎③求方程=0的根及导数不存在的点,这些根或点也称为可能极值点;‎ ‎④通过列表法,检查在可能极值点的左右两侧的符号,确定极值点。‎ ‎6. 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤如下:‎ ‎(1)求f(x)在(a,b)内的极值;‎ ‎(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。‎ ‎7. 最值(或极值)点必在下列各种点之中:导数等于零的点、导数不存在的点、端点。‎ 能力提升类 例1 已知函数其中 ‎(Ⅰ)当时,求曲线处的切线的斜率;‎ ‎(Ⅱ)当时,求函数的单调区间与极值。 ‎ 一点通:‎ ‎(Ⅰ)把a=0代入f(x)中化简得到f(x)的解析式,求出f '(x),因为曲线的切点为(1,f(1)),所以把x=1代入f '(x)中求出切线的斜率,把x=1代入f(x)中求出f(1)的值得到切点坐标,根据切点和斜率写出切线方程即可;‎ ‎(Ⅱ)令f '(x)=0求出x的值为x=-‎2a和x=a-2,分两种情况讨论:①当-‎2a<a-2时和②当-‎2a>a-2时,讨论f '(x)的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性即可得到函数的最值。‎ 答案:(I)‎ ‎(II) ‎ 以下分两种情况讨论。‎ ‎(1)>,则<。当变化时,的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ ‎(2)<,则>,当变化时,的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ 点评:本题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。‎ 综合运用类 例2 已知函数(),其中。‎ ‎(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若函数仅在处有极值,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围。‎ 一点通:‎ ‎(Ⅰ)将a的值代入后对函数f(x)进行求导,当导函数大于0时求原函数的单调递增区间,当导函数小于0时求原函数的单调递减区间。‎ ‎(Ⅱ)根据函数f(x)仅在x=0处有极值说明f '(x)=0仅有x=0一个根,从而得到答案。‎ ‎(Ⅲ)根据函数f(x)的单调性求出最大值,然后令最大值小于等于1恒成立,从而求出b的取值范围。‎ 答案:‎ ‎(Ⅰ)。‎ 当时,。‎ 令,解得,,。‎ 当变化时,,的变化情况如下表:‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在,内是增函数,在,内是减函数。‎ ‎(Ⅱ),显然不是方程的根。‎ 为使仅在处有极值,必须成立,即有。‎ 解此不等式,得。这时,是唯一的极值。‎ 因此满足条件的的取值范围是。‎ ‎(Ⅲ)由条件,可知,从而恒成立。‎ 当时,;当时,。‎ 因此函数在上的最大值是与两者中的较大者。‎ 为使对任意的,不等式在上恒成立,当且仅当,即,在上恒成立。‎ 所以,因此满足条件的的取值范围是。‎ 点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力。‎ 例3 已知函数 ‎(I)求在区间上的最大值 ‎(II)是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。‎ 一点通:‎ ‎(I)本题考查的是定函数与动区间的问题,是一元二次函数中一动一定的问题,解题时要针对二次函数的对称轴与区间的关系进行讨论,即对称轴在区间上,或是在区间的左边或右边。‎ ‎(II)遇到关于两个函数的图象的交点个数的问题时,一般是构造新函数,将题目转化为研究函数的零点问题,通过导数得到函数的最值,把函数的最值同0进行比较,得到结果。 ‎ 答案:‎ ‎(I)‎ ‎ 当即时,在上单调递增,‎ ‎ ‎ ‎ 当即时,‎ ‎ 当时,在上单调递减,‎ ‎ 综上,‎ ‎ (II)函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点,即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。‎ 因为 ‎ 所以,‎ ‎ 当时,是增函数;‎ ‎ 当时,是减函数;‎ ‎ 当时,是增函数;‎ ‎ 当或时,‎ ‎ 于是,‎ ‎ 当充分接近0时,当充分大时,‎ ‎ 因此,要使的图象与轴的正半轴有三个不同的交点,必须且只须 ‎ 即 ‎ 所以存在实数,使得函数与的图象有且只有三个不同的交点,的取值范围为 点评:本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。‎ 思维拓展类 例4 设函数,,其中,a、b为常数,已知曲线与在点(2,0)处有相同的切线。‎ ‎(I)求a、b的值,并写出切线的方程;‎ ‎(II)若方程有三个互不相同的实根0、、,其中,且对任意的,恒成立,求实数m的取值范围。‎ 一点通:‎ ‎(I)利用曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l,可得f(2)=g(2)=0,f '(2)=g '(2)=1。即为关于a、b的方程,解方程即可。‎ ‎(II)把方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根转化为、是的两相异实根。求出实数m的取值范围以及、与实数m的关系,再把f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立问题转化为求函数f(x)+g(x)-mx在x∈[、]上的最大值问题,综合在一起即可求出实数m的取值范围。‎ 答案:‎ ‎ (I),由于曲线与在点(2,0)处有相同的切线l,故有,由此解得:;‎ 切线的方程:‎ ‎(II)由(I)得,依题意得:方程有三个互不相等的根,故是方程的两个相异实根,所以;‎ 又对任意的,恒成立,特别地,取时,‎ 成立,即,由韦达定理知:‎ ‎,故,对任意的,有 ‎,则:‎ ‎;又 所以函数在上的最大值为0,于是当时对任意的,恒成立;综上:的取值范围是。‎ 点评:本题主要考查函数,导数,不等式等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力,以及函数与方程和特殊与一般的思想。‎ 利用导数求出函数的最值(或值域)后,再证明不等式。‎ 利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题,一般都会涉及求参数范围,往往把变量分离后可以转化为m>f(x) (或m0)。‎ ‎(Ⅰ)令F(x)=xf'(x),讨论F(x)在内的单调性并求极值;‎ ‎(Ⅱ)求证:当x>1时,恒有x>ln2x-‎2a ln x+1。‎ ‎2. 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=-1处取得最小值m-1(m)。设函数 ‎(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值;‎ ‎(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点。‎ ‎3. 已知是函数的一个极值点。‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)若直线与函数的图像有3个交点,求的取值范围。‎ 一、选择题 ‎1. D 因为为定义在R上的奇函数,所以有,解得,所以 当时,,即,故选D ‎2. A 由题意得:所求封闭图形的面积为,故选A。‎ ‎3. B 因为,,所以选B ‎4. A ‎ ‎,所以,故切线方程为。‎ ‎5. A 二、解答题:‎ ‎1. (Ⅰ)解:根据求导法则有,‎ 故,‎ 于是,‎ 列表如下:‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 故知在内是减函数,在内是增函数,所以,在处取得极小值。‎ ‎(Ⅱ)证明:由知,的极小值。‎ 于是由上表知,对一切,恒有。‎ 从而当时,恒有,故在内单调增加。‎ 所以当时,,即。‎ 故当时,恒有。‎ ‎2. 解:(1)设,则; ‎ ‎ 又的图像与直线平行 ,‎ ‎ 又在处取得极小值,,‎ ‎ ,;‎ ‎ ,设 ‎ 则 ‎ , ‎ ‎ (2)由,‎ ‎ 得 ‎ ‎ 当时,方程有一解,函数有一零点;‎ ‎ 当时,方程有两解,若,,‎ ‎ 函数有两个零点:;若,‎ ‎ ,函数有两个零点:;‎ ‎ 当时,方程有一解,,函数有一零点 ‎ ‎3. 解:(Ⅰ)因为,‎ 所以。因此。‎ 当时,,‎ 由此可知,当时,单调递减,当时,单调递增,所以,当时,是函数的一个极值点。‎ 于是,。‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,‎ ‎,,‎ ‎。‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 所以的单调增区间是,的单调减区间是。‎ ‎(Ⅲ)与的图象有个交点;等价于有个实数根;即有个实数根;此时,函数的图象与轴有个不同交点,‎ 令,‎ 则,‎ 令,解得或,,随的变化情况列表如下:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 为极大值,为极小值。‎ 由表可得的示意图:‎ 为使的图象与轴有3个不同交点,必须的极大值大于零,极小值小于零。即可化为 解得 ‎∴。‎