【数学】2018届一轮复习北师大版第十章计数原理概率随机变量及其分布第二节排列与组合教案 8页

第二节　排列与组合 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎　　1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题；‎ ‎2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题。‎ ‎2015，四川卷，4,5分(排列问题)‎ ‎2015，广东卷，12,5分(排列问题)‎ ‎2014，重庆卷，9,5分(排列问题)‎ ‎2014，安徽卷，8,5分(组合问题)‎ ‎　　1.排列、组合问题每年必考；‎ ‎2.以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力；‎ ‎3.以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 ‎　　2.排列数与组合数 ‎(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示。‎ ‎(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示。‎ ‎3．排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ‎(2)C＝＝＝ 性质 ‎(1)0！＝1；A＝n！‎ ‎(2)C＝C；C＝C＋C 微点提醒 ‎1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”。取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合。‎ ‎2．排列、组合问题的求解方法与技巧 ‎(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题要先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍缩法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(选修2－3P25练习T4改编)从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是(　　)‎ A．6 B．8‎ C．12 D．16‎ ‎【解析】　由于lga－lgb＝lg，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有A＝12种，所以得到不同的值有12个。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎2．(选修2－3P‎27A组T5改编)2015年北京国际田联世界田径锦标赛，要从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有(　　)‎ A．30种 B．36种 C．42种 D．60种 ‎【解析】　分两类：第1类：有1名女生的有C·C＝2×15＝30种，‎ 第2类：有2名女生的有C·C＝6，‎ 由分类加法计数原理得共有30＋6＝36(种)。故选B。‎ ‎【答案】　B 二、双基查验 ‎1．将2封不同的信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，不同的投法有(　　)‎ A．4种 B．8种 C．12种 D．16种 ‎【解析】　从4个邮箱中任选2个进行排列，有A＝4×3＝12(种)。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎2．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)‎ A．60种　　　　　　　　 B．70种 C．75种 D．150种 ‎【解析】　由题意，从6名男医生中选2人，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC＝75种。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎3．现有6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案数为(　　)‎ A．70 B．60‎ C．50 D．40‎ ‎【解析】　先将6人分成两组，有两种情况：(4,2)，(3,3)，然后再分配到两辆车上共有CA＋C＝50种。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎4．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有______种。‎ ‎【解析】　设这5件不同的产品分别为A，B，C，D，E，先把产品A与产品B捆绑有A种摆法，再与产品D，E全排列有A种摆法，最后把产品C插空有C种摆法，所以共有AAC＝36种不同摆法。‎ ‎【答案】　36‎ ‎5．某教师上午要排3个班的课，每班一节，且上午只排4节课，若教师不能连上3节课，则这位教师上午的课程表不同的排法有________种(用数字作答)。‎ ‎【解析】　第一节和第四节必须排课，且第二、三节只能安排一节，共有A·A＝12(种)。‎ ‎【答案】　12‎ 微考点　大课堂 考点一 ‎ 排列的应用 ‎【典例1】　(1)有4名男生，5名女生，全体排成一行，则甲不在中间也不在两端的排法有________种。‎ ‎(2)在数字1,2,3与符号“＋”“－”这五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列方法共有________种。‎ ‎【解析】　(1)分两步进行：第一步，先排甲有A种，第二步，排其余8人有A种，由分步乘法计数原理，共有A·A＝241 920(种)排法。‎ ‎(2)本题主要考查某些元素不相邻的问题，先排符号“＋”“－”，有A种排列方法，此时两个符号中间与两端共有3个空位，把数字1,2,3“插空”，有A 种排列方法，因此满足题目要求的排列方法共有AA＝12(种)。‎ ‎【答案】　(1)241 920　(2)12‎ ‎【母题变式】　1.若本典例(2)中条件“任意两个数字都不相邻”改为“1,2,3这三个数字必须相邻”，则这样的全排列方法有多少种？‎ ‎【解析】　用捆绑法，有AA＝36(种)。‎ ‎【答案】　36‎ ‎2．若本典例(2)中条件变为：符号“＋”与“－”都不相邻，则这样的全排列有多少种？‎ ‎【解析】　AA＝72(种)。‎ ‎【答案】　72‎ 反思归纳　排列应用问题的分类与解法 ‎1．对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法。‎ ‎2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法。‎ ‎【拓展变式】　(2016·黄冈质检)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________。‎ ‎【解析】　不相邻问题插空法。2位男生不能连续出场的排法有N1＝A×A＝72种，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A×A＝12种，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60。‎ ‎【答案】　60‎ 考点二 ‎ 组合的应用 ‎【典例2】　(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是(　　)‎ A．60种　　　　　　　 B．63种 C．65种 D．66种 ‎(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有________种不同选法。‎ ‎【解析】　(1)因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有C＋C＋CC＝66种不同的取法。故选D。‎ ‎(2)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C＝36种选法。‎ ‎【答案】　(1)D　(2)36‎ ‎【母题变式】　1.本典例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？‎ ‎【解析】　由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有C＝C＝126种选法。‎ ‎【答案】　126种 ‎2．本典例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？‎ ‎【解析】　可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C种选法，再从余下的9人中选4人，有C种选法，所以共有C×C＝378种选法。‎ ‎【答案】　378种 ‎3．本典例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？‎ ‎【解析】　可考虑间接法，从12人中选5人共有C种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C种，共有C－C＝666种选法。‎ ‎【答案】　666种 ‎4．本典例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至多两人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？‎ ‎【解析】　可考虑间接法，从12人中选5人共有C种，再减去A，B，C三人都入选的情况有C种，所以共有C－C＝756种选法。‎ ‎【答案】　756种 反思归纳　1.“含有”或“不含有”某些元素的组合题型。“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取。‎ ‎2．“至少”或“至多”含有几个元素的题型。考虑逆向思维，用间接法处理。‎ 考点三 ‎ 排列与组合的综合应用多维探究 角度一：简单的排列与组合综合应用 ‎【典例3】　(2017·衡水模拟)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有(　　)‎ A．51个 B．54个 C．12个 D．45个 ‎【解析】　分三类：第1类，没有2,3，由其他三个数字组成三位数，有A(个)；‎ 第2类，只有2或3中的一个，需从1,4,5中选两个数字，可组成‎2CA(个)；‎ 第3类，2,3均有，再从1,4,5中选一个，‎ 因为2需排在3的前面，所以可组成(个)。‎ 由分类加法计数原理得共有A＋‎2CA＋＝51(个)。故选A。‎ ‎【答案】　A 角度二：分组、分配问题 ‎【典例4】　(2016·大连模拟)有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为(　　)‎ A．150 B．180‎ C．200 D．280‎ ‎【解析】　(1)第1步：将5名学生分成3组，有两种情况，第一类：按3,1,1分组，有C种分法；‎ 第2类：按2,2,1分组，有种分法，由分类加法计数原理得，共有C＋＝25种不同的分组方式；‎ 第2步：分配到3个班去，有A种分法，由分步乘法计数原理得，共有A＝25×6＝150(种)不同的分配方法。故选A。‎ ‎【答案】　A 反思归纳　求解排列与组合问题的注意点：‎ ‎(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理。‎ ‎(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏。‎ 微考场　新提升 ‎1．(2016·长沙一模)考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有(　　)‎ A．10种　　B．60种　　C．125种　　D．243种 解析　由题意，得考生甲不同的志愿填法有A＝5×4×3＝60种，故选B。‎ 答案　B ‎2．(2016·福州八中模拟)甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有(　　)‎ A．12种 B．24种 ‎ C．48种 D．120种 解析　甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲乙相邻且在两端有CAA种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有AA－CAA＝24(种)。故选B。‎ 答案　B ‎3．(2016·威海一模)某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有(　　)‎ A．A×A种 B．A×54种 C．C×A种 D．C×54种 解析　有两个年级选择甲博物馆有C种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C×54种，故选D。‎ 答案　D ‎4．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种。‎ 解析　把g、o、o、d4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A＝12种。其中正确的有一种，所以错误的共有A－1＝12－1＝11(种)。‎ 答案　11‎ ‎5．(2017·江西模拟)摄像师要对已坐定一排照相的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________。(用数字作答)‎ 解析　先从5位小朋友中选取2位，让他们位置不变，其余3位都改变自己的位置，即3人不在其位。共有方案种数为N＝C·C·C·C＝20。‎ 答案　20‎ 微专题　巧突破 分组分配问题 分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象。‎ ‎1．整体均分问题 ‎【典例1】　　国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教。现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法。‎ ‎【解析】　先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90种不同的分派方法。‎ ‎【答案】　90‎ 反思归纳　本题属于整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数。‎ ‎2．局部均分问题 ‎【典例2】　　将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种。(用数字作答)‎ ‎【解析】　把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种。‎ ‎①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有＝20(种)；‎ ‎②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有·＝45(种)。‎ 所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)。‎ 然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65×A＝1 560(种)。‎ ‎【答案】　1 560‎ 反思归纳　本题属于局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数。‎ ‎3．不等分问题 ‎【典例3】　　若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法。‎ ‎【解析】　将6名教师分组，分三步完成：‎ 第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种分法；‎ 第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种分法；‎ 第3步，余下的3名教师作为一组，有C种分法。‎ 根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种分法。‎ 再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，‎ 故共有60×6＝360种不同的分法。‎ ‎【答案】　360‎ 反思归纳　本题属于不等分问题，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数。‎