2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2 6页

‎2.2.2‎‎ 双曲线的简单几何性质 ‎[课时作业] ‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝± x B．y＝±2x C．y＝± x D．y＝± x 解析：由题意得b＝1，c＝ .∴a＝ ，∴双曲线的渐近线方程为y＝± x，即y＝±x.‎ 答案：C ‎2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)‎ A．2 B．‎2 C．4 D．4 解析：将双曲线2x2－y2＝8化成标准方程－＝1，则a2＝4，所以实轴长‎2a＝4.‎ 答案：C ‎3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)‎ A．－ B．－‎4 C．4 D. 解析：∵方程mx2＋y2＝1表示双曲线，‎ ‎∴m<0.将方程化为标准方程为y2－＝1.‎ 则a2＝1，b2＝－.‎ ‎∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，‎ ‎∴可知b＝‎2a，‎ ‎∴b2＝‎4a2，∴－＝4，∴m＝－.‎ 答案：A ‎4．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是(　　)‎ A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4‎ C． y2－x2＝8 D．y2－x2＝4‎ 解析：令y＝0，则x＝－4，即c＝4，‎ 又c2＝a2＋b2，a＝b，∴c2＝‎2a2，a2＝8.‎ 6‎ 答案：A ‎5．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)‎ A. B．2‎ C. D. 解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|BM|＝|AB|＝‎2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，‎ ‎∴M点的坐标为.‎ ‎∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，‎ ‎∴c＝a，e＝＝.故选D.‎ 答案：D ‎6．(2015·高考北京卷)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________.‎ 解析：双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a＞0，所以＝，所以a＝.‎ 答案： ‎7．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．‎ 解析：由题意知，a＋c＝，即a 2＋ac＝c2－a2，‎ ‎∴c2－ac－‎2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．‎ 答案：2‎ ‎8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．‎ 解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c－a＝1，又e＝＝2，两式联立得a＝1，c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，‎ ‎∴方程为x2－＝1.‎ 6‎ 答案：x2－＝1‎ ‎9．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，求双曲线的渐近线方程及离心率．‎ 解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，‎ 所以椭圆的右焦点坐标为(，0)，‎ 双曲线的右焦点坐标为(，0)，‎ 所以‎3m2‎－5n2＝‎2m2‎＋3n2，所以m2＝8n2，‎ 即|m|＝2|n|，‎ 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，y＝±x.‎ 离心率e＝＝，e＝.‎ ‎10．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．‎ 解析：(1)由题意知a＝2，‎ ‎∴一条渐近线为y＝x，‎ 即bx－2y＝0，∴＝，‎ ‎∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，‎ 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，‎ 将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，‎ 则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，‎ ‎∴∴ ‎∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．(2016·高考全国Ⅰ卷)已知方程－ 6‎ ‎＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)‎ A．(－1,3)　　　　　　　　　B． (－1，)‎ C．(0,3) D．(0，)‎ 解析：根据双曲线的焦距，建立关于n的不等式组求解．‎ 若双曲线的焦点在x轴上，则 又∵(m2＋n)＋(‎3m2‎－n)＝4，‎ ‎∴m2＝1，∴ ‎∴－1‎3m2‎且n<－m2，此时n不存在．故选A.‎ 答案：A ‎2．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是(　　)‎ A．(1,1＋) B．(1＋，＋∞)‎ C．(1－，1＋) D．(，＋1)‎ 解析：由△ABF2为锐角三角形得，‎ 1，∴10，b>0)的离心率为，且＝.‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．‎ 解析：(1)由题意得解得 所以b2＝c2－a2＝2.‎ 所以双曲线C的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．‎ 由 得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．‎ 所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝‎2m.‎ 因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，‎ 所以m2＋(‎2m)2＝5.故m＝±1.‎ ‎6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点是F2(2,0)，离心率e＝2.‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．‎ 解析：(1)由已知得c＝2，e＝2，‎ 6‎ ‎∴a＝1，b＝.‎ ‎∴所求的双曲线方程为x2－＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝x＋m，‎ 点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组 将①式代入②式，‎ 整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)‎ 设MN的中点为(x0，y0)，‎ 则x0＝＝，‎ y0＝x0＋m＝，所以线段MN垂直平分线的方程为y－＝－ 即x＋y－‎2m＝0，‎ 与坐标轴的交点分别为(0,‎2m)，(‎2m,0)，‎ 可得|‎2m|·|‎2m|＝4，‎ 得m2＝2，m＝± 此时(*)的判别式Δ>0，‎ 故直线l的方程为y＝x± 6‎