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- 2021-06-15 发布
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章末综合测评(三) 不等式
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：
①若a>b，c≠0，则ac>bc；
②若a>b，则ac2>bc2；
③若ac2>bc2，则a>b；
④若a>b>0，c>d，则ac>bd.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [若a>b，c<0时，acd>0时，ac>bd，④错，故选A.]
2．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是( )
【导学号：91432375】
A．(－3,4) B．(－3，－4)
C．(0，－3) D．(－3,2)
A [当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x＋2y＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x＋2y＋5>0.]
3．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )
A．A≥B B．A>B
C．A2＝2，即A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2
＝－(x－2)2＋2≤2，
即B≤2，∴A>B.]
4．已知02
D [0logaa2＝2，即loga(xy)>2.]
5．不等式2x2＋2x－4≤的解集为( )
A．(－∞，－3] B．(－3,1]
C．[－3,1] D．[1，＋∞)∪(－∞，－3]
C [由已知得 2x2＋2x－4≤2－1，
所以x2＋2x－4≤－1，
即x2＋2x－3≤0，
解得－3≤x≤1.]
6．不等式组的解集为( )
【导学号：91432377】
A．[－4，－3] B．[－4，－2]
C．[－3，－2] D．∅
A [⇒
⇒⇒－4≤x≤－3.]
图31
7．已知点(x，y)是如图31所示的平面区域内(阴影部分且包括边界)的点，若目标函数z＝x＋ay取最小值时，其最优解有无数个，则的最大值是( )
A. B.
C. D.
A [目标函数z＝x＋ay可化为y＝－x＋z，由题意知，当a<0，且直线y＝－x＋z与直线AC重合时，符合题意，此时kAC＝＝1，所以－＝1，a＝－1，而＝表示过可行域内的点(x，y
- 8 -
)与点(－1,0)的直线的斜率，显然过点C(4,2)与点(－1,0)的直线的斜率最大，即＝.]
8．若x，y满足则x＋2y的最大值为( )
A．1 B．3
C．5 D．9
D [作出可行域如图阴影部分所示．
设z＝x＋2y，则y＝－x＋z.
作出直线l0：y＝－x，并平移该直线，可知当直线y＝－x＋z过点C时，z取得最大值．
由得故C(3,3)．
∴zmax＝3＋2×3＝9.
故选D.]
9．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则( )
【导学号：91432378】
A．T>0 B．T<0
C．T＝0 D．T≥0
B [法一：取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，
则T＝－<0，排除A，C，D，可知选B.
法二：由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，
不妨设a>0，b<0，c<0，
则T＝＋＋＝＝＝.
∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0.]
10．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈都成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2
- 8 -
C．－3 D．－
D [由对一切x∈，不等式x2＋ax＋1≥0都成立，
所以ax≥－x2－1，即a≥－x－.
设g(x)＝－x－，只需a≥g(x)max，
而g(x)＝－x－在x∈上是增函数，
所以g(x)＝－x－的最大值是g＝－.]
11．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
【导学号：91432379】
A．－1 B．1
C. D．2
B [如图所示，约束条件表示的可行域如阴影部分所示．当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时，m取最大值．解方程组得A点坐标为(1,2)，
∴m的最大值是1，故选B.]
12．已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－20，y>0，
∴＋≥8.
若＋>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，解之得－40的解集为________.
【导学号：91432380】
[方程x2－ax－b＝0的根为2,3.根据根与系数的关系得：a＝5，b
- 8 -
＝－6.所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得解集为]
14．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是________．
[对于x2＋3xy－1＝0可得y＝·，
∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当x＝时等号成立)．]
15．若关于x、y的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则k的取值范围是________.
【导学号：91432381】
∪(－∞，－2) [不等式|x|＋|y|≤2表示的平面区域为如图所示的正方形ABCD及其内部．
直线y＋2＝k(x＋1)过定点P(－1，－2)，斜率为k，要使平面区域表示一个三角形，则kPDa，
即0≤a<时，
aa时，f(x)有最小值为6，求a的值．
[解] (1)f(x)0时，(x－a)<0，
∴解集为；
当a<0时，(x－a)>0，
解集为.
(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)，
∴f(x)＝
＝t＋＋2a
≥2＋2a
＝2＋2a.
当且仅当t＝，
即t＝时，等号成立，
即f(x)有最小值2＋2a.
依题意有2＋2a＝6，
解得a＝1.
21．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y
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最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
【导学号：91432384】
[解] (1)y＝＝≤＝≈11.08.
当v＝，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．
(2)据题意有：≥10，
化简得v2－89v＋1 600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内．
22．(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题．
已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，
f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a.
因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而得a＋a≥.
(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；
(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．
[解] (1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，
则：a＋a＋…＋a≥.
(2)证明：构造函数
f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2
＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a2 n
＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a.
因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，
所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，从而证得a＋a＋…＋a≥.
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