百师联盟2020届高三练习题二（全国卷II）数学（文）试题 Word版含解析 19页

www.ks5u.com 百师联盟2020届高三练习题二全国卷文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知实数集，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式得或，从而得到集合，由此可得集合的补集.‎ ‎【详解】，‎ 则，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】此题考查一元二次不等式的解法、集合的补集运算，属于基础题.‎ ‎2.复数的虚部为( )‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 先化简复数，然后可求其虚部.‎ ‎【详解】，虚部为-1，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算及相关概念，化简复数为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ - 19 -‎ ‎3.已知函数的导函数为，且满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，然后令求出，然后即可求出 ‎【详解】因为 所以 令时有，所以 所以 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查的是导数的运算，较简单.‎ ‎4.如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，则下列判断正确的是( )‎ A. ，甲比乙成绩稳定 B. ，乙比甲成绩稳定 C. ，甲比乙成绩稳定 D. ，乙比甲成绩稳定 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图分别求解两人的平均成绩及方差，然后进行比较可得结果.‎ ‎【详解】，，，，因为 - 19 -‎ ‎，所以乙比甲成绩稳定，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用茎叶图求解平均值，方差，平均数相同的前提下，方差值越小，成绩越稳定，侧重考查数据分析的核心素养.‎ ‎5.设，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，然后即可求出 ‎【详解】因 所以 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查的是分段函数的知识，较简单.‎ ‎6.如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ 先根据三视图明确几何体的特征，结合球的表面积公式求解.‎ ‎【详解】可知原几何体为一长方体挖去一个内切半球组成.，，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用三视图求解几何体的表面积，根据三视图还原出几何体的形状是求解的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.‎ ‎7.已知命题若，则其解集为，，，则下列命题为真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件判断命题的真假，然后结合逻辑联结词进行判定.‎ ‎【详解】命题，其解集为，命题不成立，故命题为假命题；‎ 命题，，当时，命题成立，故命题为真命题.‎ 所以是真命题，是假命题，是假命题，是假命题，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查复合命题的真假的判断，判断出每个命题的真假，是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎8.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 19 -‎ ‎【分析】‎ 由条件先算出，然后再求出即可 ‎【详解】因为，所以 即，即，所以 所以 因为，所以 所以 所以 故选：A ‎【点睛】要熟悉与的关系，即.‎ ‎9.已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先算出和的坐标，然后即可求出答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 所以向量在向量方向上的投影为 故选：C - 19 -‎ ‎【点睛】本题考查的是坐标形式下向量的相关计算，较简单.‎ ‎10.已知函数，对，都有，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分离参数得恒成立，利用导数求解的最小值即可.‎ ‎【详解】因为都有恒成立，则恒成立.‎ 令，，令，，所以在上是单调递增函数，所以，‎ 所以，在上是单调递增函数，所以，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，恒成立问题一般通过分离参数法进行求解，利用导数求解最值是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.‎ ‎11.已知抛物线，为的焦点，直线过抛物线的焦点交于两点，若，则直线的斜率( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ 设出直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出，，结合向量关系可求直线的斜率.‎ ‎【详解】抛物线的焦点，设直线，，，‎ 由得，，，，‎ 由，所以，所以，所以①，②，‎ ‎，，，所以，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和抛物线的关系，向量关系的合理转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎12.已知数列满足，数列满足，，且对，均有，设，则( )‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据数列的通项公式，明确数列的周期，结合数列的关系得出的周期，从而可求.‎ ‎【详解】由题意知，，，，，，…，‎ 所以数列是以4为周期的周期数列，所以.‎ 因为①，即有②，由①②得，，所以，易得，所以数列是以6为周期的周期数列，所以 - 19 -‎ ‎，综上，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的周期性，根据数列的通项公式明确数列的周期是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知数列，是数列的前项和，满足，通过计算，可以猜想__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由算出即可猜想出答案 ‎【详解】因为 所以，，‎ 所以猜想 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查数列与的关系，较简单.‎ ‎14.直线与圆交于两点，为圆心，若，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由求出，结合余弦定理可得.‎ ‎【详解】由，所以，所以，‎ - 19 -‎ 由余弦定理得，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，向量数量积的转化及余弦定理的使用是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎15.把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象上的所有点向右平移个单位，则得到图象的函数在的对称轴方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据图象变换求出变换后的函数解析式，然后再求对称轴.‎ ‎【详解】，由，得，所以令，函数在上的对称轴方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及三角函数的对称轴，明确变换后的解析式是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.‎ ‎16.如图三棱锥中，平面，，，，其外接球的半径为，则三棱锥的体积为_______.‎ - 19 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据余弦定理得出为直角三角形，把三棱锥补形成直三棱柱，结合外接球半径可求，进而可得三棱锥的体积.‎ ‎【详解】如图，中，由余弦定理得，所以，所以由勾股定理可得.‎ 设的外接圆半径为，所以，将三棱锥补为直三棱柱，如图所示，设其上、下底面外心分别为，连结，线段的中点即为三棱锥外接球的球心，连结，球半径为，在中，，所以，所以，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题，根据几何体的特征确定外接球的球心，是求解的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.‎ - 19 -‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知数列满足，为数列的前项和.‎ ‎（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用的关系，得出，结合等比数列的定义可证是等比数列，结合的通项公式可得数列的通项公式；‎ ‎（2）根据数列的特征，利用分组求和的方法进行求和.‎ 详解】（1）当时，，所以，‎ 因为①，②，②-①得，，得，所以，‎ 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的证明及分组求和的方法，等比数列的证明一般是利用定义法来进行证明，数列求和时要根据通项公式的特点选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.‎ - 19 -‎ ‎18.在2019年高考数学的全国Ⅲ卷中，文科和理科的选做题题目完全相同，第22题考查选修4-4：极坐标和参数方程；第23题考查选修4-5：不等式选讲.某校高三质量检测的命题采用了全国Ⅲ卷的形式，在测试结束后，该校数学组教师对该校全体高三学生的选做题得分情况进行了统计，得到两题得分的列联表如下（已知每名学生只做了一道题）：‎ 选做22题 选做23题 合计 文科人数 ‎50‎ ‎60‎ 理科人数 ‎40‎ 总计 ‎400‎ ‎（1）完善列联表中的数据，判断能否有的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；‎ ‎（2）经统计，第23题得分为0的学生中，理科生占理科总人数的，文科生占文科总人数的，在按分层抽样的方法在第23题得分为0的学生中随机抽取6名进行单独辅导，并在辅导后随机抽取2名学生进行测试，求被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率.‎ 附：，其中.‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，没有；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据列联表中的数据求出其它未知数，计算卡方，根据附表进行判断；‎ ‎（2）先根据抽样方法确定理科和文科的人数，然后结合古典概率的求解方法可得概率.‎ ‎【详解】（1）根据题意填写列联表如下：‎ 选做22题 选做23题 合计 - 19 -‎ 文科人数 ‎50‎ ‎10‎ ‎60‎ 理科人数 ‎350‎ ‎40‎ ‎390‎ 总计 ‎400‎ ‎50‎ ‎450‎ 由表中数据，计算.‎ 对照临界值表得，没有的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；‎ ‎（2）由分层抽样的方法可知在被选取的6名学生中理科生有4名，文科生有2名，记4理科生为，2名文科生为，‎ 从这6名学生中随机抽取2名，基本事件是：，，，，，，，，，，，，，，共15种，‎ 被抽中的2名学生均为理科生的基本事件为，，，，，共6种，故所求的概率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查独立性检验及古典概率的求解，准确计算出卡方的值是求解独立性检验的关键，侧重考查数据分析的核心素养.‎ ‎19.如图，在四面体中，是边长为2的正三角形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）点是线段上一点，且，点为的中点，求三棱锥的体积.‎ - 19 -‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，证明平面，结合勾股定理可得；‎ ‎（2）利用等体积法进行求解，由可求.‎ ‎【详解】（1）证明：如图所示，取中点，连结，‎ 因为是等边三角形，所以，‎ 又因为是以为直角的等腰直角三角形，所以，且，‎ 因为平面平面，平面平面，所以平面，‎ 所以，所以，所以 ‎（2）因为，所以，因为，所以，‎ 所以点到平面的距离等于，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间长度相等的证明及三棱锥的体积求解，三棱锥的体积直接求解较为复杂时，通常利用等体积法进行转化，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.‎ ‎20.在中，角的对边分别为，且 ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求周长的取值范围.‎ - 19 -‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得，然后变形推出即可 ‎（2）由正弦定理，，然后利用求出范围即可.‎ ‎【详解】（1）由，由正弦定理得，‎ 所以 因为 所以 因为 所以 所以 所以 ‎（2）由正弦定理，‎ 所以，‎ 所 因为 - 19 -‎ 所以 所以 所以 所以 ‎【点睛】本题考查的是利用正弦定理进行边角互化和利用三角函数求三角形周长的范围，属于典型题.‎ ‎21.已知函数是定义在上的奇函数，，‎ ‎（1）判断函数的单调性；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）是上的增函数.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由是上的奇函数求出，，然后，即可判断出其单调性 ‎（2）由得，然后得出即可 ‎【详解】（1）因为是上的奇函数 所以 所以，所以 所以 又 - 19 -‎ 所以 所以 所以 因为 所以是上的增函数 ‎（2）因为是上的增函数且是奇函数，由 所以 所以 即对任意恒成立 只需，所以 解之得，或 所以实数的取值范围是 ‎【点睛】解抽象函数的不等式时，怎么利用函数的单调性和奇偶性将去掉是解题的关键.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的解析式；‎ ‎（2），当时，求证：函数有且只有一个零点.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导数，利用切线平行于轴，可得的值，从而可得函数解析式；‎ ‎（2）判定函数的单调性，结合单调性及函数值进行证明.‎ - 19 -‎ ‎【详解】（1），‎ 曲线在点处的切线平行于轴，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎（2），令，则，‎ 当且时，，故是上的增函数，‎ 由，所以时，；即当时，；‎ 故在上单调递增，，‎ 故函数有且仅有一个零点.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义及函数零点个数的证明，切点处的导数值是切线的斜率是解决这类问题的关键，零点个数的问题一般结合函数的单调性及最值情况进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.‎ - 19 -‎ - 19 -‎