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- 2021-06-15 发布
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第二节 基本不等式
[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.
其中称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);
(2)+≥2(a,b同号且不为零);
(3)ab≤2(a,b∈R);
(4)2≤(a,b∈R).
3.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).
(2)如果和x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=x+的最小值是2.( )
(2)函数f(x)=cos x+,x∈的最小值等于4.( )
(3)x>0,y>0是+≥2的充要条件.( )
(4)若a>0,则a3+的最小值为2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )
A.a2+b2>2ab
B.a+b≥2
C.+>
D.+≥2
D [∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A错误;对于B,C,当a<0,b<0时,明显错误.
对于D,∵ab>0,∴+≥2=2.]
3.(2016·安徽合肥二模)若a,b都是正数,则的最小值为( )
【导学号:57962277】
A.7 B.8
C.9 D.10
C [∵a,b都是正数,∴=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a>0时取等号.]
4.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于( )
【导学号:57962278】
A.1+ B.1+
C.3 D.4
C [当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3,选C.]
5.(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是__________m2.
25 [设矩形的一边为x m,矩形场地的面积为y,
则另一边为×(20-2x)=(10-x)m,
则y=x(10-x)≤2=25,
当且仅当x=10-x,即x=5时,ymax=25.]
利用基本不等式求最值
(1)(2015·湖南高考)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )
A. B.2
C.2 D.4
(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是__________.
(1)C (2)3 [(1)由+=知a>0,b>0,所以=+≥2,即ab≥2,
当且仅当即a=,b=2时取“=”,所以ab的最小值为2.
(2)由x2+2xy-3=0得y==-x,则2x+y=2x+-x=+≥2=3,当且仅当x=1时,等号成立,所以2x+y的最小值为3.]
[规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小”.
2.在求最值过程中若不能直接使用基本不等式,可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形,使之能够使用基本不等式.
[变式训练1] (1)(2016·湖北七市4月联考)已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式+≥m恒成立,则m的最大值等于( ) 【导学号:57962279】
A.10 B.9
C.8 D.7
(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m,n满足m·n>0,m+n=-1,则+的最大值为__________.
(1)B (2)-4 [(1)∵+=+=4+++1=5+2≥5+2×2=9,当且仅当a=b=时取等号.又+≥m,∴m≤9,即m的最大值等于9,故选B.
(2)∵m·n>0,m+n=-1,∴m<0,n<0,
∴+=-(m+n) =-≤-2-2=-4,
当且仅当m=n=-时,+取得最大值-4.]
利用基本不等式证明不等式
已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)++≥8;
(2)≥9.
[证明] (1)++=2,
∵a+b=1,a>0,b>0,
∴+=+=2++≥2+2=4, 3分
∴++≥8(当且仅当a=b=时等号成立). 5分
(2)法一:∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+=1+=2+,同理1+=2+,
∴=
=5+2≥5+4=9, 10分
∴≥9(当且仅当a=b=时等号成立). 12分
法二:=1+++,
由(1)知,++≥8, 10分
故=1+++≥9. 12分
[规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键,代换变形后能使用基本不等式是代换的前提,不能盲目变形.
2.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果,必要时,也需要运用“拆、拼、凑”的技巧,同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
[变式训练2] 设a,b均为正实数,求证:++ab≥2.
[证明] 由于a,b均为正实数,
所以+≥2=, 3分
当且仅当=,即a=b时等号成立,
又因为+ab≥2=2,
当且仅当=ab时等号成立,
所以++ab≥+ab≥2, 8分
当且仅当即a=b=时取等号. 12分
基本不等式的实际应用
运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
【导学号:57962280】
[解] (1)设所用时间为t=(h),
y=×2×+14×,x∈[50,100]. 2分
所以这次行车总费用y关于x的表达式是
y=+x,x∈.
(或y=+x,x∈). 5分
(2)y=+x≥26 ,
当且仅当=x,
即x=18,等号成立. 8分
故当x=18千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元. 12分
[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
2.根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.
3.
在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
[变式训练3] 某化工企业2016年年底投入100万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位:万元).
(1)用x表示y;
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新的污水处理设备.则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备.
【导学号:57962281】
[解] (1)由题意得,
y=,
即y=x++1.5(x∈N*). 5分
(2)由基本不等式得:
y=x++1.5≥2+1.5=21.5,8分
当且仅当x=,即x=10时取等号.
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备. 12分
[思想与方法]
1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.
2.基本不等式的两个变形:
(1)≥≥ab(a,b∈R,当且仅当a=b时取等号).
(2)≥≥≥(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号).
[易错与防范]
1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
2.“当且仅当a=b时等号成立”的含义是“a=b”是等号成立的充要条件,这一点至关重要,忽视它往往会导致解题错误.
3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.