【数学】2019届一轮复习北师大版（文）4-6正弦定理和余弦定理学案 16页

‎§4.6　正弦定理和余弦定理 最新考纲 考情考向分析 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.‎ 以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.‎ ‎1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A；‎ b2＝c2＋a2－2cacos B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 ‎(1)a＝2Rsin A，‎ b＝2Rsin B，‎ c＝2Rsin C；‎ ‎(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ asin B＝bsin A，‎ bsin C＝csin B，‎ asin C＝csin A ‎(4)cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 ‎3.三角形常用面积公式 ‎(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；‎ ‎(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．‎ 知识拓展 ‎1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π；‎ 变形：＝－.‎ ‎2．三角形中的三角函数关系 ‎(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；‎ ‎(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .‎ ‎3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；‎ b＝acos C＋ccos A；‎ c＝bcos A＋acos B.‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)‎ ‎(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(　√　)‎ ‎(3)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　×　)‎ ‎(4)在△ABC中，＝.(　√　)‎ ‎(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 ．‎ 答案　等腰三角形或直角三角形 解析　由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，‎ 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，‎ 即A＝B或A＋B＝，‎ 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．‎ ‎3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于 ．‎ 答案　2 解析　∵＝，∴sin B＝1，∴B＝90°，‎ ‎∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c0，∴cos B<0，∴B为钝角，‎ 故△ABC为钝角三角形．‎ ‎5．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形(　　)‎ A．无解 B．有两解 C．有一解 D．解的个数不确定 答案　B 解析　∵bsin A＝120，∴sin A＝1，‎ 即A＝，∴△ABC为直角三角形．‎ 引申探究 ‎1．本例(2)中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．‎ 解　∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，‎ ‎∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ ‎∴sin(A－B)＝0.‎ 又A，B为△ABC的内角．‎ ‎∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．‎ ‎2．本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．‎ 解　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，‎ 又00，∴sin A＝cos A，即tan A＝.‎ ‎∵0