新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-4-1 平面集合中的向量方法 6-4-2 向量在物理中的应用举例 15页

6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 课 标 解 读 课标要求 核心素养 1.会用向量方法解决简单的平面几何问 题、力学问题以及其他实际问题.(重点) 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作 用.(难点) 1.通过用向量方法解决物理问题,培养数学抽象 核心素养. 2.借助用向量方法解决几何问题,培养逻辑推理 核心素养. 有一个人要去火车站坐车,由于时间紧迫,他一跳上出租车,就急着说:“快!快!来不及 了!”司机遵照指示,在合法的范围内快开了好几分钟,这个人才发现不太对劲,问道:“我没有 说要去哪里吗?”司机回答:“没有啊!你只叫我快开啊!”于是这个人说:“对不起,请掉头,我要 去火车站.” 问题 1:开始的时候顾客为什么不能到达目的地? 答案 因为出租车行驶的方向不对. 问题 2:要尽快到达目的地应该怎么办? 答案 行驶的方向要对,速度在合法的范围内要快. 1.向量在平面几何中的应用 主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、 夹角等问题. 2.平面向量在物理中的应用 (1)物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似, 可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,这是力 F 与位移 s 的数量积,即 W=F·s=|F||s|cosθ(θ 为 F 与 s 的夹角). 特别提醒 建立平面直角坐标系的方法 (1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上; (2)若图形中有互相垂直的两条直线,则考虑其作为坐标轴; (3)若是对称图形,则将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴. 探究一 向量在平面几何中的应用 例 1 (1)在△ABC 所在的平面内有一点 P,满足 足 + + = 足 ,则△PBC 与△ABC 的面积 之比是( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4(2)如图所示,在正方形 ABCD 中,P 为对角线 AC 上任意一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为 E,F,连接 DP,EF,求证:DP⊥EF. 答案 (1)C 解析 (1)由 足 + + = 足 ,得 足 + + 足 + =0, 即 =2 足 ,所以点 P 是 CA 边上的三等分点,如图所示. 故 △ △ 足 = 足 = 2 3 . (2)证明:证法一:设正方形 ABCD 的边长为 1,AE=a(0, ∴cos< , >= 1 2 ,则∠BOC=60°, ∴∠A= 1 2 ∠BOC=30°. 4.点 P 在平面上做匀速直线运动,速度向量 v=(4,-3)(点 P 的运动方向与 v 相同,且每秒移 动的距离为|v|个单位).设开始时点 P0 的坐标为(-10,10),则 5 秒后点 P 的坐标为( ) A.(-2,4) B.(-30,25) C.(10,-5) D.(5,-10) 答案 C 由题意知, 0P =5v=(20,-15), 设点 P 的坐标为(x,y),则 + 10 = 20, -10 = -15,解得 = 10, = -5,∴点 P 的坐标为(10,-5). 5.(多选题)如图,在直角△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式成立的是( ) A.| 足 |2= 足 · 足 B.| |2= 足 · C.| 足 |2= 足 · D.| |2= (足 · 足 ) × (足 · ) |足 |2 答案 ABD 足 · 足 = 足 ·( 足 + )= 足 2 + 足 · = 足 2 =| 足 |2,故 A 正确; 同理| |2= 足 · 成立,故 B 正确; 足 · =-| 足 || |cos∠ACD<0, 而| 足 |2>0,故 C 错误; (足 · 足 ) × (足 · ) |足 |2 = |足 |2 × | |2 |足 |2 = |足 | × | | |足 | 2 =| |2,故 D 正确. 6.在四边形 ABCD 中,已知 足 =(4,-2), 足 =(7,4), 足 =(3,6),则四边形 ABCD 的面积 是 . 答案 30 解析 ∵ 足 · 足 =(4,-2)·(3,6)=0, ∴四边形 ABCD 为矩形. ∵| 足 |= 4 2 + (-2) 2 =2 5 , | 足 |= 3 2 + 6 2 =3 5 , ∴S 四边形 ABCD=| 足 || 足 |=2 5 ×3 5 =30. 7.已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜向上),大小为 50N,一个质量为 8kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数μ=0.02 的水平平面上运动了 20m,则力 F 所做的功是 ,摩 擦力 f 所做的功是 .(g=10m/s2) 答案 500 3 J;-22J 解析 如图所示,设木块运动的位移为 s, 则 F·s=|F||s|cos30°=50×20× 3 2=500 3 (J). 将力 F 分解,它在铅垂方向上的分力 F1 的大小为|F1|=|F|sin30°=50× 1 2 =25(N), 所以摩擦力 f 的大小为|f|=|μ(G-F1)| =(80-25)×0.02=1.1(N). 因此 f·s=|f||s|cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J). 即 F 和 f 所做的功分别是 500 3 J 和-22J. 8.在△ABC 中,若动点 D 满足 足 2 - 2 +2 足 · =0,则点 D 的轨迹一定经过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 答案 A 取 AB 的中点 E,则 足 2 - 2 +2 足 · =( 足 + )·( 足 - )+2 足 · =2 · 足 +2 足 · =2 足 ·( - )=2 足 · =0, ∴AB⊥ED,即点 D 在 AB 的垂直平分线上, ∴点 D 的轨迹一定经过△ABC 的外心. 9.已知 O 为坐标原点,点 A(3,0),B(4,4),C(2,1),则 AC 和 OB 的交点 P 的坐标 为 . 答案 3 2 , 3 2解析 设 =t , ∵B(4,4),∴ =(4t,4t), 又 A(3,0),∴ 足 =(3,0), ∴ 足 = - 足 =(4t-3,4t),又 C(2,1), ∴ 足 =(2,1)-(3,0)=(-1,1). 由 足 , 足 共线,得(4t-3)×1-4t×(-1)=0, 解得 t= 3 8 ,∴ = 3 2 , 3 2 , ∴点 P 的坐标为 3 2 , 3 2 . 10.如图,两根固定的光滑硬杆 OA,OB 成θ角,在杆上各套一小环 P,Q(P,Q 重力不计),且用 轻线相连,现用恒力 F 沿 方向拉环 Q,则当两环稳定时,轻线上的拉力的大小 为 . 答案 || sin解析 设 Q 受轻线的拉力为 T,以 Q 为研究对象,由于受力平衡,故轻线与杆 OA 垂直,即轻 线与 OB 的夹角为 π 2 -θ,Tcos π 2 -θ =F,故|T|= || sin . 11.已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦 值. 解析 (1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴ 足 =(1,1), 足 =(-3,3), ∴ 足 · 足 =1×(-3)+1×3=0, ∴ 足 ⊥ 足 , ∴AB⊥AD. (2)∵ 足 ⊥ 足 ,四边形 ABCD 为矩形, ∴ 足 = .设点 C 的坐标为(x,y), 则 =(x+1,y-4). 又∵ 足 =(1,1), ∴ + 1 = 1, -4 = 1, 解得 = 0, = 5,∴点 C 的坐标为(0,5), ∴ 足 =(-2,4), 又∵ =(-4,2), ∴| 足 |=2 5 ,| |=2 5 , 足 · =8+8=16. 设 足 与 的夹角为θ, 则 cosθ= 足 · |足 || | = 16 2 5 × 2 5 = 4 5 . 故矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为 4 5 . 12.如图所示,若 D 是△ABC 内的一点,且 AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC. 证明 设 足 =a, 足 =b, 足 =e, =c, =d, 则 a=e+c,b=e+d, 所以 a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2. 由已知可得 a2-b2=c2-d2, 所以 c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2, 所以 e·(c-d)=0. 因为 = + =d-c, 所以 足 · =e·(d-c)=0, 所以 足 ⊥ , 即 AD⊥BC.