- 345.00 KB
- 2021-06-15 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
- 1 -
第 2讲 三角恒等变换与解三角形
利用三角恒等变换化简、求值
[核心提炼]
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
(2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;
(3)tan(α±β)=tan α±tan β
1∓tan αtan β
.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=2sin αcos α;
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(3)tan 2α=
2tan α
1-tan2α
.
[典型例题]
(1)已知 cos
θ-
π
6 +sin θ=
4 3
5
,则 sin
θ+
7π
6 的值是( )
A.4
5
B.4 3
5
C.-
4
5
D.-
4 3
5
(2)若 sin 2α=
5
5
,sin(β-α)= 10
10
,且α∈
π
4
,π
,β∈
π,
3π
2 ,则α+β的值是( )
A.7π
4
B.9π
4
C.5π
4
或
7π
4
D.5π
4
或
9π
4
【解析】 (1)因为 cos
θ-
π
6 +sin θ=
4 3
5
,
所以
3
2
cos θ+
3
2
sin θ=
4 3
5
,
即 3
1
2
cos θ+
3
2
sin θ
=
4 3
5
,
即 3sin
θ+
π
6 =
4 3
5
,
所以 sin
θ+
π
6 =
4
5
,
- 2 -
所以 sin
θ+
7π
6 =-sin
θ+
π
6 =-
4
5
.故选 C.
(2)因为α∈
π
4
,π
,所以 2α∈
π
2
,2π
,又 sin 2α=
5
5
,故 2α∈
π
2
,π
,α∈
π
4
,
π
2 ,
所以 cos 2α=-
2 5
5
.又β∈
π,
3π
2 ,故β-α∈
π
2
,
5π
4 ,于是 cos(β-α)=-
3 10
10
,所以
cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-
2 5
5
×
-
3 10
10 -
5
5
×
10
10
=
2
2
,且α+β∈
5π
4
,2π
,故α+β=7π
4
.
【答案】 (1)C (2)A
三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等;
(2)项的分拆与角的配凑:如 sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等;
(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;
(4)弦、切互化:一般是切化弦.
[对点训练]
1.(2019·杭州市高三模拟)函数 f(x)=3sin x
2
cosx
2
+4cos2x
2
(x∈R)的最大值等于( )
A.5 B.9
2
C.5
2
D.2
解析:选 B.因为 f(x)=3sin x
2
cos x
2
+4cos2x
2
=
3
2
sin x+2cos x+2=5
2
3
5
sin x+4
5
cos x
+2
=
5
2
sin(x+φ)+2,
其中 sin φ=4
5
,cos φ=3
5
,
所以函数 f(x)的最大值为
9
2
.
2.(2019·浙江五校联考)已知 3tan α
2
+tan2α
2
=1,sin β=3sin(2α+β),则 tan(α+β)=
( )
- 3 -
A.4
3
B.-
4
3
C.-
2
3
D.-3
解析:选 B.因为 sin β=3sin(2α+β),
所以 sin[(α+β)-α]=3sin[(α+β)+α],
所以 sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=3sin(α+β)·cos α+3cos(α+β)sin α,所以 2sin(α
+β)cos α=-4cos(α+β)sin α,
所以 tan(α+β)=sin(α+β)
cos(α+β)
=-
4sin α
2cos α
=-2tan α,
又因为 3tanα
2
+tan2α
2
=1,所以 3tanα
2
=1-tan2α
2
,
所以 tan α=
2tanα
2
1-tan2α
2
=
2
3
,所以 tan(α+β)=-2tan α=-
4
3
.
3.(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若 sin(π+x)+cos(π+x)=1
2
,则 sin 2x=
________,
1+tan x
sin xcos
x-π
4
=________.
解析:sin(π+x)+cos(π+x)=-sin x-cos x=1
2
,
即 sin x+cos x=-
1
2
,
两边平方得:sin2x+2sin xcos x+cos2x=1
4
,
即 1+sin 2x=1
4
,则 sin 2x=-
3
4
,
由
1+tan x
sin xcos
x-π
4
=
1+sin x
cos x
2
2
sin x(cos x+sin x)
=
2
sin xcos x
=
2 2
sin 2x
=
2 2
-
3
4
=-
8 2
3
.
答案:-
3
4
-
8 2
3
利用正、余弦定理解三角形
[核心提炼]
- 4 -
1.正弦定理及其变形
在△ABC中,
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
=2R(R为△ABC的外接圆半径).变形:a=2Rsin A,sin
A= a
2R
,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C等.
2.余弦定理及其变形
在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A;
变形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A=b2+c2-a2
2bc
.
3.三角形面积公式
S△ABC=
1
2
absin C=1
2
bcsin A=1
2
acsin B.
[典型例题]
(1)(2018·高考浙江卷)在△ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.若 a= 7,
b=2,A=60°,则 sin B=________,c=________.
(2)在△ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B.
①证明:A=2B;
②若 cos B=2
3
,求 cos C的值.
【解】 (1)因为 a= 7,b=2,A=60°,所以由正弦定理得 sin B=bsin A
a
=
2× 3
2
7
=
21
7
.
由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A可得 c2-2c-3=0,所以 c=3.故填:
21
7
3.
(2)①证明:由正弦定理得 sin B+sin C
=2sin Acos B,
故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+
sin Acos B+cos Asin B,于是 sin B=sin(A-B).
又 A,B∈(0,π),故 0<A-B<π,
所以 B=π-(A-B)或 B=A-B,
因此 A=π(舍去)或 A=2B,
所以 A=2B.
②由 cos B=2
3
得 sin B= 5
3
,
cos 2B=2cos2B-1=-
1
9
,
故 cos A=-
1
9
,sin A=4 5
9
,
- 5 -
cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=22
27
.
正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应利用正弦定理.
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应利用余弦定理.
[对点训练]
1.(2019·高考浙江卷)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点 D在线段 AC上.若
∠BDC=45°,则 BD=________,cos∠ABD=________.
解析:在 Rt△ABC 中,易得 AC=5,sin C=AB
AC
=
4
5
.在△BCD 中,由正弦定理得 BD=
BC
sin∠BDC
×sin∠BCD=
3
2
2
×
4
5
=
12 2
5
,sin∠DBC=sin[π-(∠BCD+∠BDC)]=sin(∠BCD+
∠BDC)=sin ∠BCDcos∠BDC+cos∠BCDsin∠BDC=4
5
×
2
2
+
3
5
×
2
2
=
7 2
10
.又∠ABD+
∠DBC=π
2
,所以 cos∠ABD=sin∠DBC=7 2
10
.
答案:
12 2
5
7 2
10
2.(2019·义乌高三月考)在△ABC中,内角 A,B,C对应的三边长分别为 a,b,c,且满
足 c
bcos A-a
2 =b2-a2.
(1)求角 B的大小;
(2)若 BD为 AC边上的中线,cos A=1
7
,BD= 129
2
,
求△ABC的面积.
解:(1)因为 c
bcos A- a
2 =b2-a2,
即 2bccos A-ac=2(b2-a2),
所以 b2+c2-a2-ac=2(b2-a2),
所以 a2+c2-b2=ac,cos B=1
2
,B=π
3
.
(2)法一:在三角形 ABD中,
由余弦定理得
129
2
2
=c2+
b
2
2
-2c·b
2
cos A,
所以
129
4
=c2+b2
4
-
1
7
bc,①
- 6 -
在三角形 ABC中,由已知得 sin A=4 3
7
,
所以 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=5 3
14
,
由正弦定理得 c=5
7
b.②
由①,②解得
b=7,
c=5.
所以 S△ABC=
1
2
bcsin A=10 3.
法二:延长 BD到 E,DE=BD,
连接 AE,在△ABE中,
∠BAE=2π
3
,
BE2=AB2+AE2-2·AB·AE·cos ∠BAE,
因为 AE=BC,
129=c2+a2+a·c,①
由已知得,sin ∠BAC=4 3
7
,
所以 sin C=sin(A+B)=5 3
14
,
c
a
=
sin ∠ACB
sin ∠BAC
=
5
8
.②
由①②解得 c=5,a=8,
S△ABC=
1
2
c·a·sin ∠ABC=10 3.
解三角形中的最值(范围)问题
[典型例题]
(1)在△ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知 2ccos B=2a-b.
①求角 C的大小;
②若|CA
→
-
1
2
CB→|=2,求△ABC面积的最大值.
(2)(2019·杭州市高考数学二模)在△ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若
msin A=sin B+sin C(m∈R).
①当 m=3时,求 cos A的最小值;
②当 A=π
3
时,求 m的取值范围.
- 7 -
【解】 (1)①因为 2ccos B=2a-b,
所以 2sin Ccos B=2sin A-sin B=2sin(B+C)-sin B,
化简得 sin B=2sin Bcos C,
因为 sin B≠0,所以 cos C=1
2
.
因为 0<C<π,所以 C=π
3
.
②取 BC的中点 D,则|CA
→
-
1
2
CB→|=|DA→ |=2.
在△ADC中,AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos C,
即有 4=b2+
a
2
2
-
ab
2
≥2 a2b2
4
-
ab
2
=
ab
2
,
所以 ab≤8,当且仅当 a=4,b=2时取等号.
所以 S△ABC=
1
2
absin C= 3
4
ab≤2 3,
所以△ABC面积的最大值为 2 3.
(2)①因为在△ABC中 msin A=sin B+sin C,
当 m=3时, 3sin A=sin B+sin C,
由正弦定理可得 3a=b+c,
再由余弦定理可得
cos A=b2+c2-a2
2bc
=
b2+c2-1
9
(b+c)2
2bc
=
8
9
(b2+c2)-
2
9
bc
2bc
≥
8
9
·2bc-2
9
bc
2bc
=
7
9
,
当且仅当 b=c时取等号,
故 cos A的最小值为
7
9
.
②当 A=π
3
时,可得
3
2
m=sin B+sin C,
故 m=2 3
3
sin B+2 3
3
sin C
=
2 3
3
sin B+2 3
3
sin
2π
3
-B
=
2 3
3
sin B+2 3
3
3
2
cos B+1
2
sin B
- 8 -
=
2 3
3
sin B+cos B+ 3
3
sin B
= 3sin B+cos B=2sin
B+π
6 ,
因为 B∈
0,2π
3 ,
所以 B+π
6
∈
π
6
,
5
6
π
,
所以 sin
B+π
6 ∈
1
2
,1
,
所以 2sin
B+π
6 ∈(1,2],
所以 m的取值范围为(1,2].
(1)求最值的一般思路
由余弦定理中含两边和的平方(如 a2+b2-2abcos C=c2)且 a2+b2≥2ab,因此在解三角形
中,若涉及已知条件中含边长之间的关系,且与面积有关的最值问题,一般利用 S=1
2
absin C
型面积公式及基本不等式求解,有时也用到三角函数的有界性.
(2)求三角形中范围问题的常见类型
①求三角形某边的取值范围.
②求三角形一个内角的取值范围,或者一个内角的正弦、余弦的取值范围.
③求与已知有关的参数的范围或最值.
[对点训练]
1.在△ABC中,AC→ ·AB→=|AC→-AB→ |=3,则△ABC面积的最大值为( )
A. 21 B.3 21
4
C. 21
2
D.3 21
解析:选 B.设角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,
因为AC→·AB→=|AC→-AB→ |=3,
所以 bccos A=a=3.
又 cos A=b2+c2-a2
2bc
≥1- 9
2bc
=1-3cos A
2
,
所以 cos A≥2
5
,
- 9 -
所以 0
相关文档
- 2019届二轮复习第7讲 三角恒等变2021-06-1215页
- 【数学】2020届一轮复习人教B版 2021-06-128页
- 【数学】2018届一轮复习人教A版三2021-06-128页
- 2020年浙江新高考数学二轮复习专题2021-06-118页
- 【数学】2020届一轮复习北师大版三2021-06-116页
- 2018届二轮复习(文)三角恒等变换与解2021-06-1168页
- 2019届二轮复习第9讲 三角恒等变2021-06-117页
- 2018届二轮复习(文科)专题二第2讲 2021-06-1116页
- 2019届二轮复习三角恒等变换与解三2021-06-1165页
- 【数学】2019届一轮复习人教A版 2021-06-1114页