【数学】2018届一轮复习苏教版（理）同角三角函数的基本关系及诱导公式教案（江苏专用） 13页

第 22 课 同角三角函数的基本关系及 诱导公式 [最新考纲] 要求 内容 A B C 同角三角函数的基本关系 √ 三角函数的诱导公式 √ 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin α cos α. 2．诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π 2 －α π 2 ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan_α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变符 号看象限 记忆规律 奇变偶不变，符号看象限 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若 α∈R，则 tan α＝sin α cos α 恒成立．(　　) (3)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．(　　) (4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 π 2 的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)已知 α 是第二象限角，sin α＝ 5 13 ，则 cos α 等于________． －12 13 　[∵sin α＝ 5 13 ，α 是第二象限角， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－12 13.] 3．若 tan α＝1 2 ，则 sin4α－cos4α 的值为________． －3 5 　[sin4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin2α＋cos 2α)＝ sin2α－cos2α sin2α＋cos2α ＝tan2α－1 tan2α＋1 ＝－3 5.] 4．(2016·四川高考)sin 750°＝________. 1 2 　[sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝1 2.] 5．已知 sin(π 2 ＋α)＝3 5 ，α∈(0，π 2)，则 sin(π＋α)＝________. －4 5 　[因为 sin(π 2 ＋α)＝cos α＝3 5 ，α∈(0，π 2)，所以 sin α＝ 1－cos2α＝4 5 ，所 以 sin(π＋α)＝－sin α＝－4 5.] 同角三角函数基本关系式的应用 　(1)已知 sin αcos α＝1 8 ，且5π 4 ＜α＜3π 2 ，则 cos α－sin α 的值为________． (2)(2016·全国卷Ⅲ改编)若 tan α＝3 4 ，则 cos2α＋2sin 2α＝________. (1) 3 2 　(2)64 25 　[(1)∵5π 4 ＜α＜3π 2 ， ∴cos α＜0，sin α＜0 且 cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×1 8 ＝3 4 ， ∴cos α－sin α＝ 3 2 . (2) ∵ tan α ＝ 3 4 ， 则 cos2α ＋ 2sin 2α ＝ cos2α＋4sin αcos α sin2α＋cos2α ＝ 1＋4tan α tan2α＋1 ＝ 1＋4 × 3 4 (3 4 )2＋1 ＝64 25.] [规律方法]　1.利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化，利 用sin α cos α ＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． 2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α －cos α 这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1 －sin2α. [ 变 式 训 练 1] 　 (1) 已 知 sin α － cos α ＝ 2， α ∈ (0 ， π) ， 则 tan α 等 于 ________. 【导学号：62172123】 －1　[由Error! 消去 sin α 得：2cos2α＋2 2cos α＋1＝0， 即( 2cos α＋1)2＝0， ∴cos α＝－ 2 2 . 又 α∈(0，π)，∴α＝3π 4 ， ∴tan α＝tan3π 4 ＝－1.] (2)设 θ 为第二象限角，若 tan(θ＋π 4)＝1 2 ，则 sin θ＋cos θ＝________. － 10 5 　[∵tan(θ＋π 4)＝1 2 ，∴1＋tan θ 1－tan θ ＝1 2 ，解得 tan θ＝－1 3. ∴(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ sin2θ＋cos2θ ＝tan2θ＋2tan θ＋1 tan2θ＋1 ＝ 1 9 －2 3 ＋1 1 9 ＋1 ＝2 5. ∵θ 为第二象限角，tan θ＝－1 3 ， ∴2kπ＋3π 4 ＜θ＜2kπ＋π，∴sin θ＋cos θ＜0， ∴sin θ＋cos θ＝－ 10 5 .] 诱导公式的应用 　(1)已知 A＝sin(kπ＋α) sin α ＋cos(kπ＋α) cos α (k∈Z)，则 A 的值构成的集合是 ________． (2)(2017· 南 通 一 模 ) 已 知 sin(x＋π 6)＝1 3 ， 则 sin(x－5π 6 )＋ sin2 (π 3 －x)的 值 是 ________． (1){－2,2}　(2)5 9 　[(1)当 k 为偶数时，A＝sin α sin α ＋cos α cos α ＝2； k 为奇数时，A＝－sin α sin α －cos α cos α ＝－2. (2)sin(x－5π 6 )＋sin2(π 3 －x)＝sin((x＋π 6)－π)＋sin2(π 2 －(x＋π 6))＝－sin(x＋π 6)＋ 1－sin2(x＋π 6)＝5 9.] [规律方法]　1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称 之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角 和三角函数进行化归． 2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值． [ 变 式 训 练 2] 　 已 知 cos(π 6 －α)＝ 3 3 ， 则 cos(5π 6 ＋α)－ sin2 (α－π 6)的 值 为 ________. 【导学号：62172124】 －2＋ 3 3 　[∵cos(5π 6 ＋α)＝cos[π－(π 6 －α)] ＝－cos(π 6 －α)＝－ 3 3 ， sin2(α－π 6)＝sin2[－(π 6 －α)]＝sin2(π 6 －α) ＝1－cos2(π 6 －α)＝1－( 3 3 )2＝2 3 ， ∴cos(5π 6 ＋α)－sin2(α－π 6)＝－ 3 3 －2 3 ＝－2＋ 3 3 .] 同角关系式与诱导公式的综合应用 　(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且 sin (θ＋π 4)＝3 5 ，则 tan (θ－π 4)＝________. (2)(2017·南京模拟)已知 cos(π 2 ＋α)＝2sin(α－π 2)，则 sin3(π－α)＋cos(α＋π) 5cos(5π 2 －α)＋3sin(7π 2 －α) 的值为________． (1)－4 3 　(2) 3 35 　[(1)由题意知 sin(θ＋π 4)＝3 5 ，θ 是第四象限角，所以 cos(θ＋π 4) ＞0，所以 cos(θ＋π 4)＝ 1－sin2(θ＋π 4)＝4 5. tan(θ－π 4)＝tan(θ＋π 4 －π 2)＝－ 1 tan(θ＋π 4) ＝－ cos(θ＋π 4) sin(θ＋π 4) ＝－ 4 5 3 5 ＝－4 3. (2)∵cos(π 2 ＋α)＝2sin(α－π 2)， ∴－sin α＝－2cos α，则 sin α＝2cos α， 代入 sin2α＋cos2α＝1，得 cos2α＝1 5. sin3(π－α)＋cos(α＋π) 5cos(5 2π－α)＋3sin(7 2π－α) ＝ sin3α－cos α 5sin α－3cos α ＝8cos3α－cos α 7cos α ＝8 7cos2α－1 7 ＝ 3 35.] [规律方法]　利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基 本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公 式化成单角三角函数；③整理得最简形式． (2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽 可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． [变式训练 3]　已知 sin α＝1 3 ，α 是第二象限角，则 tan(π－α)＝________. 2 4 　[∵sin α＝1 3 ，α 是第二象限角， ∴cos α＝－2 2 3 ， ∴tan α＝－ 2 4 ，故 tan(π－α)＝－tan α＝ 2 4 .] [思想与方法] 三角函数求值与化简的常用方法 (1)弦切互化法：主要利用公式 tan α＝sin α cos α 进行弦、切互化． (2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ 的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan π 4 等． (4)利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤． [易错与防范] 1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角 三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定． 2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 课时分层训练(二十二) A 组　基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、填空题 1．若 cos α＝1 3 ，α∈(－π 2 ，0)，则 tan α 等于________． －2 2　[∵α∈(－π 2 ，0)， ∴sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－(1 3 )2＝－2 3 2， ∴tan α＝sin α cos α ＝－2 2.] 2．已知 sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)，|θ|＜π 2 ，则 θ 等于________. 【导学号：62172125】 π 3 　[∵sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－ 3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π 2 ，∴θ＝π 3.] 3．(2017·苏州期中)已知 sin α＝1 4 ，且 α∈(π 2 ，π)，则 tan α＝________. － 15 15 　[∵α∈(π 2 ，π)，sin α＝1 4 ，∴cos α＝－ 1－sin2α＝－ 15 4 . ∴tan α＝sin α cos α ＝－ 15 15 .] 4．若 sin(π 6 －α)＝1 3 ，则 cos(π 3 ＋α)＝________. 1 3 　[cos(π 3 ＋α)＝cos[π 2 －(π 6 －α)] ＝sin(π 6 －α)＝1 3.] 5．已知 α 是三角形的内角，且 sin α＋cos α＝1 5 ，则 tan α＝________. 【导学号：62172126】 －4 3 　[由Error! 消去 cos α 整理，得 25sin2α－5sin α－12＝0， 解得 sin α＝4 5 或 sin α＝－3 5. 因为 α 是三角形的内角， 所以 sin α＝4 5. 又由 sin α＋cos α＝1 5 ，得 cos α＝－3 5 ， 所以 tan α＝－4 3.] 6．已知 α 为第二象限角，则 cos α 1＋tan2α＋sin α· 1＋ 1 tan2α ＝________. 0　[原式＝cos α 1＋sin2α cos2α ＋sin α 1＋cos2α sin2α ＝cos α 1 cos2α ＋sin α 1 sin2α ＝cos α 1 －cos α ＋sin α 1 sin α ＝0.] 7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________. 44．5　[因为 sin(90°－α)＝cos α，所以当 α＋β＝90°时，sin2α＋sin2β＝sin2α ＋cos2α＝1， 设 S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°， 则 S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21° 两个式子相加得 2S＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S＝44.5.] 8．(2017·苏北四市调研)cos 350°－2sin 160° sin(－190°) ＝________. 3　[原式＝cos(360°－10°)－2sin(180°－20°) －sin(180°＋10°) ＝ cos 10°－2sin(30°－10°) －(－sin 10°) ＝ cos 10°－2(1 2cos 10°－ 3 2 sin 10°) sin 10° ＝ 3.] 9．已知 sin θ＋cos θ＝4 3(0＜θ＜π 4)，则 sin θ－cos θ 的值为________. 【导学号：62172127】 － 2 3 　[∵sin θ＋cos θ＝4 3 ， ∴1＋2sin θcos θ＝16 9 ， ∴2sin θcos θ＝7 9.又 0＜θ＜π 4 ， 故 sin θ－cos θ＝－ (sin θ－cos θ)2＝ － 1－2sin θcos θ＝－ 2 3 .] 10．已知角 θ 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 2x－ y＝0 上，则 sin(3π 2 ＋θ)＋cos(π－θ) sin(π 2 －θ)－sin(π－θ) ＝________. 2　[由题意可得 tan θ＝2， 原式＝－cos θ－cos θ cos θ－sin θ ＝ －2 1－tan θ ＝2.] 二、解答题 11．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. [解]　原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝ 3 2 × 3 2 ＋1 2 ×1 2 ＋1＝2. 12．已知 sin(3π＋α)＝2sin(3π 2 ＋α)，求下列各式的值： (1) sin α－4cos α 5sin α＋2cos α ； (2)sin2α＋sin 2α. [解]　由已知得 sin α＝2cos α. (1)原式＝ 2cos α－4cos α 5 × 2cos α＋2cos α ＝－1 6. (2)原式＝sin2α＋2sin αcos α sin2α＋cos2α ＝ sin2α＋sin2α sin2α＋1 4sin2α ＝8 5. B 组　能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．已知 tan x＝sin(x＋π 2)，则 sin x＝________. 5－1 2 　[因为 tan x＝sin(x＋π 2)，所以 tan x＝cos x，所以 sin x＝cos2x，sin2x＋ sin x－1＝0，解得 sin x＝－1 ± 5 2 ， 因为－1≤sin x≤1，所以 sin x＝ 5－1 2 .] 2．设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当 0≤x＜π 时，f(x)＝0，则 f (23π 6 )＝________. 1 2 　[由 f(x＋π)＝f(x)＋sin x，得 f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π) ＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)， 所以 f(23 6 π )＝f(11 6 π＋2π) ＝f(11 6 π )＝f(π＋5 6π) ＝f(5 6π )＋sin5 6π. 因为当 0≤x＜π 时，f(x)＝0， 所以 f(23 6 π )＝0＋1 2 ＝1 2.] 3．已知 f(α)＝ sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π 2 ) tan(π 2 ＋α)·sin(－π－α) . (1)化简 f(α)； (2)若 α 是第三象限角，且 cos(α－3π 2 )＝1 5 ，求 f(α)的值． [解]　(1)f(α)＝ sin α·cos α·tan(－α＋3π 2 －2π) tan(π 2 ＋α)·sin α ＝ sin α·cos α·[－tan(π 2 ＋α)] tan(π 2 ＋α)·sin α ＝－cos α. (2)∵cos(α－3π 2 )＝－sin α＝1 5 ， ∴sin α＝－1 5 ， 又 α 是第三象限角，∴cos α＝－ 1－sin2α＝－2 6 5 ， 故 f(α)＝2 6 5 . 4．已知 f(x)＝cos2(nπ＋x)·sin2(nπ－x) cos2[(2n＋1)π－x] (n∈Z)． (1)化简 f(x)的表达式； (2)求 f( π 2 018)＋f (504π 1 009)的值． [解]　(1)当 n 为偶数，即 n＝2k(k∈Z)时， f(x)＝cos2(2kπ＋x)·sin2(2kπ－x) cos2[(2 × 2k＋1)π－x] ＝cos2x·sin2(－x) cos2(π－x) ＝cos2x·(－sin x)2 (－cos x)2 ＝sin2x； 当 n 为奇数，即 n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝cos2[(2k＋1)π＋x]·sin2[(2k＋1)π－x] cos2{[2 × (2k＋1)＋1]π－x} ＝cos2[2kπ＋(π＋x)]·sin2[2kπ＋(π－x)] cos2[2 × (2k＋1)π＋(π－x)] ＝cos2(π＋x)·sin2(π－x) cos2(π－x) ＝ (－cos x)2sin2x (－cos x)2 ＝sin2x，综上得 f(x)＝sin2x. (2)由(1)得 f( π 2 018)＋f(504π 1 009) ＝sin2 π 2 018 ＋sin21 008π 2 018 ＝sin2 π 2 018 ＋sin2(π 2 － π 2 018)＝sin2 π 2 018 ＋cos2 π 2 018 ＝1.