【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第六章阅读与欣赏(五)　解决数列问题的七大常用技巧学案 5页

解决数列问题的七大常用技巧 　巧用性质减少运算 等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个 量，从整体上使用公式． (1)等比数列{an}中，已知 a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则 a9＋a11＋a13＋a15 的值为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．5 (2)设等差数列{a n}的前 n 项和为 S n ，若 S6>S7>S5 ，则满足 SkSk ＋ 1<0 的正整数 k＝ __________． [点拨]　(1)可直接把 a1＋a3 看作一个整体，利用等比数列的性质求解公比，然后代入即 可；也可直接将已知转化为首项和公比所满足的方程，求出公比后再求和．(2)利用等差数列 的前 n 项和的性质． 【解析】　(1)法一：因为{an}为等比数列，所以 a5＋a7 是 a1＋a3 与 a9＋a11 的等比中项， 所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)·(a9＋a11)，故 a9＋a11＝(a5＋a7)2 a1＋a3 ＝42 8 ＝2. 同理，a9＋a11 是 a5＋a7 与 a13＋a15 的等比中项， 所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)， 故 a13＋a15＝(a9＋a11)2 a5＋a7 ＝22 4 ＝1. 所以 a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3. 法二：设等比数列{an}的公比为 q， 则 a5＝a1q4，a7＝a3q4，所以 q4＝a5＋a7 a1＋a3＝4 8＝1 2. 又 a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8×(1 2 )2 ＝2， a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8×(1 2 )3 ＝1， 所以 a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3. (2)依题意得 a6＝S6－S5>0， a7＝S7－S6<0，a6＋a7＝S7－S5>0， 则 S11＝11(a1＋a11) 2 ＝11a6>0， S12＝12(a1＋a12) 2 ＝12(a6＋a7) 2 >0， S13＝13(a1＋a13) 2 ＝13a7<0， 所以 S12S13<0，即满足 SkSk＋1<0 的正整数 k＝12. 【答案】　(1)C　(2)12 　巧用升降角标法实现转化 在含有 an，Sn 对任意正整数 n 恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再得出一个等 式，通过两式相减得出数列递推式，再根据递推式求得数列的通项公式和解决其他问题． 设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．求数列{an}的通 项公式． 【解】　当 n≥2 时，由 an＋1＝2Sn＋3， 得 an＝2Sn－1＋3， 两式相减，得 an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an， 所以 an＋1＝3an， 所以an＋1 an ＝3. 当 n＝1 时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则a2 a1＝3. 所以数列{an}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列． 所以 an＝3×3n－1＝3n. 　巧用不完全归纳找规律 解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规 律． 在数列{an}中，已知 a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos[(n＋1)π]，记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则 S2 018＝__________． [点拨]　根据递推式计算数列的前面若干项，发现规律，然后求 S2 018 的值． 【解析】　由 a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos [(n＋1)π]，得 a2＝a1＋cos 2π＝1＋1＝2，a3＝－ a2＋cos 3π＝－2－1＝－3，a4＝a3＋cos 4π＝－3＋1＝－2，a5＝－a4＋cos 5π＝2－1＝1，…由 此可知，数列{an}是以 4 为周期的周期数列，且 a1＋a2＋a3＋a4＝－2，所以 S2 018＝504(a1＋a2 ＋a3＋a4)＋a2 017＋a2 018＝504×(－2)＋a1＋a2＝－1 005. 【答案】　－1 005 　巧用辅助数列求通项 已知数列的递推式求数列的通项公式时，基本思想就是通过变换递推式把其转化为等差 数列、等比数列(辅助数列)，求出辅助数列的通项，再通过变换求出原数列的通项公式． (1)当出现 an＝an－1＋m(n≥2)时，构造等差数列； (2)当出现 an＝xan－1＋y(n≥2)时，构造等比数列． (1)设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－4an＝3×2n＋1，求数列{an}的通项公式． (2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ an an＋3(n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 【解】　(1)由 an＋1－4an＝3×2n＋1 得，an＋1 2n＋1－2an 2n ＝3， 设 bn＝an 2n，则 bn＋1＝2bn＋3，设 bn＋1＋t＝2(bn＋t)，所以 2t－t＝3，解得 t＝3，所以 bn＋ 1＋3＝2(bn＋3)，所以bn＋1＋3 bn＋3 ＝2，又 b1＋3＝a1 2 ＋3＝1＋3＝4，所以数列{bn＋3}是以 4 为首 项，2 为公比的等比数列，所以 bn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以 bn＝2n＋1－3，所以 an＝bn·2n＝ (2n＋1－3)×2n＝22n＋1－3×2n. (2)因为 an＋1＝ an an＋3(n∈N*)，所以 1 an＋1＝ 3 an＋1，设 1 an＋1＋t＝3( 1 an＋t )，所以 3t－t＝1，解 得 t＝1 2，所以 1 an＋1＋1 2＝3( 1 an＋1 2)，又1 a1＋1 2＝1＋1 2＝3 2，所以数列{ 1 an＋1 2}是以3 2为首项，3 为公 比的等比数列，所以 1 an＋1 2＝3 2×3n－1＝3n 2 ，所以 an＝ 2 3n－1. 　巧用裂项求和 裂项相消法是数列求和的基本方法之一，在通项为分式的情况下，注意尝试裂项，裂项 的基本原则是 an＝f(n)－f(n＋1)． 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝3，若数列{Sn＋1}是公比为 4 的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝ an＋1 (an＋1－3)·Sn＋1，n∈N*，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [点拨]　(1)先求 Sn，再利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)求 an；(2)把通项分解为两项的差，再消 项求和． 【解】　(1)由题意知 Sn＋1＝(S1＋1)·4n－1＝4n， 所以 Sn＝4n－1， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3·4n－1，且 a1＝3 满足上式， 所以数列{an}的通项公式为 an＝3·4n－1. (2)bn＝ an＋1 (an＋1－3)·Sn＋1＝ 4n (4n－1)(4n＋1－1) ＝1 3( 1 4n－1－ 1 4n＋1－1)， 所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1 3×( 1 41－1－ 1 42－1)＋1 3×( 1 42－1－ 1 43－1)＋…＋1 3×( 1 4n－1－ 1 4n＋1－1) ＝1 3( 1 41－1－ 1 4n＋1－1)＝1 9－ 1 3(4n＋1－1). 　巧用分组妙求和 分组求和方法是分类与整合思想在数列求和问题中的具体体现，其基本特点是把求和目 标分成若干部分，先求出部分和，再整合部分和的结果得出整体和． (1)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则 S2 018＝____________． (2)若数列{an}的通项公式为 an＝22n＋1，令 bn＝(－1)n－1× 4(n＋1) log2anlog2an＋1，则数列{bn}的 前 n 项和 Tn＝____________． 【解析】　(1)由 an＋1·an＝2n， 得 an＋1·an＋2＝2n＋1， 则an＋1·an＋2 an·an＋1 ＝2，即an＋2 an ＝2， 所以数列 a1，a3，a5，…，a2k＋1，…是以 a1＝1 为首项，2 为公比的等比数列；数列 a2， a4，a6，…，a2k，…是以 a2＝2 为首项，2 为公比的等比数列， 则 S2 018＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 018)＝1－21 009 1－2 ＋2(1－21 009) 1－2 ＝3×21 009－3. (2)由题意得 bn＝(－1)n－1 4(n＋1) log2anlog2an＋1 ＝(－1)n－1 4(n＋1) (2n＋1)(2n＋3)＝(－1)n－1( 1 2n＋1＋ 1 2n＋3)， 当 n 为偶数时， Tn＝(1 3＋1 5 )－(1 5＋1 7 )＋…＋( 1 2n－1＋ 1 2n＋1)－( 1 2n＋1＋ 1 2n＋3)＝1 3－ 1 2n＋3， 当 n 为奇数时， Tn＝(1 3＋1 5 )－(1 5＋1 7 )＋…－( 1 2n－1＋ 1 2n＋1)＋( 1 2n＋1＋ 1 2n＋3)＝1 3＋ 1 2n＋3， 所以 Tn＝1 3－(－1)n 1 2n＋3. 【答案】　(1)3×21 009－3　(2)1 3－(－1)n 1 2n＋3 　巧用特值验算保准确 使用“错位相减法”求和的方法学生都能够掌握，但求解的结果容易出现错误，应该在 求出结果后使用 a1＝S1 进行检验，如果出现 a1≠S1，则说明运算结果一定错误，这时可以检 查解题过程找出错误、矫正运算结果． 已知数列{an}的通项公式为 an＝3n－1 2n ，则其前 n 项和 Sn＝__________． 【解析】　Sn＝ 2 21＋ 5 22＋ 8 23＋…＋3n－1 2n ， 2Sn＝2＋ 5 21＋ 8 22＋…＋3n－1 2n－1 ， 两式相减得 Sn＝2＋ 3 21＋ 3 22＋…＋ 3 2n－1－3n－1 2n ， Sn＝2＋ 3 2(1－ 1 2n－1) 1－1 2 －3n－1 2n ＝5－3n＋5 2n . 【答案】　5－3n＋5 2n