高中数学人教a版必修二 章末综合测评4 word版含答案 9页

章末综合测评(四) 圆与方程 (时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在空间直角坐标系中，点 A(－3,4,0)与点 B(2，－1,6)的距离是( ) A．2 43 B．2 21 C．9 D. 86 【解析】 由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB|＝ －3－22＋4＋12＋0－62＝ 86. 【答案】 D 2．当圆 x2＋y2＋2x＋ky＋k2＝0 的面积最大时，圆心坐标是( ) A．(0，－1) B．(－1,0) C．(1，－1) D．(－1,1) 【解析】 圆的标准方程得：(x＋1)2＋ y＋k 2 2＝1－3k2 4 ，当半径的平方 1－3k2 4 取最大值为 1 时，圆的面积最大．∴k＝0，即圆心为(－1,0)． 【答案】 B 3．圆 O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0 与圆 O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0 的位置关 系是( ) A．相交 B．相离 C．内含 D．内切 【解析】 把圆 O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0 与圆 O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0 分别化为标准式为(x－2)2＋(y－3)2＝1 和(x－4)2＋(y－3)2＝9，两圆心间的距离 d ＝ 4－22＋3－32＝2＝|r1－r2|，所以两圆的位置关系为内切，故选 D. 【答案】 D 4．(2016·葫芦岛高一检测)过点(2,1)的直线中，被圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 截得的 最长弦所在的直线方程为( ) A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0 【解析】 依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y＋2 1＋2 ＝x－1 2－1 ，即 3x－y－5＝0，故选 A. 【答案】 A 5．已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关 系是( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【解析】 由题意知点在圆外，则 a2＋b2＞1，圆心到直线的距离 d＝ 1 a2＋b2 ＜1，故直线与圆相交． 【答案】 B 6．若 P(2，－1)为圆 C：(x－1)2＋y2＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程 是( ) A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0 【解析】 圆心 C(1,0)，kPC＝0－－1 1－2 ＝－1， 则 kAB＝1，AB 的方程为 y＋1＝x－2， 即 x－y－3＝0，故选 D. 【答案】 D 7．圆心在 x 轴上，半径为 1，且过点(2,1)的圆的方程是( ) A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x＋2)2＋y2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1 【解析】 设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得 a＝2. 故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1. 【答案】 A 8．(2016·泰安高一检测)圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 上的点到直线 x＋y－14＝0 的最大距离与最小距离的差是( ) 【导学号：09960151】 A．36 B．18 C．6 2 D．5 2 【解析】 圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 的圆心为(2,2)，半径为 3 2，圆心到直 线 x＋y－14＝0 的距离为|2＋2－14| 2 ＝5 2＞3 2，圆上的点到直线的最大距离与最 小距离的差是 2R＝6 2. 【答案】 C 9．过点 P(－2,4)作圆 O：(x－2)2＋(y－1)2＝25 的切线 l，直线 m：ax－3y＝0 与直线 l 平行，则直线 l 与 m 的距离为( ) A．4 B．2 C.8 5 D.12 5 【解析】 P 为圆上一点，则有 kOP·kl＝－1，而 kOP＝ 4－1 －2－2 ＝－3 4 ， ∴kl＝4 3.∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l 与 m 的距离为 |20| 42＋－32 ＝4. 【答案】 A 10．一个几何体的三视图如图 1 所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该 几何体的四个顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)， (0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能是( ) 图 1 A．(1,1,1) B．(1,1， 2) C．(1,1， 3) D．(2,2， 3) 【解析】 由三视图知，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的顶点在底面的射 影是底面正方形的中心，高为 3，则第五个顶点的坐标为(1,1， 3)．故选 C. 【答案】 C 11．已知圆 C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝2，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x－y－1＝0 对称， 则圆 C2 的方程为( ) A．(x＋3)2＋(y－3)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 D．(x－3)2＋(y＋3)2＝2 【解析】 设点(－2,2)关于直线 x－y－1＝0 的对称点为 Q(m，n)，则 n－2 m＋2 ×1＝－1， m－2 2 －n＋2 2 －1＝0， 解得 m＝3，n＝－3，所以圆 C2 的圆心坐标为(3，－3)， 所以圆 C2 的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝2，故选 D. 【答案】 D 12．(2016·台州高二检测)已知圆 O：x2＋y2－4＝0，圆 C：x2＋y2＋2x－15＝0， 若圆 O 的切线 l 交圆 C 于 A，B 两点，则△OAB 面积的取值范围是( ) 图 2 A．[2 7，2 15] B．[2 7，8] C．[2 3，2 15] D．[2 3，8] 【解析】 S△OAB＝1 2|AB|·2＝|AB|， 设 C 到 AB 的距离为 d， 则|AB|＝2 42－d2，又 d∈[1,3]， 7≤42－d2≤15， 所以 S△OAB＝|AB|∈[2 7，2 15]． 【答案】 A 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线 上) 13．已知 A(1,2,3)，B(5,6，－7)，则线段 AB 中点 D 的坐标为________． 【解析】 设 D(x，y，z)，由中点坐标公式可得 x＝1＋5 2 ＝3，y＝2＋6 2 ＝4，z ＝3－7 2 ＝－2，所以 D(3,4，－2)． 【答案】 (3,4，－2) 14．以原点 O 为圆心且截直线 3x＋4y＋15＝0 所得弦长为 8 的圆的方程是 ________． 【解析】 原点 O 到直线的距离 d＝ 15 32＋42 ＝3，设圆的半径为 r，∴r2＝32 ＋42＝25，∴圆的方程是 x2＋y2＝25. 【答案】 x2＋y2＝25 15．(2015·重庆高考)若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为________． 【解析】 ∵以原点 O 为圆心的圆过点 P(1,2)， ∴圆的方程为 x2＋y2＝5. ∵kOP＝2，∴切线的斜率 k＝－1 2. 由点斜式可得切线方程为 y－2＝－1 2(x－1)， 即 x＋2y－5＝0. 【答案】 x＋2y－5＝0 16．若 x，y∈R，且 x＝ 1－y2，则y＋2 x＋1 的取值范围是________． 【解析】 x＝ 1－y2⇔x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示半圆，如图，设 P(x，y)是半圆上的 点，则y＋2 x＋1 表示过点 P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线 QA 的斜率为 k，则它的方程为 y＋2＝k(x＋1)．从而由 |k－2| k2＋1 ＝1，解得 k＝3 4.又 kBQ＝3，∴所求 范围是 3 4 ，3 . 【答案】 3 4 ，3 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤) 17．(本小题满分 10 分)求经过两点 A(－1,4)，B(3,2)且圆心在 y 轴上的圆的方 程． 【解】 法一：∵圆心在 y 轴上， 设圆的标准方程是 x2＋(y－b)2＝r2. ∵该圆经过 A、B 两点， ∴ －12＋4－b2＝r2， 32＋2－b2＝r2， ∴ b＝1， r2＝10. 所以圆的方程是 x2＋(y－1)2＝10. 法二：线段 AB 的中点为(1,3)， kAB＝ 2－4 3－－1 ＝－1 2 ， ∴弦 AB 的垂直平分线方程为 y－3＝2(x－1)， 即 y＝2x＋1. 由 y＝2x＋1， x＝0， 得(0,1)为所求圆的圆心． 由两点间距离公式得圆半径 r 为 0＋12＋1－42＝ 10， ∴所求圆的方程为 x2＋(y－1)2＝10. 18．(本小题满分 12 分)如图 3 所示，BC＝4，原点 O 是 BC 的中点，点 A 的 坐标是 3 2 ，1 2 ，0 ，点 D 在平面 yOz 上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求 AD 的 长度． 图 3 【解】 由题意得 B(0，－2,0)，C(0,2,0)，设 D(0，y，z)，在 Rt△BDC 中， ∠DCB＝30°， ∴|BD|＝2，|CD|＝2 3，∴z＝ 3，2－y＝3， ∴y＝－1，∴D(0，－1， 3)． 又∵A 3 2 ，1 2 ，0 ， ∴|AD|＝ 3 2 2＋ 1 2 ＋1 2＋(－ 3)2＝ 6. 19．(本小题满分 12 分)已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x＋(m ＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)证明：不论 m 为何值时，直线和圆恒相交于两点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程． 【解】 (1)证明：由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0， 得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0. 解 2x＋y－7＝0， x＋y－4＝0， 得 x＝3， y＝1， ∴直线 l 恒过定点 A(3,1)．又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25， ∴(3,1)在圆 C 的内部，故直线 l 与圆 C 恒有两个公共点． (2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时，有 l⊥AC，由 kAC＝－1 2 ，得 l 的方程为 y－1＝2(x－3)，即 2x－y－5＝0. 20．(本小题满分 12 分)点 A(0,2)是圆 x2＋y2＝16 内的定点，B，C 是这个圆上 的两个动点，若 BA⊥CA，求 BC 中点 M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线． 【解】 设点 M(x，y)，因为 M 是弦 BC 的中点，故 OM⊥BC. 又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝1 2|BC|＝|MB|. ∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2， ∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即 42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为 x2＋y2－ 2y－6＝0， 即 x2＋(y－1)2＝7. ∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以 7为半径的圆． 21．(本小题满分 12 分)如图 4 所示，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交 于 E 点，定点 A，C 的坐标分别是 A(－2,3)，C(2,1)． 图 4 (1)求以线段 AC 为直径的圆 E 的方程； (2)若 B 点的坐标为(－2，－2)，求直线 BC 截圆 E 所得的弦长． 【解】 (1)AC 的中点 E(0,2)即为圆心， 半径 r＝1 2|AC|＝1 2 42＋－22＝ 5， 所以圆 E 的方程为 x2＋(y－2)2＝5. (2)直线 BC 的斜率 k＝1－－2 2－－2 ＝3 4 ， 其方程为 y－1＝3 4(x－2)，即 3x－4y－2＝0. 点 E 到直线 BC 的距离为 d＝|－8－2| 5 ＝2，所以 BC 截圆 E 所得的弦长为 2 5－22＝2. 22.(本小题满分 12 分)如图 5，已知圆 C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，点 A(0,6)． (1)求圆心在直线 y＝x 上，经过点 A，且与圆 C 相外切的圆 N 的方程； (2)若过点 A 的直线 m 与圆 C 交于 P，Q 两点，且圆弧 PQ 恰为圆 C 周长的1 4 ， 求直线 m 的方程． 【导学号：09960152】 图 5 【解】 (1)由 x2＋y2＋10x＋10y＝0， 化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50. 所以圆 C 的圆心坐标为 C(－5，－5)， 又圆 N 的圆心在直线 y＝x 上， 所以当两圆外切时，切点为 O，设圆 N 的圆心坐标为(a，a)， 则有 a－02＋a－62＝ a－02＋a－02， 解得 a＝3， 所以圆 N 的圆心坐标为(3,3)，半径 r＝3 2， 故圆 N 的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18. (2)因为圆弧 PQ 恰为圆 C 周长的1 4 ，所以 CP⊥CQ. 所以点 C 到直线 m 的距离为 5. 当直线 m 的斜率不存在时，点 C 到 y 轴的距离为 5，直线 m 即为 y 轴，所以 此时直线 m 的方程为 x＝0. 当直线 m 的斜率存在时，设直线 m 的方程为 y＝kx＋6， 即 kx－y＋6＝0. 所以|－5k＋5＋6| 1＋k2 ＝5，解得 k＝48 55. 所以此时直线 m 的方程为 48 55x－y＋6＝0， 即 48x－55y＋330＝0， 故所求直线 m 的方程为 x＝0 或 48x－55y＋330＝0.