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  • 2021-06-15 发布

高中数学第二章数列2-4-1等比数列的定义及通项公式课时作业含解析新人教A版必修

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课时作业13 等比数列的定义及通项公式 时间:45分钟 ‎ ——基础巩固类——‎ 一、选择题 ‎1.若a,b,c成等差数列,则a,b,c一定( B )‎ A.是等差数列 B.是等比数列 C.既是等差数列也是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 解析:因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是2=2b=a+c=a·c,所以a,b,c一定是等比数列.‎ ‎2.在等比数列{an}中,a2 017=-‎8a2 014,则公比q等于( B )‎ A.2 B.-2‎ C.±2 D. 解析:由a2 017=-‎8a2 014,得a1q2 016=-‎8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.‎ ‎3.各项均为正数的等比数列{an}中,‎2a1+a2=a3,则的值为( D )‎ A.-1 B.-1或2‎ C.3 D.2‎ 解析:设{an}的公比为q(q>0),则‎2a1+a1q=a1q2,‎ 所以q2-q-2=0,所以q=2或q=-1(舍去),‎ 所以==q=2.故选D.‎ ‎4.数列{an}为等差数列,a1,a2,a3成等比数列,a5=1,则a10等于( D )‎ A.5 B.-1‎ C.0 D.1‎ 解析:设公差为d,由已知得 解得所以a10=a1+9d=1,故选D.‎ ‎5.已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( B )‎ A.21 B.42‎ C.63 D.84‎ 解析:∵a1=3,a1+a3+a5=21,‎ ‎∴3+3q2+3q4=21.‎ ‎∴1+q2+q4=7.解得q2=2或q2=-3(舍去).‎ 5‎ ‎∴a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.‎ ‎6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( B )‎ A.2n-1 B.n-1‎ C.n-1 D. 解析:由Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,=.又S1=a1=1,所以Sn=n-1,故选B.‎ 二、填空题 ‎7.若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项,则x的值为-4.‎ 解析:由于x,2x+2,3x+3成等比数列,‎ 所以==,且x≠-1,0.‎ 所以2(2x+2)=3x,所以x=-4.‎ ‎8.已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且‎2a1+a2=1,则a1=,d=-1.‎ 解析:∵a2,a3,a7成等比数列,∴a=a‎2a7,‎ ‎∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),即2d+‎3a1=0.①‎ 又∵‎2a1+a2=1,∴‎3a1+d=1.②‎ 由①②解得a1=,d=-1.‎ ‎9.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=-1.‎ 解析:由题意,得a2-a1==2,b=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以==-1.‎ 三、解答题 ‎10.已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{an}的第几项相等?‎ 解:(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a4-a3=2,所以d=2.‎ 又因为a1+a2=10,‎ 所以‎2a1+d=10,故a1=4.‎ 所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).‎ ‎(2)设等比数列{bn}的公比为q.‎ 因为b2=a3=8,b3=a7=16,‎ 5‎ 所以q=2,b1=4.‎ 所以b6=4×26-1=128.‎ 由128=2n+2得n=63,‎ 所以b6与数列{an}的第63项相等.‎ ‎11.已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+(n∈N*).‎ ‎(1)求证:是等比数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ 解:(1)证明:∵an+1=an+,‎ ‎∴an+1-=an+-=.‎ ‎∴=.‎ a1-=-=,‎ ‎∴是首项为,公比为的等比数列.‎ ‎(2)∵an-=×n-1,‎ ‎∴an=×n-1+.‎ ‎——能力提升类——‎ ‎12.已知等比数列{an},各项都是正数,且a1,a3,‎2a2成等差数列,则=( A )‎ A.3+2 B.1- C.1+ D.3-2 解析:由a1,a3,‎2a2成等差数列,得a3=a1+‎2a2.在等比数列{an}中,有a1q2=a1+‎2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.‎ ‎13.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+‎2a5,若存在两项am、an,使得=‎4a1,则m+n的值为( B )‎ A.10 B.6‎ C.4 D.不存在 解析:因为a7=a6+‎2a5,所以a5q2=a5q+‎2a5,‎ 又a5≠0,所以q2=q+2,所以q=2或q=-1,‎ 又an>0,所以q=2.‎ 5‎ 又 =‎4a1,所以aman=‎16a,‎ 所以aqm-1·qn-1=‎16a,‎ 所以qm+n-2=16,即‎2m+n-2=24,‎ 所以m+n-2=4,所以m+n=6.故选B.‎ ‎14.已知a,b,c成等比数列,m,n分别是a,b和b,c的等差中项,则+=2.‎ 解析:∵m=,n=,b2=ac,‎ ‎∴+=+ ‎= ‎= ‎==2.‎ ‎15.设数列{an}的前n项和Sn=2an-2n.‎ ‎(1)求a3,a4;‎ ‎(2)证明:{an+1-2an}是等比数列;‎ ‎(3)求{an}的通项公式.‎ 解:(1)∵a1=S1,‎2a1=S1+2,∴a1=2,S1=2.‎ 由2an=Sn+2n知 ‎2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,‎ ‎∴an+1=Sn+2n+1.①‎ ‎∴a2=S1+22=2+22=6,S2=8,‎ a3=S2+23=8+23=16,S3=24,‎ a4=S3+24=40.‎ ‎(2)证法一:由题设和①式知 an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n.‎ ‎∴数列{an+1-2an}是首项为2,公比为2的等比数列.‎ 证法二:由Sn=2an-2n,②‎ 得Sn+1=2an+1-2n+1.③‎ ‎③-②得an+1=2an+1-2n+1-2an+2n,即an+1-2an=2n.‎ ‎∴数列{an+1-2an}是首项为2,公比为2的等比数列.‎ ‎(3)由(2)知an+1-2an=2n,‎ 等号两端同时除以2n+1,得-=,‎ ‎∴数列是以=1为首项,以为公差的等差数列,‎ ‎∴=1+(n-1),‎ 即an=(n+1)·2n-1.‎ 5‎ 5‎