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  • 2021-06-15 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版正弦定理和余弦定理学案

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第21讲 正弦定理和余弦定理 考纲要求 考情分析 命题趋势 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.‎ ‎2017·全国卷Ⅰ,11‎ ‎2017·山东卷,17‎ ‎2017·天津卷,15‎ ‎2017·浙江卷,14‎ 正、余弦定理是解三角形的主要工具.高考中主要考查用其求三角形中的边和角及进行边、角之间的转化.‎ 分值:5~12分 ‎1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ‎ ==__=2R ‎(R为△ABC外接圆半径)‎ a2=__b2+c2-2bccos_A__,‎ b2=__a2+c2-2accos_B__,‎ c2=__a2+b2-2abcos_C__‎ 变形 形式 a=__2Rsin_A__,‎ b=__2Rsin_B__,‎ c=__2Rsin_C__,‎ sin A=____,‎ sin B=____,‎ sin C=____,‎ a∶b∶c=__sin A∶sin B∶sin C__,‎ asin B=bsin A,bsin C=csin B,‎ cos A=____,‎ cos B=____,‎ cos C=____‎ asin C=csin A,=2R ‎2.在△ABC中,已知a,b和A,解三角形时解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 ab a≤b 解的个数 ‎__无解__‎ ‎__一解__‎ ‎__两解__‎ ‎__一解__‎ ‎__一解__‎ ‎__无解__‎ ‎3.三角形常用的面积公式 ‎(1)S=a·ha(ha表示a边上的高).‎ ‎(2)S=absin C=acsin B=bcsin A=.‎ ‎(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).‎ ‎1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).‎ ‎(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.( √ )‎ ‎(2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.( × )‎ ‎(3)已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.( √ )‎ ‎(4)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( × )‎ ‎(5)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.( √ )‎ 解析 (1)正确.由正弦定理和余弦定理的证明过程可知,它们对任意三角形都成立.‎ ‎(2)错误.由正弦定理可知该结论错误.‎ ‎(3)正确.由余弦定理可知该结论正确.‎ ‎(4)错误.当已知三个角时不能求三边.‎ ‎(5)正确.由正弦定理知sin A=,sin B=,由sin A>sin B得a>b,即A>B.‎ ‎2.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=( B )‎ A.4   B.‎2‎  ‎ C.   D. 解析 由正弦定理得=,即=,‎ 所以AC=×=2.‎ ‎3.在△ABC中,a=,b=1,c=2,则∠A=( C )‎ A.30°   B.45°  ‎ C.60°   D.75°‎ 解析 ∵cos A===,且0°0,∴B为锐角,sin B=.‎ ‎∵sin A2,∴三角形仅有一解,∴c=3.设BC边上的高为h,则h=csin B=.‎ ‎5.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( B )‎ A.5   B.  ‎ C.2   D.1‎ 解析 S=AB·BCsin B=×1×sin B=,∴sin B=,∴B=或.当B=时,根据余弦定理得AC ‎2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2+2=5,∴AC=,此时△ABC为钝角三角形,符合题意;当B=时,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2-2=1,∴AC=1,此时AB2+AC2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意,故AC=.‎ ‎6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( C )‎ A.3   B.  ‎ C.   D.3 解析 ∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.①‎ ‎∵C=,∴c2=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab.②‎ 由①②,得-ab+6=0,即ab=6.‎ ‎∴S△ABC=absin C=×6×=.‎ 二、填空题 ‎7.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列.若sin B=,cos B=,则a+c的值为__3__.‎ 解析 ∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.∵sin B=,cos B=,∴ac=13,∴b2=a2+c2-2accos B,∴a2+c2=37,∴(a+c)2=63,∴a+c=3.‎ ‎8.(2017·浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是____,cos∠BDC=____.‎ 解析 在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,由余弦定理得cos∠ABC===,则sin∠ABC=sin∠CBD=,所以S△BDC=BD·BCsin∠CBD=.因为BD=BC=2,所以∠BDC=∠ABC,则cos∠BDC==.‎ ‎9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为__-__.‎ 解析 由2sin B=3sin C及正弦定理得2b=‎3c,即b=c.又∵b-c=a,∴c=a,即a=‎ ‎2c‎.由余弦定理,得cos A====-.‎ 三、解答题 ‎10.(2018·河北邢台质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=2asin B,tan A>0.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若b=1,c=2,△ABC的面积为S,求.‎ 解析 (1)∵b=2asin B,∴sin B=2sin A·sin B,sin B>0,‎ ‎∴sin A=,∵tan A>0,∴A为锐角,∴A=.‎ ‎(2)∵a2=b2+c2-2bccos A=1+12-4×=7,∴a=.‎ 又S=bcsin A=,∴=.‎ ‎11.(2018·河南重点高中期中)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2=.‎ ‎(1)判断△ABC的形状并加以证明;‎ ‎(2)当c=1时,求△ABC周长的最大值.‎ 解析 (1)∵=-,即cos A=,‎ ‎∴b=ccos A=c·,即c2=b2+a2,‎ ‎∴△ABC为直角三角形.‎ ‎(2)∵c为直角△ABC的斜边,当c=1时,‎ 周长L=1+sin A+cos A=1+sin.‎ ‎∵0c.已知·=2,cos B=,b=3,求:‎ ‎(1)a和c的值;‎ ‎(2)cos(B-C)的值.‎ 解析 (1)由·=2,得c·acos B=2,又cos B=,所以ac=6.‎ 由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.由解得a=2,c=3或a=3,c=2.‎ 因为a>c,所以a=3,c=2.‎ ‎(2)在△ABC中,sin B===.‎ 由正弦定理,得sin C=sin B=×=.‎ 因为a=b>c,所以C为锐角,因此cos C===.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin B·sin C=×+×=.‎