高考数学专题复习练习：考点规范练25 5页

考点规范练25　平面向量基本定理及向量的坐标表示 ‎　考点规范练A册第18页　 ‎ 基础巩固 ‎1.向量a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是(　　)‎ A.e1=(0,0),e2=(1,2)‎ B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)‎ C.e1=(3,5),e2=(6,10)‎ D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)‎ 答案B 解析由题意知,A选项中e1=0,C,D选项中两个向量均共线,都不符合基底条件,故选B.‎ ‎2.已知点A(1,2),B(4,3),向量AC=(4,3),则向量BC=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(1,2) B.(-1,-2)‎ C.(-1,2) D.(1,4)‎ 答案A 解析∵AB‎=OB-‎OA=(4,3)-(1,2)=(3,1),AC=(4,3),‎ ‎∴BC‎=AC-‎AB=(4,3)-(3,1)=(1,2).‎ ‎3.已知平面向量a=(1,-2),b=(2,m),且a∥b,则3a+2b=(　　)‎ A.(7,2) B.(7,-14)‎ C.(7,-4) D.(7,-8)‎ 答案B 解析因为a∥b,所以m+4=0,所以m=-4.‎ 所以b=(2,-4).所以3a+2b=(7,-14).‎ ‎4.已知在▱ABCD中,AD=(2,8),AB=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则AM=(　　)‎ A.‎-‎1‎‎2‎,-6‎ B.‎‎-‎1‎‎2‎,6‎ C.‎1‎‎2‎‎,-6‎ D.‎‎1‎‎2‎‎,6‎ 答案B 解析因为在▱ABCD中,有AC‎=AB+AD,AM=‎‎1‎‎2‎AC,所以AM‎=‎1‎‎2‎(AB+‎AD)=‎1‎‎2‎×(-1,12)=‎-‎1‎‎2‎,6‎,故选B.‎ ‎5.在△ABC中,点P在BC上,且BP=2PC,点Q是AC的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于(　　)‎ A.(-2,7) B.(-6,21)‎ C.(2,-7) D.(6,-21)‎ 答案B 解析如图,BC=3PC=3(2PQ‎-‎PA)=6PQ-3PA=(6,30)-(12,9)=(-6,21).‎ ‎6.(2016河北衡水中学一模)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,2) B.(2,+∞)‎ C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)〚导学号74920254〛‎ 答案D 解析因为平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),所以a,b一定不共线,所以3m-2-2m≠0,解得m≠2,所以m的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞),故选D.‎ ‎7.若平面内两个向量a=(2cos θ,1)与b=(1,cos θ)共线,则cos 2θ等于(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.1 C.-1 D.0‎ 答案D 解析由向量a=(2cos θ,1)与b=(1,cos θ)共线,知2cos θ·cos θ-1×1=0,所以2cos2θ-1=0,所以cos 2θ=0,故选D.‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面第一象限内一点,且∠AOC=π‎4‎,且|OC|=2,若OC=λOA+μOB,则λ+μ=(　　)‎ A.2‎2‎ B.‎2‎ C.2 D.4‎2‎〚导学号74920255〛‎ 答案A 解析因为|OC|=2,∠AOC=π‎4‎,C为坐标平面第一象限内一点,所以C(‎2‎‎,‎‎2‎).‎ 又OC=λOA+μOB,‎ 所以(‎2‎‎,‎‎2‎)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ).‎ 所以λ=μ=‎2‎,所以λ+μ=2‎2‎.‎ ‎9.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=　　　　　. ‎ 答案‎5‎ 解析|b|=‎2‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎‎=‎‎5‎,由λa+b=0,得b=-λa,‎ 故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=‎|b|‎‎|a|‎‎=‎5‎‎1‎=‎‎5‎.‎ ‎10.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=　　　　　a+　　　　　b. ‎ 答案‎2‎‎3‎　-‎‎1‎‎3‎ 解析设e1+e2=ma+nb.‎ 因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.‎ 由平面向量基本定理,得m-n=1,‎‎2m+n=1,‎ 所以m=‎2‎‎3‎,‎n=-‎1‎‎3‎.‎ ‎11.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=　　　　　　　　　　　　. ‎ 答案(-1,1)或(-3,1)‎ 解析由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),则a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).‎ ‎12.‎ 如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知AM=c,AN=d,则AB=　　　　　　　　,AD=　　　　　　　(用c,d表示). ‎ 答案‎2‎‎3‎(2d-c)　‎2‎‎3‎(2c-d)‎ 解析设AB=a,AD=b.因为M,N分别为DC,BC的中点,‎ 所以BN‎=‎‎1‎‎2‎b,DM‎=‎‎1‎‎2‎a.‎ 又c=b+‎1‎‎2‎a,‎d=a+‎1‎‎2‎b,‎所以a=‎2‎‎3‎(2d-c),‎b=‎2‎‎3‎(2c-d),‎ 即AB‎=‎‎2‎‎3‎(2d-c),AD‎=‎‎2‎‎3‎(2c-d).‎ 能力提升 ‎13.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC=3CD,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎1‎‎2‎ B.‎‎0,‎‎1‎‎3‎ C.‎-‎1‎‎2‎,0‎ D.‎-‎1‎‎3‎,0‎〚导学号74920256〛‎ 答案D 解析依题意,设BO=λBC,其中1<λ<‎4‎‎3‎,则有AO‎=AB+BO=‎AB+λBC‎=‎AB+λ(AC‎-‎AB)=(1-λ)AB+λAC.‎ 又AO=xAB+(1-x)AC,且AB‎,‎AC不共线,于是有x=1-λ∈‎-‎1‎‎3‎,0‎,即x的取值范围是‎-‎1‎‎3‎,0‎.‎ ‎14.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎a+‎3‎‎2‎b B.‎1‎‎2‎a-‎3‎‎2‎b C.-‎3‎‎2‎a-‎1‎‎2‎b D.-‎3‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b 答案B 解析设c=λa+μb,则(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),‎ 即‎-1=λ+μ,‎‎2=λ-μ,‎即λ=‎1‎‎2‎,‎μ=-‎3‎‎2‎,‎故c=‎1‎‎2‎a-‎3‎‎2‎b.‎ ‎15.设O在△ABC的内部,且有OA+2OB+3OC=0,则△ABC的面积和△AOC的面积之比为(　　)‎ A.3 B.‎5‎‎3‎ C.2 D.‎3‎‎2‎〚导学号74920257〛‎ 答案A 解析设AC,BC的中点分别为M,N,则已知条件可化为(OA‎+‎OC)+2(OB‎+‎OC)=0,即OM+2ON=0,所以OM=-2ON.‎ 说明M,O,N共线,即O为中位线MN上的三等分点,‎ S△AOC=‎2‎‎3‎S△ANC=‎2‎‎3‎‎·‎‎1‎‎2‎S△ABC=‎1‎‎3‎S△ABC,所以S‎△ABCS‎△AOC=3.‎ ‎16.‎ 如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=2PA,则(　　)‎ A.x=‎2‎‎3‎,y=‎‎1‎‎3‎ B.x=‎1‎‎3‎,y=‎‎2‎‎3‎ C.x=‎1‎‎4‎,y=‎‎3‎‎4‎ D.x=‎3‎‎4‎,y=‎1‎‎4‎〚导学号74920258〛‎ 答案A 解析由题意知OP‎=OB+‎BP,又BP=2PA,所以OP‎=OB+‎2‎‎3‎BA=OB+‎2‎‎3‎(OA-‎OB)=‎2‎‎3‎OA‎+‎‎1‎‎3‎OB,所以x=‎2‎‎3‎,y=‎1‎‎3‎.‎ ‎17.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且3aBC+4bCA+5cAB=0,则a∶b∶c=　. ‎ ‎〚导学号74920259〛‎ 答案20∶15∶12‎ 解析∵3aBC+4bCA+5cAB=0,‎ ‎∴3a(BA‎+‎AC)+4bCA+5cAB=0.‎ ‎∴(3a-5c)BA+(3a-4b)AC=0.‎ 在△ABC中,∵BA‎,‎AC不共线,‎ ‎∴‎3a=5c,‎‎3a=4b,‎解得c=‎3‎‎5‎a,‎b=‎3‎‎4‎a.‎ ‎∴a∶b∶c=a∶‎3‎‎4‎a∶‎3‎‎5‎a=20∶15∶12.‎ 高考预测 ‎18.已知向量OA=(3,-4),OB=(0,-3),OC=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,则实数m满足的条件是　　　　　　.〚导学号74920260〛 ‎ 答案m≠‎‎5‎‎4‎ 解析由题意得AB=(-3,1),AC=(2-m,1-m).‎ 若A,B,C能构成三角形,则AB‎,‎AC不共线,‎ 即-3×(1-m)≠1×(2-m),解得m≠‎5‎‎4‎.‎