高考数学专题复习练习第六章 第五节 合情推理与演绎推理 课下练兵场 5页

第六章 第五节 合情推理与演绎推理 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 归纳推理 ‎3、4‎ ‎5、7、‎ ‎9、10‎ ‎11‎ 类比推理 ‎2‎ ‎6、8‎ 演绎推理 ‎1‎ ‎12‎ 一、选择题 ‎1．下列表述正确的是 (　　)‎ ‎①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ A．①②③　　　　　　　 　　B．②③④‎ C．②④⑤ D．①③⑤‎ 解析：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ 答案：D ‎2．下面使用类比推理恰当的是 (　　)‎ A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”‎ B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋”‎ C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋(c≠0)”‎ D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”‎ 解析：由类比推理的特点可知．‎ 答案：C ‎3．由＞，＞，＞，…若a＞b＞0且m＞0，则与之间大小关系为(　　)‎ A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定 解析：观察题设规律，由归纳推理易得＞.‎ 答案：B ‎4．如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时 针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能 跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳 起，经2008次跳后它将停在的点是 (　　)‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．3 D．4‎ 解析：an表示青蛙第n次跳后所在的点数，则a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝1，a5＝2，‎ a6＝4，…，显然{an}是一个周期为3的数列，故a2008＝a1＝1.‎ 答案：A ‎5．下列推理是归纳推理的是 (　　)‎ A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝‎2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析：从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．定义集合A，B的运算：A⊗B＝{x|x∈A或x∈B且xA∩B}，则A⊗B⊗A＝____________.‎ 解析：如图，A⊗B表示的是阴影部分，设A⊗B＝C，运用类比的方法可知，C⊗A＝B，所以A⊗B⊗A＝B.‎ 答案：B ‎7．在平面内有n(n∈N*，n≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(5)的值是________．f(n)的表达式是________．‎ 解析：本题是一道推理问题．通过动手作图，可知f(3)＝7，f(4)＝11，f(5)＝16，从中可归纳推理，得出f(n)＝f(n－1)＋n，则f(n)－f(n－1)＝n，‎ f(n－1)－f(n－2)＝n－1，‎ f(n－2)－f(n－3)＝n－2，‎ f(5)－f(4)＝5，‎ f(4)－f(3)＝4，‎ 将以上各式累加得：‎ f(n)－f(3)＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋5＋4＝，‎ 则有f(n)＝＋f(3)＝＋7‎ ‎＝ 答案：16　 ‎8．(2010·长沙模拟)有如下真命题：“若数列{an}是一个公差为d的等差数列，则数列{an＋an＋1＋an＋2}是公差为3d的等差数列．”把上述命题类比到等比数列中，可得真命题是“________________.”(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)‎ 答案：若数列{bn}是公比为q的等比数列，则数列{bn·bn＋1·bn＋2}是公比为q3的等比数列；‎ 或填为：若数列{bn}是公比为q的等比数列，则数列{bn＋bn＋1＋bn＋2}是公比为q的等比数列．‎ ‎9．方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝有唯一不动点，且x1＝1000，‎ xn＋1＝(n∈N*)，则x2011＝________.‎ 解析：由＝x得ax2＋(‎2a－1)x＝0.‎ 因为f(x)有唯一不动点，‎ 所以‎2a－1＝0，即a＝.‎ 所以f(x)＝.所以xn＋1＝＝＝xn＋.‎ 所以x2011＝x1＋×2010＝1000＋＝2005.‎ 答案：2005‎ 三、解答题 ‎10．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，‎ sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.‎ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．‎ 解：一般性的命题为 sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝.‎ 证明如下：‎ 左边＝＋＋ ‎＝－[cos(2α－120°)＋cos2α＋cos(2α＋120°)]‎ ‎＝＝右边．‎ ‎∴结论正确．‎ ‎11．已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.‎ ‎(1)求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律．‎ 解：(1)Sn＝5n＋×2＝n(n＋4)．‎ ‎(2)Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]，‎ ‎∴Tn＝4n2＋n.‎ ‎∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39，‎ T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105.‎ S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21，‎ S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45.‎ 由此可知S1＝T1，当n≥2时，Sn＜Tn.‎ 归纳猜想：当n≥2，n∈N时，Sn＜Tn.‎ ‎12．已知函数f(x)＝－(a＞0且a≠1)，‎ ‎(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称；‎ ‎(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．‎ 解：(1)证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点(，－)对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．‎ 由已知得y＝－，则 ‎－1－y＝－1＋＝－，‎ f(1－x)＝－＝－＝－ ‎＝－，∴－1－y＝f(1－x)，‎ 即对称点(1－x，－1－y)也满足函数y＝f(x)．‎ ‎∴函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称．‎ ‎(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)，‎ 即f(x)＋f(1－x)＝－1.‎ ‎∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，‎ f(0)＋f(1)＝－1，‎ 则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.‎