高考数学专题复习练习：考点规范练30 6页

考点规范练30　等比数列及其前n项和 ‎　考点规范练B册第19页　 ‎ 基础巩固 ‎1.已知等比数列{an}满足a1=‎1‎‎4‎,a3a5=4(a4-1),则a2=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.2 B.1 C.‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎8‎ 答案C 解析∵a3a5=4(a4-1),∴a‎4‎‎2‎=4(a4-1),解得a4=2.‎ 又a4=a1q3,且a1=‎1‎‎4‎,∴q=2.‎ ‎∴a2=a1q=‎1‎‎2‎.‎ ‎2.在正项等比数列{an}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为(　　)‎ A.‎21‎‎2‎ B.9‎3‎ C.±9‎3‎ D.35‎ 答案B 解析∵a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,∴a2·a48=3.‎ 又a1·a49=a2·a48=a‎25‎‎2‎=3,a25>0,‎ ‎∴a1·a2·a25·a48·a49=a‎25‎‎5‎=9‎3‎.选B.‎ ‎3.设首项为1,公比为‎2‎‎3‎的等比数列{an}的前n项和为Sn,则(　　)‎ A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2‎ C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 答案D 解析Sn=a‎1‎‎(1-qn)‎‎1-q‎=a‎1‎‎-anq‎1-q=‎‎1-‎‎2‎‎3‎an‎1-‎‎2‎‎3‎=3-2an,故选D.‎ ‎4.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(　　)‎ A.7 B.5 C.-5 D.-7‎ 答案D 解析∵{an}为等比数列,∴a5a6=a4a7=-8.‎ 联立a‎4‎‎+a‎7‎=2,‎a‎4‎a‎7‎‎=-8,‎可解得a‎4‎‎=4,‎a‎7‎‎=-2‎或a‎4‎‎=-2,‎a‎7‎‎=4,‎ 当a‎4‎‎=4,‎a‎7‎‎=-2‎时,q3=-‎1‎‎2‎,‎ 故a1+a10=a‎4‎q‎3‎+a7q3=-7;‎ 当a‎4‎‎=-2,‎a‎7‎‎=4‎时,q3=-2,‎ 故a1+a10=a‎4‎q‎3‎+a7q3=-7.‎ 综上可知,a1+a10=-7.‎ ‎5.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(　　)‎ A.n(n+1) B.n(n-1)‎ C.n(n+1)‎‎2‎ D.‎n(n-1)‎‎2‎ 答案A 解析∵a2,a4,a8成等比数列,‎ ‎∴a‎4‎‎2‎=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),‎ 解得a1=2.‎ ‎∴Sn=na1+n(n-1)‎‎2‎d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.‎ ‎6.设数列{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为　　　　　. ‎ 答案-‎‎1‎‎2‎ 解析由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+‎4×3‎‎2‎×(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比数列,∴(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理得2a1+1=0,解得a1=-‎1‎‎2‎.‎ ‎7.设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　　,S5=　　　　　. ‎ 答案1　121‎ 解析由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,‎ 所以a1=1,a2=3.‎ 再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),‎ 得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).‎ 又因为a2=3a1,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列.‎ 所以S5=‎1-‎‎3‎‎5‎‎1-3‎=121.‎ ‎8.已知数列{an}是公比为2的等比数列,若a3-a1=6,则‎1‎a‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎a‎2‎‎2‎+…+‎1‎an‎2‎=　　　　　　　　.〚导学号74920488〛 ‎ 答案‎1‎‎3‎‎1-‎‎1‎‎4‎n 解析∵{an}是公比为2的等比数列,且a3-a1=6,‎ ‎∴4a1-a1=6,即a1=2.‎ ‎∴an=2·2n-1=2n.‎ ‎∴‎1‎an‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎n,即数列‎1‎an‎2‎是首项为‎1‎‎4‎,公比为‎1‎‎4‎的等比数列.‎ ‎∴‎1‎a‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎a‎2‎‎2‎+…+‎1‎an‎2‎‎=‎1‎‎4‎‎1-‎‎1‎‎4‎n‎1-‎‎1‎‎4‎=‎‎1‎‎3‎‎1-‎‎1‎‎4‎n.‎ ‎9.(2016全国乙卷,文17)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=‎1‎‎3‎,anbn+1+bn+1=nbn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求{bn}的前n项和.‎ 解(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=‎1‎‎3‎,得a1=2.‎ 所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.‎ ‎(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=bn‎3‎,‎ 因此{bn}是首项为1,公比为‎1‎‎3‎的等比数列.‎ 记{bn}的前n项和为Sn,‎ 则Sn=‎1-‎‎1‎‎3‎n‎1-‎‎1‎‎3‎‎=‎3‎‎2‎-‎‎1‎‎2×‎‎3‎n-1‎.‎ ‎10.(2016东北三省四市二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4(a3+1),3a3=5a4,数列{bn}是等比数列,且b1b2=b3,2b1=a5.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.‎ 解(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ ‎∵S4=4(a3+1),3a3=5a4,‎ ‎∴‎4a‎1‎+6d=4(a‎1‎+2d+1),‎‎3a‎1‎+6d=5a‎1‎+15d,‎解得a‎1‎‎=9,‎d=-2.‎ ‎∴an=11-2n.‎ 设数列{bn}的公比为q.‎ ‎∵b1b2=b3,2b1=a5,‎ ‎∴b‎1‎‎2‎q=b‎1‎q‎2‎,‎‎2b‎1‎=1,‎解得b‎1‎‎=‎1‎‎2‎,‎q=‎1‎‎2‎.‎∴bn=‎1‎‎2‎n.‎ ‎(2)由(1)知,Sn=10n-n2.‎ 由an=11-2n≤0可知n≥5.5,‎ 即a1>0,a2>0,…,a5>0,a6<0,a7<0,…,an<0.‎ 故当n≤5时,Tn=Sn=10n-n2;‎ 当n≥6时,Tn=2S5-Sn=n2-10n+50.‎ 于是Tn=‎‎10n-n‎2‎,n≤5,‎n‎2‎‎-10n+50,n≥6.‎ ‎11.在数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=1+kan(k≠0,且k≠1).‎ ‎(1)求an;‎ ‎(2)当k=-1时,求a‎1‎‎2‎‎+‎a‎2‎‎2‎+…+an‎2‎的值.‎ 解(1)∵S1=a1=1+ka1,∴a1=‎1‎‎1-k.‎ ‎∴an=‎1‎‎1-k‎·‎kk-1‎n-1‎=-kn-1‎‎(k-1‎‎)‎n.‎ ‎(2)∵在数列{an}中,a1=‎1‎‎1-k,q=kk-1‎,‎ ‎∴{an‎2‎}是首项为‎1‎‎1-k‎2‎,公比为kk-1‎‎2‎的等比数列.‎ 当k=-1时,等比数列{an‎2‎}的首项为‎1‎‎4‎,公比为‎1‎‎4‎,∴a‎1‎‎2‎‎+‎a‎2‎‎2‎+…+an‎2‎‎=‎1‎‎4‎‎1-‎‎1‎‎4‎n‎1-‎‎1‎‎4‎=‎‎1‎‎3‎‎1-‎‎1‎‎4‎n.‎ 能力提升 ‎12.(2016河南洛阳二模)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于(　　)‎ A.6 B.7 C.8 D.9〚导学号74920489〛‎ 答案D 解析∵a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,∴a+b=p,ab=q.‎ ‎∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.‎ 又a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,‎ ‎∴‎2b=a-2,‎ab=4‎①或‎2a=b-2,‎ab=4‎②.‎ 解①得a=4,‎b=1;‎解②得a=1,‎b=4.‎ ‎∴p=a+b=5,q=1×4=4.∴p+q=9.故选D.‎ ‎13.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　　　　.〚导学号74920490〛 ‎ 答案64‎ 解析由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,‎ 两式相除得a‎1‎‎+‎a‎3‎q(a‎1‎+a‎3‎)‎‎=‎‎10‎‎5‎,‎ 解得q=‎1‎‎2‎,a1=8,‎ 所以a1a2…an=8n·‎1‎‎2‎‎1+2+…+(n-1)‎‎=‎‎2‎‎-‎1‎‎2‎n‎2‎+‎‎7n‎2‎,抛物线f(n)=-‎1‎‎2‎n2+‎7‎‎2‎n的对称轴为n=-‎7‎‎2‎‎2×‎‎-‎‎1‎‎2‎=3.5,‎ 又n∈N*,所以当n=3或n=4时,a1a2…an取最大值为‎2‎‎-‎1‎‎2‎×‎3‎‎2‎+‎‎7×3‎‎2‎=26=64.‎ ‎14.(2016浙江,文17)设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.‎ ‎(1)求通项公式an;‎ ‎(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.‎ 解(1)由题意得a‎1‎‎+a‎2‎=4,‎a‎2‎‎=2a‎1‎+1,‎则a‎1‎‎=1,‎a‎2‎‎=3.‎ 又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,‎ 得an+1=3an.‎ 所以,数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.‎ ‎(2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1.‎ 当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.‎ 当n≥3时,Tn=3+‎9(1-‎3‎n-2‎)‎‎1-3‎‎-‎(n+7)(n-2)‎‎2‎=‎‎3‎n‎-n‎2‎-5n+11‎‎2‎,‎ 所以Tn=‎2,n=1,‎‎3‎n‎-n‎2‎-5n+11‎‎2‎‎,n≥2,n∈N‎*‎.‎〚导学号74920491〛‎ 高考预测 ‎15.已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).‎ ‎(1)求证:{an+1+2an}是等比数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明∵an+1=an+6an-1(n≥2),‎ ‎∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).‎ 又a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15,‎ ‎∴an+2an-1≠0(n≥2),∴an+1‎‎+2‎anan‎+2‎an-1‎=3(n≥2),‎ ‎∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.‎ ‎(2)解由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,‎ 则an+1=-2an+5×3n,‎ ‎∴an+1-3n+1=-2(an-3n).‎ 又a1-3=2,∴an-3n≠0,‎ ‎∴{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.‎ ‎∴an-3n=2×(-2)n-1,‎ 即an=2×(-2)n-1+3n=3n-(-2)n.〚导学号74920492〛‎