高考数学专题复习练习：12-2 专项基础训练 7页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　B. C. D. ‎【解析】 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为.‎ ‎【答案】 C ‎2．(2017·济宁模拟)高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占，而且三好学生中女生占一半．现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 根据题意知男生共有40人，其中是男生且为三好学生的人数共有5人，故选出的是男生且为三好学生的概率P＝＝.‎ ‎【答案】 C ‎3．一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213，312)等．若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 由1，2，3组成的三位数有123，132，213，231，312，321，共6个；由1，‎ ‎2，4组成的三位数有124，142，214，241，412，421，共6个；由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431，共6个；由2，3，4组成的三位数有234，243，324，342，423，432，共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．当b＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324，423，共2个“凹数”．故这个三位数为“凹数”的概率P＝＝.‎ ‎【答案】 C ‎4．(2017·湖南长沙长郡中学第六次月考)一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 “恰好取5次球时停止取球”指第5次为第三种颜色，前4次为另两种颜色，因此所求概率为＝，故选A.‎ ‎【答案】 A ‎5．(2017·太原二模)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1，0)的夹角为α，则α∈的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 方法一 依题意，向量a＝(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1，0)的夹角α∈，即n＜m的(m，n)可根据n的具体取值进行分类计数：第一类，当n＝1时，m有5个不同的取值；第二类，当n＝2时，m有4个不同的取值；第三类，当n＝3时，m有3个不同的取值；第四类，当n＝4时，m有2个不同的取值；第五类，当n＝5时，m有1个取值，因此满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1，0)的夹角α∈的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为＝.‎ 方法二 依题意可得向量a＝(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1，0)的夹角α∈，即n＜m的向量a＝(m，n)有＝15(个)，所以所求概率为 ‎＝.‎ ‎【答案】 B ‎6．(2016·广东高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．‎ ‎【解析】 从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为.‎ ‎【答案】 ‎7．(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．‎ ‎【解析】 先后抛掷2次骰子，所有可能出现的情况可用数对表示为 ‎(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，‎ ‎(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，‎ ‎……‎ ‎(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，‎ ‎(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36个．‎ 其中点数之和不小于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个．从而点数之和小于10的数对共有30个，故所求概率P＝＝.‎ ‎【答案】 ‎8．(2017·海淀一模)现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．‎ ‎【解析】 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．‎ 设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件N表示“A1和B1全被选中”，由于N ‎＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(N)＝＝，由对立事件的概率计算公式得P(N)＝1－P(N)＝1－＝.‎ ‎【答案】 ‎9．(2017·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.‎ ‎(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；‎ ‎(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．‎ ‎【解析】 (1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．‎ 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，‎ 所以P(A)＝＝，‎ 因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.‎ ‎(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种，‎ 所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝，‎ 因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.‎ ‎10．(2015·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．‎ ‎(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．‎ ‎(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．‎ ‎①用所给编号列出所有可能的结果；‎ ‎②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．‎ ‎【解析】 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.‎ ‎(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．‎ ‎②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．(2017·天津红桥区模拟)从自然数1，2，3，4，5中，任意取出两个数组成两位的自然数，再从这些两位自然数中取出一个数，则取出的数恰好能被3整除的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 从自然数1，2，3，4，5中任意取出两个数组成两位的自然数，共有5×4＝20个，从这些两位自然数中取出的数恰好能被3整除有12，21，15，51，24，42，45，54，共8个，故能被3整除的概率为＝.‎ ‎【答案】 A ‎12．(2017·郑州模拟)在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 注意到二项式的展开式的通项是Tk＋1＝C()n－k＝C2－kx，依题意有C＋C2－2＝2C2－1＝n，即n2－9n＋8＝0，(n－1)(n－8)＝0(n≥2)，因此n＝8，因为二项式 eq lc( c)(avs4alco1( (x)＋f(1,2 (4,x))))的展开式的通项是Tk＋1＝C2－kx4－，其展开式中的有理项共有3项，利用插空法，6个无理项中共有7个空，插入3个有理项．∴有理项互不相邻的概率P＝＝.选D.‎ ‎【答案】 D ‎13．(2017·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．‎ ‎【解析】 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤，a2≤b2的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.‎ ‎【答案】 ‎14．(2017·雅安模拟)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．‎ ‎(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2，3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；‎ ‎(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？‎ ‎(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．‎ ‎【解析】 (1)方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为：(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12种不同的情况．‎ ‎(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.‎ ‎(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况．‎ 甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝.‎ 因为＜，所以此游戏不公平．‎ ‎15．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的．‎ ‎(1)求袋中原有白球的个数；‎ ‎(2)求取球2次即终止的概率；‎ ‎(3)求甲取到白球的概率．‎ ‎【解析】 (1)设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C，从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C.‎ 由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P＝＝，则n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n＝－2)，即袋中原有3个白球．‎ ‎(2)设事件A为“取球2次即终止”．取球2次即终止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球，‎ P(A)＝＝＝.‎ ‎(3)设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai，i＝1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球．‎ 所以P(B)＝P(A1∪A3∪A5)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝＋＋＝＋＋＝.‎