【数学】2019届一轮复习北师大版数列、等差数列﹑等比数列学案 14页

‎【考向解读】 ‎ ‎1.高考侧重于考查等差、等比数列的通项an，前n项和Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．‎ ‎2.备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．‎ ‎3.等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质.‎ ‎【命题热点突破一】等差、等比数列的基本计算 学 ]‎ ‎ 例1、(1)(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1　　B．2‎ C．4 D．8‎ ‎(2)(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.‎ ‎【变式探究】【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵是等差数列，∴，，，，‎ ‎∴，故填 6．学 [ . . ]‎ ‎【感悟提升】 涉及求等差、等比数列的通项、某一项问题时，常用到等差、等比数列的基本性质．等差数列{an}中，m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq，m＋n＝2p⇒am＋an＝2ap；等比数列{an}中，m＋n＝p＋q⇒aman＝apaq，m ＋ n ＝ 2p⇒aman＝a.‎ ‎【变式探究】 在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于(　　)‎ A．2n＋1－2 B．3n C．2n D．3n－1‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q，由于{an＋1}也是等比数列，所以（a2＋1）2＝（a1＋1）（a3＋1），即a＋‎2a2＋1＝a‎1a3＋a1＋a3＋1，即‎2a2＝a1＋a3，即2q＝1＋q2，解得q＝1，所以数列{an}是常数数列，所以Sn＝2n.‎ ‎【命题热点突破二】等差、等比数列的判断与证明 例2、(2017·课标全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．‎ ‎【变式探究】已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，an＋1an＋an＋1－an＝0(n∈N*)．‎ ‎(1)设bn＝，求证 数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn.‎ ‎【解析】解 （1）证明 因为an＋1an＋an＋1－an＝0（n∈N*），‎ 所以bn＋1－bn＝－＝－＝1，‎ 又b1＝＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.‎ ‎（2）由（1）知bn＝n，所以an＝.‎ 令cn＝，则cn＝＝－，Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋＝1－＝.‎ ‎ 【感悟提升】 等差数列的判定与证明有以下四种方法 ①定义法，即an－an－1＝d(d为常数，n∈N*，n≥2)⇔{an}为等差数列；②等差中项法，即2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列；③通项公式法，即an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列；④前n项和公式法，即Sn＝an2＋bn(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．等比数列的判定与证明有以下三种方法 ①定义法，即＝q(q为常数且q≠0，n∈N*，n≥2)⇔{an}为等比数列；②等比中项法，即a＝anan＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列；③通项公式法，即an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．‎ ‎【变式探究】若{an}是各项均不为零的等差数列，公差为d，Sn 为其前n 项和，且满足a＝S2n－1，n∈N*.数列{bn} 满足bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和．‎ ‎(1) 求an 和Tn.‎ ‎(2) 是否存在正整数 m，n(1100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，数列如下 ‎ ‎【变式探究】已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列．‎ ‎(1)求q的值和{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【解析】解 （1）由已知，有（a3＋a4）－（a2＋a3）＝（a4＋a5）－（a3＋a4），即a4－a2＝a5－a3，所以a2（q－1）＝a3（q－1）.又因为q≠1，‎ 故a3＝a2＝2，由a3＝a1·q，得q＝2.‎ 当n＝2 －1（ ∈N*）时，an＝a2 －1＝2 －1＝2；[ 学 ]‎ 当n＝2 （ ∈N*）时，an＝a2 ＝2 ＝2.‎ 所以{an}的通项公式为an＝ ‎（2）由（1）得bn＝＝.‎ 设{bn}的前n项和为Sn，则 Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋（n－1）×＋n×，‎ Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋（n－1）×＋n×，‎ 上述两式相减，得 Sn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－－，‎ 整理得，Sn＝4－.‎ 所以数列{bn}的前n项和为4－，n∈N*.学 ‎ ‎【感悟提升】 在等差数列、等比数列的综合问题中，通过列方程(组)求基本量是基本而重要的方法．在数列的最值问题中，如果使用函数的方法，要充分考虑数列中的自变量是正整数．‎ ‎【变式探究】已知等比数列的首项a1＝2，公比q>1，且an，an＋1，an＋2成等差数列（n∈N*）.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记bn＝nan，数列的前n项和为Sn，若（n－1）2≤m（Sn－n－1）对于n≥2，n∈N*恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎（2）因为bn＝nan＝n·2n，所以Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，‎ ‎2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，‎ 所以Sn＝－（2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1）＝－（－n·2n＋1）＝（n－1）·2n＋1＋2.‎ 因为（n－1）2≤m（Sn－n－1）对于n≥2，n∈N*恒成立，所以 ‎（n－1）2≤m[（n－1）·2n＋1＋2－n－1]恒成立，即（n－1）2≤m（n－1）（2n＋1－1）恒成立，‎ 于是问题转化为m≥对于n≥2，n∈N*恒成立.‎ 令f（n）＝，n≥2，则f（n＋1）－f（n）＝－＝<0，‎ 所以当n≥2，n∈N*时，f（n＋1）100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，数列如下 ‎ 则该数列的前项和为 ‎，‎ 要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，‎ 所以，则，此时，‎ 所以对应满足条件的最小整数，故选A.‎ ‎5、(2017·课标全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．‎ ‎ ‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ）‎ ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知,所以故选C.学 ‎ ‎2【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，‎ ‎（）.若（ ） ‎ A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 ‎【答案】A ‎3.【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵是等差数列，∴，，，，‎ ‎∴，故填 6．‎ ‎4.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，因此 ‎5、【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a‎1a2 …an的最大值为 ．‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值.‎ ‎6.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）‎ 记.对数列和的子集T，若,定义;若 ‎，定义.例如 时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，若，求证 ；‎ ‎（3）设,求证 .‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析 ‎（2）因为，，‎ 所以.‎ 因此，.‎ ‎（3）下面分三种情况证明.‎ ‎①若是的子集，则.‎ ‎②若是的子集，则.‎ ‎③若不是的子集，且不是的子集.‎ 令，则，，.‎ 于是，，进而由，得.‎ 设是中的最大数，为中的最大数，则.学 ‎ ‎ ‎ ‎1.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则=　　　　（　　）‎ A、-1 B、0 C、1 D、6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列的性质得，选B.‎ ‎2.【2015高考福建，理8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）‎ A．6 B．‎7 C．8 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D．‎ ‎3.【2015高考北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎4.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．‎ ‎5.【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则= .‎ ‎【答案】10．‎ ‎【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．学 ‎ ‎6.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填 5．‎ ‎7.【2015高考浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】∵等差数列，，，成等比数列，∴，‎ ‎∴，∴，，故选B.‎ ‎8.【2015高考安徽，理14】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎9. 【2014高考北京版理第5题】设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】对等比数列，若，则当时数列是递减数列；若数列是递增数列，则满足且，故当“”是”数列为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.‎ ‎10. 【2014高考福建卷第3题】等差数列的前项和，若，则( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】假设公差为,依题意可得.所以.故选C.‎