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- 2021-06-15 发布
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第三节 等比数列
[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数).
(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a,G,b成等比数列⇒G2=ab.
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式:an=a1qn-1.
(2)前n项和公式:Sn=
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=a;
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{a},{an·bn},(λ≠0)仍然是等比数列;
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( )
(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( )
(3)若{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( )
(4)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(2017·广州综合测试(二))已知等比数列{an}的公比为-,则的值是( )
A.-2 B.-
C. D.2
A [==-2.]
3.(2017·东北三省四市一联)等比数列{an}中,an>0,a1+a2=6,a3=8,则a6=( )
【导学号:57962249】
A.64 B.128
C.256 D.512
A [设等比数列的首项为a1,公比为q,则由解得或(舍去),所以a6=a1q5=64,故选A.]
4.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为__________.
27,81 [设该数列的公比为q,由题意知,
243=9×q3,q3=27,∴q=3.
∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.]
5.(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=__________.
6 [∵a1=2,an+1=2an,
∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
又∵Sn=126,∴=126,解得n=6.]
等比数列的基本运算
(1)(2017·陕西质检(二))已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )
A. B.-
C. D.-
(2)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于__________.
(1)C (2)2n-1 [(1)设等比数列的公比为q,则由S3=a2+10a1得a1+a1q2=10a1,则q2=9,又因为a5=a1q4=9,所以a1=.
(2)设等比数列的公比为q,则有
解得或
又{an}为递增数列,∴∴Sn==2n-1.]
[规律方法] 1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,体现了方程思想的应用.
2.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,在运算过程中,应善于运用整体代换思想简化运算.
[变式训练1] (1)在等比数列{an}中,a3=7,前3项和S3=21,则公比q的值为( )
【导学号:57962250】
A.1 B.-
C.1或- D.-1或
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若27a3-a6=0,则=__________.
【导学号:57962251】
(1)C (2)28 [(1)根据已知条件得
②÷①得=3.
整理得2q2-q-1=0,
解得q=1或q=-.
(2)由题可知{an}为等比数列,设首项为a1,公比为q,所以a3=a1q2,a6=a1q5,所以27a1q2=a1q5,所以q=3,由Sn=,得S6=,S3=,所以=·=28.]
等比数列的判定与证明
(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
[解] (1)证明:由题意得a1=S1=1+λa1, 2分
故λ≠1,a1=,故a1≠0. 3分
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,
即an+1(λ-1)=λan. 5分
由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.
因此{an}是首项为,公比为的等比数列,
于是an=. 7分
(2)由(1)得Sn=1-. 9分
由S5=得1-=,即=. 10分
解得λ=-1. 12分
[规律方法] 等比数列的判定方法
(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*),则{an}是等比数列.
(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0,且a=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.
说明:前两种方法是证明等比数列的常用方法,后者常用于选择题、填空题中的判定.
[变式训练2] 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
[解] (1)证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,
有a1+a2=S2=4a1+2.
∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
又
①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),
∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2). 3分
∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2),
故{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列. 6分
(2)由(1)知bn=an+1-2an=3·2n-1,
∴-=,
故是首项为,公差为的等差数列. 9分
∴=+(n-1)·=,
故an=(3n-1)·2n-2. 12分
等比数列的性质及应用
(1)(2016·安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{an
}中,若am+1·am-1=2am(m≥2),数列{an}的前n项积为Tn,若T2m-1=512,则m的值为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)(2016·天津高考)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(1)B (2)C [(1)由等比数列的性质可知am+1·am-1=a=2am(m≥2),所以am=2,即数列{an}为常数列,an=2,所以T2m-1=22m-1=512=29,即2m-1=9,所以m=5,故选B.
(2)若对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0,则a1+a2<0,又a1>0,所以a2<0,所以q=<0.若q<0,可取q=-1,a1=1,则a1+a2=1-1=0,不满足对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的必要而不充分条件.故选C.]
[规律方法] 1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
2.等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
[变式训练3] (1)(2017·合肥三次质检)在正项等比数列{an}中,a1 008·a1 009=,则lg a1+lg a2+…+lg a2 016=( )
【导学号:57962252】
A.2 015 B.2 016
C.-2 015 D.-2 016
(2)(2017·南昌一模)若等比数列的各项均为正数,前4项的和为9,积为,则前4项倒数的和为( )
【导学号:57962253】
A. B.
C.1 D.2
(1)D (2)D [(1)lg a1+lg a2+…+lg a2 016=lg a1a2…a2 016=lg(a1 008·a1 009)1 008=lg1 008=lg1 008=-2 016,故选D.
(2)由题意得S4==9,所以=.由a1·a1q·a1q2·a1q3=(aq3)2=得aq3=.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为==·==2,故选D.]
[思想与方法]
1.方程的思想.等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解.
2.函数的思想.通项公式an =a1qn-1可化为an=qn,因此an是关于n的函数,即{an}中的各项所表示的点(n,an)在曲线y=qx上,是一群孤立的点.
3.分类讨论思想.当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,此处是常考易错点.
[易错与防范]
1.特别注意q=1时,Sn=na1这一特殊情况.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽视q=1这一特殊情形而导致解题失误.
4.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n未必成等比数列(例如:当公比q=-1且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不成等比数列;当q≠-1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列).