【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第三章第3讲　导数与函数的极值、最值学案 14页

第3讲　导数与函数的极值、最值 ‎1．函数的极值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．‎ 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．‎ 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．‎ ‎2．函数的最值 ‎(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．‎ ‎(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)‎ ‎(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　)‎ ‎(3)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　)‎ ‎(4)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎ 函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)‎ A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 解析：选C．设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1、x2、x3、x4.‎ 当x0，f(x)为增函数，‎ 当x1－1时，y′>0；当x<－1时，y′<0，所以当x＝－1时函数取得最小值，且ymin＝－.故选C．‎ ‎ 函数f(x)＝x－aln x(a>0)的极小值为________．‎ 解析：因为f(x)＝x－aln x(a>0)，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－(a>0)，‎ 由f′(x)＝0，解得x＝a.‎ 当x∈(0，a)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a.‎ 答案：a－aln a 用导数解决函数的极值问题(高频考点)‎ 用导数解决函数的极值问题是每年高考的亮点，既有选择题，填空题，也有解答题，难度偏大．主要命题角度有：‎ ‎(1)根据图象判断函数的极值；‎ ‎(2)求函数的极值；‎ ‎(3)已知函数的极值求参数．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　根据图象判断函数的极值 ‎ 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)‎ A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)‎ B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)‎ C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)‎ D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)‎ ‎【解析】　由题图可知，当x<－2时，1－x>3，此时f′(x)>0；当－22时，1－x<－1，此时f′(x)>0，由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．‎ ‎【答案】　D ‎ 角度二　求函数的极值 ‎ 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝时，求f(x)的极值．‎ ‎(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．‎ ‎【解】　(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，‎ 令f′(x)＝0，得x＝2，‎ 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表．‎ x ‎(0，2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎  ln 2－1‎  故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值．‎ ‎(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0)，‎ 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，‎ 即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；‎ 当a>0时，当x∈时，f′(x)>0，‎ 当x∈时，f′(x)<0，‎ 故函数在x＝处有极大值．‎ 综上所述，当a≤0时，函数在定义域上无极值点，当a>0时，函数在x＝处有一个极大值点．‎ ‎ 角度三　已知函数的极值求参数 ‎ (1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________．‎ ‎(2)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【解析】　(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则 解得或 经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.‎ ‎(2)若函数f(x)在区间(，3)上无极值，‎ 则当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0恒成立或当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0恒成立．‎ 当x∈(，3)时，y＝x＋的值域是[2，)；‎ 当x∈(，3)时， f′(x)＝x2－ax＋1≥0，‎ 即a≤x＋恒成立，a≤2；‎ 当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0，‎ 即a≥x＋恒成立，a≥.‎ 因此要使函数f(x)在(，3)上有极值点，‎ 则实数a的取值范围是(2，)．‎ ‎【答案】　(1)－7　(2)(2，)‎ 求函数f(x)极值的步骤 ‎(1)确定函数的定义域；‎ ‎(2)求导数f′(x)；‎ ‎(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；‎ ‎(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值．如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．‎ ‎[注意]　若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．　 ‎ ‎[通关练习]‎ 设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a≥0)．‎ ‎(1)当a＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值；‎ ‎(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．‎ 解：f′(x)＝3ax2－4x＋1.‎ ‎(1)函数图象过点(0，1)时，有f(0)＝c＝1.‎ 当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)>0，解得x<，或x>1；令f′(x)<0，解得0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥.‎ 综上，a的取值范围为.‎ 利用导数求函数的最值 ‎[典例引领]‎ ‎ 已知函数f(x)＝＋kln x，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值．‎ ‎【解】　因为f(x)＝＋kln x，‎ f′(x)＝＋＝.‎ ‎(1)若k＝0，则f′(x)＝－在上恒有f′(x)<0，‎ 所以f(x)在上单调递减．‎ 所以f(x)min＝f(e)＝，f(x)max＝f＝e－1.‎ ‎(2)若k≠0，f′(x)＝＝.‎ ‎①若k<0，则在上恒有<0，‎ 所以f(x)在[，e]上单调递减，‎ 所以f(x)min＝f(e)＝＋kln e＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1.‎ ‎②若k>0，由k<，得>e，则x－<0，所以<0，‎ 所以f(x)在上单调递减．‎ 所以f(x)min＝f(e)＝＋kln e＝＋k－1，‎ f(x)max＝f＝e－k－1.‎ 综上，k<时，f(x)min＝＋k－1，‎ f(x)max＝e－k－1.‎ 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 ‎(1)求函数在(a，b)内的极值；‎ ‎(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；‎ ‎(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．　 ‎ ‎[通关练习]‎ 已知常数a≠0，f(x)＝aln x＋2x.当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．‎ 解：因为f′(x)＝，‎ 所以当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；‎ 当a<0时，由f′(x)>0得，x>－，‎ 所以f(x)在上单调递增；‎ 由f′(x)<0得，00)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．‎ ‎【解】　(1)f′(x)＝＝.‎ 令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，‎ 因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，‎ 且f′(x)与g(x)符号相同．‎ 又因为a>0.所以当－30，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，‎ 所以f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．‎ ‎(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有 解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝.‎ 因为f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，‎ 所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，‎ 故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，‎ 而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，‎ 所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.‎ 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．　 ‎ ‎[通关练习]‎ 若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：由题意，得f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，‎ 故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，‎ 在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示，‎ 令x3＋x2－＝－得，x＝0或x＝－3，‎ 则结合图象可知，解得a∈[－3，0)．‎ 答案：[－3，0)‎ ‎ 利用导数研究函数极值问题的一般流程 ‎ 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 ‎(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．‎ ‎(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．‎ ‎ 求函数f(x)在区间[a，b]上最值的方法 ‎(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．‎ ‎(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表求解．‎ ‎(3)若函数f(x)在闭区间[a，b]上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(小)值点．‎ ‎ 已知函数f(x)的最值求参数的方法 先利用导数将最值用参数表示，再构建方程组求解．‎ ‎[注意]　由f′(x)＝0得到根x0.是否在[a，b]内不明确时要分情况讨论．　　　‎ ‎1．函数y＝在[0，2]上的最大值是(　　)‎ A．　　　　　　　　　 B． C．0 D． 解析：选A．易知y′＝，x∈[0，2]，令y′>0，得0≤x<1，令y′<0，得2≥x>1，所以函数y＝在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y＝在[0，2]上的最大值是y|x＝1＝，故选A．‎ ‎2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)‎ A．－4 B．－2‎ C．4 D．2‎ 解析：选D.由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.‎ ‎3．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则x＋x等于(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选C．函数f(x)的图象过原点，所以d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函数f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2，由题意知x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝.‎ ‎4．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为(　　)‎ A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)‎ C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]‎ 解析：选D.由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－3)‎ ‎－3‎ ‎(－3，1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，所以k≤－3.‎ ‎5．若函数f(x)＝x3－3ax在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(1，4] B．[2，4]‎ C．[1，4) D．[1，2]‎ 解析：选C．因为f′(x)＝3(x2－a)，所以当a≤0时，f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增，f(x)没有极值点，不符合题意；当a>0时，令f′(x)＝0得x＝±，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示：‎ x ‎(－∞，－)‎ ‎－ ‎(－，)‎ ‎(，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  因为函数f(x)在区间(－1，2)上仅有一个极值点，所以或解得1≤a<4.选C．‎ ‎6．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是________．‎ 解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，‎ 令f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍)，‎ 当－10；‎ 当00)，‎ 所以f′(x)＝ln x－ax，f″(x)＝－a＝0，‎ 得一阶导函数有极大值点x＝，‎ 由于x→0时f′(x)→－∞；当x→＋∞时，f′(x)→－∞，‎ 因此原函数要有两个极值点，‎ 只要f′＝ln－1>0，解得00)，‎ 所以f′(x)＝2x－＝，‎ 令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得00，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－20，则由f′(x)＝0得x＝ln a.‎ 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．‎ ‎③若a<0，则由f′(x)＝0得x＝ln(－)．‎ 当x∈(－∞，ln(－))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－)，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，ln(－))上单调递减，在(ln(－)，＋∞)上单调递增．‎ ‎(2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0.‎ ‎②若a>0，则由(1)得，当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a2ln a．从而当且仅当－a2ln a≥0，即a≤1时，f(x)≥0.‎ ‎③若a<0，则由(1)得，当x＝ln(－)时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln(－))＝a2[－ln(－)]．从而当且仅当a2[－ln(－)]≥0，即a≥－2e时f(x)≥0.‎ 综上，a的取值范围是[－2e，1]．‎