【数学】2018届一轮复习北师大版第七章立体几何第六节空间向量及其运算教案 19页

第六节　空间向量及其运算 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎　　1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式；‎ ‎2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；‎ ‎3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；‎ ‎4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；‎ ‎5.理解直线的方向向量与平面的法向量；‎ ‎6.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；‎ ‎7.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理。‎ ‎2016，全国卷Ⅰ，18,12分(面面垂直、二面角)‎ ‎2015，全国卷Ⅰ，18(Ⅱ)，6分(求二面角)‎ ‎2015，全国卷Ⅱ，19(Ⅱ)，6分(求线面角)‎ ‎2014，全国卷Ⅱ，18,12分(平行、二面角问题)‎ ‎　　以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．空间向量及其有关概念 ‎(1)空间向量的有关概念 ‎①空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。‎ ‎②相等向量：方向相同且模相等的向量。‎ ‎③共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量。‎ ‎④共面向量：平行于同一个平面的向量。‎ ‎(2)空间向量中的有关定理 ‎①共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb。‎ ‎②共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb。‎ ‎③空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc。‎ ‎2．两个向量的数量积 ‎(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉。‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律 ‎①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；‎ ‎②交换律：a·b＝b·a；‎ ‎③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c。‎ ‎3．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，‎ 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a＝λb(b≠0)‎ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3‎ 垂直 a·b＝0‎ ‎(a≠0，b≠0)‎ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 模 ‎|a|‎ 夹角 ‎〈a，b〉(a≠0，b≠0)‎ cos〈a，b〉＝‎ ‎4.向量法证明平行与垂直 ‎(1)两个重要向量 ‎①直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个。‎ ‎②平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量。显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量。‎ ‎(2)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2‎ l1∥l2‎ n1∥n2⇔n1＝λn2‎ l1⊥l2‎ n1⊥n2⇔n1·n2＝0‎ 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔m·n＝0‎ l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α、β的法向量分别为n、m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0‎ 微点提醒 ‎1．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理。如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可。若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外。‎ ‎2．用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材　　　　　　　　　‎ ‎1．(选修2－1P‎97A组T2改编)如图，平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)‎ A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b－c D．－a－b＋c ‎【解析】　＝＋ ‎＝－－＝－－(＋)‎ ‎＝－－－＝－a－b－c。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎2．(选修2－1P111练习T3改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________。‎ ‎【解析】　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DA＝2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，所以＝(－2,0,1)，＝(1,0,2)，·＝－2＋0＋2＝0，所以AM⊥ON。‎ ‎【答案】　垂直 二、双基查验 ‎1．(2016·沈阳模拟)O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　)‎ A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 ‎【解析】　由＋＋＝1知，A，B，C，P四点共面。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎2．(2017·赤峰模拟)已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎【解析】　因为a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，‎ 所以a·b＝－3＋2x－5＝2，‎ 解得x＝5。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎3．(2016·重庆模拟)若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的一个法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝(　　)‎ A．2∶3∶(－4) B．1∶1∶1‎ C．－∶1∶1 D．3∶2∶4‎ ‎【解析】　＝，＝(－3,2,0)，‎ 因为平面α的一个法向量为a＝(x，y，z)，‎ 所以 取y＝3，则x＝2，z＝－4。‎ 所以x∶y∶z＝2∶3∶(－4)。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎4．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则直线l与平面α的位置关系为________。‎ ‎【解析】　∵a＝－n，∴l⊥α。‎ ‎【答案】　l⊥α ‎5．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)。对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥。其中正确的是________。‎ ‎【解析】　∵·＝0，·＝0，‎ ‎∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确。‎ 又与不平行，‎ ‎∴是平面ABCD的法向量，则③正确。‎ ‎∵＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，‎ ‎∴与不平行，故④错误。‎ ‎【答案】　①②③‎ 微考点　大课堂 考点一 ‎ 空间向量的线性运算 ‎【典例1】　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：‎ ‎(1)；(2)；(3)＋。‎ ‎【解析】　(1)∵P是C1D1的中点，‎ ‎∴＝＋＋＝a＋＋ ‎＝a＋c＋＝a＋c＋b。‎ ‎(2)∵N是BC的中点，‎ ‎∴＝＋＋＝－a＋b＋ ‎＝－a＋b＋＝－a＋b＋c。‎ ‎(3)∵M是AA1的中点，‎ ‎∴＝＋＝＋ ‎＝－a＋＝a＋b＋c。‎ 又＝＋＝＋ ‎＝＋＝c＋a，‎ ‎∴＋＝＋ ‎＝a＋b＋c。‎ ‎【答案】　(1)a＋c＋b　(2)－a＋b＋c ‎(3)a＋b＋c 反思归纳　确定要表示的向量的终点是否是三角形边的中点，若是，利用平行四边形法则即可。若不是，利用封闭图形，寻找到所要表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系，进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧。一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径结果应是唯一的。‎ ‎【变式训练】　在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，。‎ ‎【解析】　＝＋ ‎＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋[(＋)－]‎ ‎＝－＋＋ ＝＋＝－＋＋ ‎＝＋＋。‎ ‎【答案】　＝－＋＋，‎ ＝＋＋ 考点二 ‎ 共线、共面定理的应用 ‎【典例2】　如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B‎1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)。‎ ‎(1)向量是否与向量，共面？‎ ‎(2)直线MN是否与平面ABB‎1A1平行？‎ ‎【解析】　(1)∵＝k，＝k，‎ ‎∴＝＋＋ ‎＝k＋＋k ‎＝k(＋)＋ ‎＝k(＋)＋ ‎＝k＋＝－k ‎＝－k(＋)‎ ‎＝(1－k)－k，‎ ‎∴由共面向量定理知向量与向量，共面。‎ ‎(2)当k＝0时，点M、A重合，点N、B重合，‎ MN在平面ABB‎1A1内，当0＜k≤1时，‎ MN不在平面ABB‎1A1内，‎ 又由(1)知与、共面，‎ 所以MN∥平面ABB‎1A1。‎ ‎【答案】　(1)共面　(2)平行 反思归纳　‎ 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) ‎【变式训练】　(2017·抚州模拟)如图在四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D‎1C1的中点。‎ ‎(1)试用向量，，表示；‎ ‎(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB‎1C。‎ ‎【解析】　设＝a，＝b，＝c，‎ ‎(1)由图得＝＋＋ ‎＝c＋b＋＝a＋b＋c＝＋＋。‎ ‎(2)证明：由题图得：＝＋＝a＋b，‎ ＝＋＝b＋a＝，‎ ‎∵与无公共点。‎ ‎∴EG∥AC，∴EG∥平面AB‎1C。‎ 又∵＝＋＝a＋c，‎ ＝＋＝c＋a＝，‎ ‎∵与无公共点，‎ ‎∴FG∥AB1，∴FG∥平面AB‎1C，‎ 又∵FG∩EG＝G，‎ ‎∴平面EFG∥平面AB‎1C。‎ ‎【答案】　(1)＝＋＋　(2)见解析 考点三 ‎ 空间向量数量积的应用 ‎【典例3】　如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长。‎ ‎【解析】　∵AB与CD成60°角，‎ ‎∴〈，〉＝60°或120°。‎ 又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，‎ ‎∴||＝ ＝＝‎ ‎ ‎＝ ‎＝ ，‎ ‎∴||＝2或。‎ ‎∴BD的长为2或。‎ ‎【答案】　2或 反思归纳　1.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置。‎ ‎2．利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角。‎ ‎3．可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解。‎ ‎【变式训练】　已知空间四边形OABC各边及对角线长AC，OB都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值。‎ ‎【解析】　如图所示，设＝a，＝b，＝c，‎ 且设各棱长及对角线长均为1，‎ 故|a|＝|b|＝|c|＝1，‎ a·b＝a·c＝b·c＝，且||＝||＝。‎ ‎∴·＝(＋)·(－)‎ ‎＝· ‎＝a·c＋b·c－a·b－|b|2＝－，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝－。‎ ‎∵异面直线所成角的范围为，‎ ‎∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为。‎ ‎【答案】　 考点四 ‎ 利用空间向量解决平行与垂直问题 ‎【典例4】　(2016·昆明模拟)如图，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点。‎ ‎(1)求证：B1E⊥AD1；‎ ‎(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。‎ ‎【解析】　以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。‎ 设AB＝a。‎ ‎(1)证明：A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，‎ 故＝(0,1,1)，‎ ＝，‎ 因为·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，‎ 所以B1E⊥AD1。‎ ‎(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，‎ 使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)，‎ 再设平面B1AE的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ ＝(a,0,1)，＝。‎ 因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，‎ 得 取x＝1，则y＝－，z＝－a，得平面B1AE的一个法向量n＝。‎ 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，‎ 有－az0＝0，‎ 解得z0＝。‎ 又DP⊄平面B1AE，所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝。‎ ‎【答案】　(1)见解析　(2)存在点P，AP＝ 反思归纳　向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思维流程 ‎1．根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。‎ ‎2．假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。‎ ‎【变式训练】　(2016·怀化模拟)如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，点M是BD的中点，AE＝CD，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。‎ ‎(1)求证：EM∥平面ABC；‎ ‎(2)求出该几何体的体积；‎ ‎(3)试问在棱CD上是否存在一点N，使MN⊥平面BDE？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由。‎ ‎【解析】　(1)证明：因为M为DB的中点，取BC中点G，连接MG，AG，‎ 所以MG∥DC，且MG＝DC。‎ 所以MG∥AE且MG＝AE，所以四边形AGME为平行四边形，所以EM∥AG。又AG⊂平面ABC，ME⊄平面ABC，所以ME∥平面ABC。‎ ‎(2)由题意知，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，AE＝2，DC＝4，AB⊥AC，且AB＝AC＝2，因为EA⊥平面ABC，所以EA⊥AB。又AB⊥AC，EA∩AC＝A，所以AB⊥平面ACDE，所以四棱锥B－ACDE的高h＝AB＝2，梯形ACDE的面积S＝6，所以VB－ACDE＝·Sh＝4，即所求几何体的体积为4。‎ ‎(3)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(－2,0,0)，D(－2,0,4)，E(0,0,2)，M(－1,1,2)，＝(2,2，－4)，＝(2,0，－2)，＝(0,0，－4)，＝(1,1，－2)。假设在DC上存在一点N满足题意，设＝λ＝(0,0，－4λ)，λ∈[0,1]，则＝－＝(1,1，－2)－(0,0，－4λ)＝(1,1，－2＋4λ)，所以即 解得λ＝∈[0,1]。所以棱DC上存在一点N，‎ 满足DN＝DC时，NM⊥平面BDE。‎ ‎【答案】　(1)见解析　(2)4‎ ‎(3)存在一点N，DN＝DC 微考场　新提升 ‎1．在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　)‎ A．a＋b－c B．c－a－b C．a－b－c D．b－a＋c 解析　如图所示，＝＋＝＋(－)＝－b＋c－a＝c－a－b。故选B。‎ 答案　B ‎2．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，则用向量，，表示向量正确的是(　　)‎ A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝＋＋ 解析　＝＋＝＋＝＋‎ (－)＝＋＝＋＋。‎ 故选C。‎ 答案　C ‎3．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．不确定 解析　如图所示，令＝a，＝b，＝c，‎ 则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0。故选B。‎ 答案　B ‎4．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则||的值是________。‎ 解析　设P(x，y，z)，∴＝(x－1，y－2，z－1)。‎ ＝(－1－x,3－y,4－z)，由＝2得点P坐标为，又D(1,1,1)，∴||＝。‎ 答案　 ‎5．如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥‎ 平面ABF，则CE与DF的和为________。‎ 解析　以D‎1A1，D‎1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，所以＝(x－1,0,1)，又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，所以＝(1,1，y)，由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，只需·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1。‎ 答案　1‎