【数学】2020一轮复习北师大版（理）23　解三角形作业 8页

课时规范练23　解三角形 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.(2018山西吕梁一模,4)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=‎6‎,c=3,cos A=‎2‎‎3‎,则b=(　　)‎ A.3 B.1‎ C.1或3 D.无解 ‎2.在△ABC中,已知acos A=bcos B,则△ABC的形状是(　　)‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ‎3.(2018湖南长郡中学四模,11)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=‎2‎,则角C=(　　)‎ A.‎5π‎6‎ B.‎π‎6‎ C.π‎4‎ D.‎π‎3‎ ‎4.在△ABC中,B=π‎4‎,BC边上的高等于‎1‎‎3‎BC,则cos A=(　　)‎ A.‎3‎‎10‎‎10‎ B.‎10‎‎10‎ ‎ C.-‎10‎‎10‎ D.-‎‎3‎‎10‎‎10‎ ‎5.(2018湖南长郡中学五模,11)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosBb=-‎3cosCc,则角A的最大值为(　　)‎ A.π‎6‎ B.‎π‎4‎ C.π‎3‎ D.‎π‎2‎ ‎6.(2018河北衡水中学三模,14)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asin B=bcos A,则‎2‎sin B-cos C的最大值是　　　　　. ‎ ‎7.(2018北京,文14)若△ABC的面积为‎3‎‎4‎(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=　　　　　;ca的取值范围是　　　　　. ‎ ‎8.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=.‎ ‎9.(2018河北唐山一模,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若S△ABC=c‎2‎‎4‎,则ab‎+‎ba的最大值是　　　　　. ‎ ‎10.在△ABC中,∠A=60°,c=‎3‎‎7‎a.‎ ‎(1)求sin C的值;‎ ‎(2)若a=7,求△ABC的面积.‎ 综合提升组 ‎11.(2018河北衡水中学考前仿真,11)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=5,△ABC的面积S△ABC=‎25‎‎3‎‎4‎,且b2+c2-a2=accos C+c2cos A,则sin B+sin C=(　　)‎ A.3 B.‎9‎‎3‎‎2‎ C.‎3‎ D.3‎‎3‎ ‎12.(2018河北衡水中学月考,12)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且(a2+b2-c2)·(acos B+bcos A)=abc,若a+b=2,则c的取值范围为(　　)‎ A.(0,2) B.[1,2)‎ C.‎1‎‎2‎‎,2‎ D.(1,2]‎ ‎13.(2018河北衡水中学九模,14)如图,为了测量河对岸A、B两点之间的距离,观察者找到一个点C,从点C可以观察到点A、B;找到一个点D,从点D可以观察到点A、C;找到一个点E,从点E可以观察到点B、C;并测量得到一些数据:CD=2,CE=2‎3‎,∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠BCE=75°,∠E=60°,则A、B两点之间的距离为　　　　　.其中cos 48.19°取近似值 ‎‎2‎‎3‎ ‎14.‎ ‎(2018湖南长郡中学三模,17)在△ABC中,∠B=π‎3‎,BC=2,‎ ‎(1)若AC=3,求AB的长;‎ ‎(2)若点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足,ED=‎6‎‎2‎,求角A的值.‎ 创新应用组 ‎15.(2018江苏,13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为　　　　　. ‎ ‎16.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船?‎ 参考数据:sin38°=‎5‎‎3‎‎14‎,sin22°=‎‎3‎‎3‎‎14‎ 参考答案 课时规范练23　解三角形 ‎1.C　由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即b2-4b+3=0,解得b=1或b=3.故选C.‎ ‎2.D　∵acos A=bcos B,‎ ‎∴sin Acos A=sin Bcos B,‎ ‎∴sin 2A=sin 2B,‎ ‎∴A=B,或2A+2B=180°,‎ 即A+B=90°,‎ ‎∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.‎ ‎3.B　∵sin B+sin A(sin C-cos C)=0,‎ ‎∴sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0⇒cos Asin C+sin Asin C=0‎ ‎⇒cos A+sin A=0⇒A=‎3π‎4‎,‎ 由正弦定理得‎2‎sinC=‎2‎sin‎3π‎4‎⇒sin C=‎1‎‎2‎,C∈‎0,‎π‎2‎⇒C=π‎6‎,选B.‎ ‎4.C　(方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.‎ 结合题意知BD=AD,DC=2AD,‎ 所以AC=AD‎2‎+DC‎2‎=‎5‎AD,AB=‎2‎AD.由余弦定理,得cos∠BAC=‎AB‎2‎+AC‎2‎-BC‎2‎‎2AB·AC ‎=‎2AD‎2‎+5AD‎2‎-9AD‎2‎‎2×‎2‎AD×‎5‎AD=-‎10‎‎10‎.‎ 故选C.‎ ‎(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,‎ 由题意知∠BAD=π‎4‎.‎ 设∠DAC=α,则∠BAC=α+π‎4‎.‎ ‎∵BC=3AD,BD=AD.‎ ‎∴DC=2AD,AC=‎5‎AD.‎ ‎∴sin α=‎2‎‎5‎=‎2‎‎5‎‎5‎,cos α=‎1‎‎5‎=‎5‎‎5‎.∴cos∠BAC=cosα+‎π‎4‎=cos αcosπ‎4‎-sin αsinπ‎4‎=‎2‎‎2‎(cos α-sin α)=‎2‎‎2‎×‎5‎‎5‎‎-‎‎2‎‎5‎‎5‎=-‎10‎‎10‎,故选C.‎ ‎5.A　由题意结合正弦定理得cosBsinB=-‎3cosCsinC,‎ 所以tan C=-3tan B,因此B,C中有一钝角,角A必为锐角,‎ ‎∵tan A=-tan(B+C)=-tanB+tanC‎1-tanBtanC=‎2tanB‎1+3tan‎2‎B>0,‎ ‎∴tan B>0,tan A≤‎2tanB‎2‎3‎tanB=‎3‎‎3‎⇒0π‎2‎,∴0‎3‎‎2×‎‎3‎‎3‎+‎1‎‎2‎,即ca∈(2,+∞).‎ ‎8.‎231‎‎5‎　在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.‎ 由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,‎ 即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),‎ 解得cos α=‎5‎‎16‎,则sin α=‎231‎‎16‎,‎ 所以tan α=sinαcosα=‎231‎‎5‎.‎ ‎9.2‎2‎　∵S△ABC=c‎2‎‎4‎=‎1‎‎4‎(a2+b2-2abcos C)=‎1‎‎2‎absin C,‎ ‎∴a2+b2=2ab(sin C+cos C).‎ ab‎+ba=a‎2‎‎+‎b‎2‎ab=2(sin C+cos C)=2‎2‎sinC+‎π‎4‎≤2‎2‎,当且仅当C=π‎4‎时取等号.‎ ‎10.解 (1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=‎3‎‎7‎a,‎ 所以由正弦定理得sin C=csinAa=‎3‎‎7‎×‎3‎‎2‎=‎3‎‎3‎‎14‎.‎ ‎(2)因为a=7,所以c=‎3‎‎7‎×7=3.‎ 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×‎1‎‎2‎,解得b=8或b=-5(舍).‎ 所以△ABC的面积S=‎1‎‎2‎bcsin A=‎1‎‎2‎×8×3×‎3‎‎2‎=6‎3‎.‎ ‎11.C　(方法一)∵b2+c2-a2=accos C+c2cos A,‎ ‎∴cos A=accosC+c‎2‎cosA‎2bc=acosC+ccosA‎2b,‎ ‎∴cos A=sinAcosC+cosAsinC‎2sinB=sin(A+C)‎‎2sinB=‎1‎‎2‎,A=π‎3‎.S△ABC=‎1‎‎2‎bcsin A=‎25‎‎3‎‎4‎,bc=25.‎ ‎∵a2=b2+c2-2bccos A,‎ ‎∴b2+c2=a2+bc=50,则(b+c)2=100,b+c=10,‎ ‎∴b=c=5,∴△ABC为等边三角形,‎ ‎∴sin B+sin C=‎3‎.‎ ‎(方法二)∵b2+c2-a2=accos C+c2cos A,‎ ‎∴b2+c2-a2=ac·a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab+c2·‎b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc ‎=c(a‎2‎+b‎2‎-c‎2‎+b‎2‎+c‎2‎-a‎2‎)‎‎2b=‎2b‎2‎c‎2b=bc,‎ ‎∴cos A=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc=‎1‎‎2‎,A=π‎3‎.‎ S△ABC=‎1‎‎2‎bcsin A=‎25‎‎3‎‎4‎,bc=25.‎ ‎∵a2=b2+c2-2bccos A,‎ ‎∴b2+c2=a2+bc=50,‎ 则(b+c)2=100,b+c=10,∴b=c=5,‎ ‎∴△ABC为等边三角形,‎ ‎∴sin B+sin C=‎3‎.‎ ‎12.B　由题意可得:a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab×acosB+bcosAc=‎1‎‎2‎,‎ 且cos C=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab,acosB+bcosAc=sinAcosB+sinBcosAsinC=sinCsinC=1,‎ 据此可得:cos C=‎1‎‎2‎,‎ 即a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=‎1‎‎2‎,a2+b2-c2=ab,‎ 据此有:c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4-3ab≥4-3a+b‎2‎‎2‎=1,‎ 当且仅当a=b=1时等号成立;‎ 三角形满足两边之和大于第三边,则c