高考数学专题复习练习第七章 第七节 空间向量及其运算[理] 5页

第七章 第六节空间向量及其运算[理] 课下练兵场 命 题 报 告 难度及题号 知识点 容易题 (题号) 中等题 (题号) 稍难题 (题号) 空间向量的线性运算 2、3 6 共线向量、共面 向量定理的应用 4 5、8 数量积的应用 1、7 9、10 11、12 一、选择题 1．△ABC 的顶点分别为 A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则 AC 边上的高 BD 等于 (　　) A．5　　　　　　B. 41 C．4 D．2 5 解析：设 ＝λ ，又 ＝(0,4，－3)． 则 ＝(0,4λ，－3λ)． ＝(4，－5,0)， ＝(－4,4λ＋5，－3λ)， 由 · ＝0， 得 λ＝－4 5，∴ ＝(－4，9 5，12 5 )，∴| |＝5. 答案：A 2．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，给出以下向量表达式： ①( － )－ ； ②( )－ ； ③( )－2 ； ④( ＋ )＋ . 其中能够化简为向量 的是 (　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析：① ； AD AC AC AD AB BD AC BD BD BD 1 1A D 1A A AB 1BC BB+  1 1D C AD AB−  1DD 1 1B D 1A A 1DD 1BD 1 1 1 1 1( )A D A A AB AD AB BD− − = − =      ② ； ③ ； ④ ， 综上①②符合题意． 答案：A 3．在四面体 O－ABC 中， ＝a， ＝b， ＝c，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中 点，则 可表示为(用 a，b、c 表示)． (　　) A.1 2a＋1 4b＋1 4c B.1 2a＋1 3b－1 2c C.1 3a＋1 4b＋1 4c D.1 3a－1 4b＋1 4c 解析： 1 2×1 2( ) ＝ ×( ) ＝1 2 ＋1 4 ＋1 4 ＝1 2a＋1 4b＋1 4c. 答案：A 4．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心，若 ＋ ，则 x、y 的值分别为 (　　) A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝1 2 C．x＝1 2，y＝1 2 D．x＝1 2，y＝1 解析：如图， ＋1 2 ＋1 2( )． 答案：C 5．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，EF 是异面直线 AC 与 A1D 的公垂线，则 EF 与 BD1 所成 的角是 (　　) A．90° B．60° C．30° D．0° 解析：可求得 ∥ ，即 BD1∥EF. 答案：D 6．已知空间四边形 ABCD 中，M、G 分别为 BC、CD 的中点，则 ＋1 2( )于 1 1 1 1 1 1 1)BC BB D C BC D C BD+ − = − =      1 1 1(AD A ) 2DD D 2DD BDB B− − = − ≠      1 1 1 1 1 1 1 1 1( D A A) DD D DD B D BDB B+ + = + = ≠       OA OB CO EO 1E 2O OA AD OA= + = +    AB AC+  1 4OA+ OB OA OC OA− + −    OA OB OC 1AE AA=  AB xyAD+  1 1 1AE AA A E AA= + =    1 1 1A C AA=  AB AD+  1BD EF AB BD BC+  (　　) A． B． C． D.1 2 解析：如图所示：1 2( )＝ ， ＋ ＝ . 答案：A 二、填空题 7．在空间四边形 ABCD 中， ＝________. 解析：设 ＝b， ＝c， ＝d， 则 ＝d－c， ＝d－b， ＝c－b. 原式＝b·(d－c)＋d·(c－b)－c(d－b)＝0. 答案：0 8．已知点 A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若 ＝2 ，则| |的值是________． 解析：设 P(x，y，z)，∴ ＝(x－1，y－2，z－1)． ＝(－1－x,3－y,4－z) 由 ＝2 得点 P 坐标为(－1 3，8 3，3)， 又 D(1,1,1)，∴| |＝ 77 3 . 答案： 77 3 9．(2009·平顶山模拟)如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点，那么直线 AM 和 CN 所成角的余弦值为________． 解析：建系可求得 cosθ= . AG CG BC BC BD BC+  BG AB BG AG AB CD BC AD CA BD⋅ + ⋅ + ⋅      AB AC AD CD BD BC AP PB PD AP PB AP PB PD 2 5 答案： 三、解答题 10．已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E 为侧面 AB1 的中心，F 为 A1D1 的中点．试计算： (1) ； (2) . 解：如图，设 ＝a， ＝b， ＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4， a·b＝b·c＝c·a＝0. (1) · ＝b·[1 2(c－a)＋b] ＝|b|2＝42＝16； (2) · ＝[1 2(c－a)＋1 2b]·(1 2b＋a) ＝1 2(－a＋b＋c)·(1 2b＋a) ＝－1 2|a|2＋1 4|b|2 ＝2. 11．在平行四边形 ABCD 中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线 AC 折起，使 AB 和 CD 成 60°角(见下图)．求 B、D 间的距离． 解：∵∠ACD=90°，∴ ＝0. 同理 ＝0. ∵AB 和 CD 成 60°角，∴〈 〉＝60°或 120°. ∵ ， ∴ ＝ 2 5 1BC ED⋅  1EF FC⋅  AB AD 1AA BC 1ED EF 1FC AC CD⋅  BA AC⋅  BA CD⋅  BD BA AC CD= = +    2 2 2 2 22 2BD BA AC CD BA CD AC CD= + + + ⋅ + ⋅       2 2 2 2BA AC CD AB CD+ + ⋅    ＝3＋2×1×1×cos〈 〉 ＝ ∴| |＝2 或 2，即 B、D 间的距离为 2 或 2. 12．直三棱柱 ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E 分别为 AB、 BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值． 解：(1)证明：设 ＝a， ＝b， ＝c， 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0， ∴ ＝b＋1 2c， ＝－c＋1 2b－1 2a. ∴ · ＝－1 2c2＋1 2b2＝0. ∴ ⊥ ，即 CE⊥A′D. (2) ＝－a＋c，∴| |＝ 2|a|，| |＝ 5 2 |a|. · ＝(－a＋c)·(b＋ 1 2c)＝1 2c2＝1 2|a|2， ∴cos〈 ， 〉＝ 1 2|a|2 2· 5 2 |a|2 ＝ 10 10 . 即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10 10 . ,BA CD  4( , 60 ), 2( , 120 ). BA CD BA CD  〈 〉 = 〈 〉 =       BD CA CB ,CC′ CE ´A D CE ´A D CE ´A D AC′ AC′ CE AC′ CE AC′ CE