高考数学专题复习练习：第四章 4_6正弦定理、余弦定理 17页

‎1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A；‎ b2＝c2＋a2－2cacos B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 ‎(1)a＝2Rsin A，‎ b＝2Rsin B，‎ c＝2Rsin C；‎ ‎(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ‎(4)asin B＝bsin A，‎ bsin C＝csin B，‎ asin C＝csin A cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：‎ A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 ‎3.三角形常用面积公式 ‎(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；‎ ‎(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．三角形内角和定理：‎ 在△ABC中，A＋B＋C＝π；‎ 变形：＝－.‎ ‎2．三角形中的三角函数关系 ‎(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；‎ ‎(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .‎ ‎3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；‎ b＝acos C＋ccos A；‎ c＝bcos A＋acos B.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)‎ ‎(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(　√　)‎ ‎(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　×　)‎ ‎(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　×　)‎ ‎(5)在△ABC中，＝.(　√　)‎ ‎(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　√　)‎ ‎1．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　A 解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.‎ ‎2．(教材改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于(　　)‎ A．5 B．10 C. D．5 答案　C 解析　由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，‎ 由正弦定理得＝，即＝，‎ ‎∴c＝.‎ ‎3．在△ABC中，若sin B·sin C＝cos2，且sin2B＋sin2C＝sin2A，则△ABC是(　　)‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 答案　D 解析　sin B·sin C＝，‎ ‎∴2sin B·sin C＝1＋cos A＝1－cos(B＋C)，‎ ‎∴cos(B－C)＝1，‎ ‎∵B、C为三角形的内角，∴B＝C，‎ 又sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2，‎ 综上，△ABC为等腰直角三角形．‎ ‎4．(2016·辽宁五校联考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝ .‎ 答案　 解析　因为3sin A＝5sin B，‎ 所以由正弦定理可得3a＝5b.‎ 因为b＋c＝2a，所以c＝2a－a＝a.‎ 令a＝5，b＝3，c＝7，‎ 则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，‎ 得49＝25＋9－2×3×5cos C，‎ 解得cos C＝－，所以C＝.‎ ‎5．(2016·济南模拟)在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为 ．‎ 答案　4 解析　∵cos C＝，00)，‎ 则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，‎ 代入＋＝中，有 ＋＝，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．‎ 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C．所以sin Asin B＝sin C.‎ ‎②解　由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有 cos A＝＝.‎ 所以sin A＝＝.‎ 由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ 所以sin B＝cos B＋sin B.‎ 故tan B＝＝4.‎ 思维升华　应用正弦、余弦定理的解题技巧 ‎(1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解．‎ ‎(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解．‎ ‎(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．‎ ‎(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．‎ ‎　(1)△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则等于(　　)‎ A．2 B．2 C. D. ‎(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cos Asin C，则b等于(　　)‎ A．6 B．4‎ C．2 D．1‎ 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)(边化角)‎ 由asin Asin B＋bcos2A＝a及正弦定理，得 sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，‎ 即sin B＝sin A，所以＝＝.故选D.‎ ‎(2)(角化边)‎ 由题意，得sin Acos C－cos Asin C＝2cos Asin C，‎ 即sin Acos C＝3cos Asin C，‎ 由正弦、余弦定理，得 a·＝3c·，‎ 整理得2(a2－c2)＝b2，①‎ 又a2－c2＝b，②‎ 联立①②得b＝2，故选C.‎ 题型二　和三角形面积有关的问题 例2　(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.‎ ‎(1)证明：A＝2B；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．‎ ‎(1)证明　由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，‎ 于是sin B＝sin(A－B)．‎ 又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，‎ 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.‎ ‎(2)解　由S＝，得absin C＝，‎ 故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，‎ 由sin B≠0，得sin C＝cos B.‎ 又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.‎ 当B＋C＝时，A＝； ‎ 当C－B＝时，A＝.‎ 综上，A＝或A＝.‎ 思维升华　(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．‎ ‎(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．‎ ‎　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A．3 B. C. D．3 答案　C 解析　∵c2＝(a－b)2＋6，‎ ‎∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①‎ ‎∵C＝，‎ ‎∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②‎ 由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.‎ ‎∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.‎ 题型三　正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1　判断三角形的形状 例3　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若0，所以cos B<0，‎ 即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．‎ ‎(2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，‎ ‎∴sin(B＋C)＝sin2A，‎ 即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，‎ 即A＝，∴△ABC为直角三角形．‎ 引申探究 ‎1．例3(2)中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．‎ 解　∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，‎ ‎∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Bsin A，‎ ‎∴sin(A－B)＝0，‎ 又A，B为△ABC的内角．‎ ‎∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．‎ ‎2．例3(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．‎ 解　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，‎ 又01.‎ ‎∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．‎ ‎5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　根据正弦定理＝＝＝2R，‎ 得＝＝，‎ 即a2＋c2－b2＝ac，‎ 得cos B＝＝，‎ 故B＝，故选C.‎ ‎6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为(　　)‎ A．2＋2 B.＋1‎ C．2－2 D.－1‎ 答案　B 解析　∵b＝2，B＝，C＝.‎ 由正弦定理＝，‎ 得c＝＝＝2，‎ A＝π－(＋)＝π，‎ ‎∴sin A＝sin(＋)＝sin cos ＋cos sin ‎＝.‎ 则S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.‎ ‎7．(2016·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝ .‎ 答案　 解析　在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得b＝＝.‎ ‎8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为 ．‎ 答案　或 解析　由余弦定理，得＝cos B，‎ 结合已知等式得cos B·tan B＝，‎ ‎∴sin B＝，∴B＝或.‎ ‎9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为 ．‎ 答案　8‎ 解析　∵cos A＝－，0＜A＜π，∴sin A＝，‎ S△ABC＝bcsin A＝bc×＝3，∴bc＝24，‎ 又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ‎＝52－2×24×＝64，‎ ‎∴a＝8.‎ ‎*10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A．若a＝4，则△ABC周长的最大值为 ．‎ 答案　12‎ 解析　由正弦定理＝，‎ 可将asin B＝bcos A转化为sin Asin B＝sin Bcos A.‎ 又在△ABC中，sin B>0，∴sin A＝cos A，‎ 即tan A＝.‎ ‎∵0