【数学】2018届一轮复习北师大版第二章函数导数及其应用第一节函数及其表示教案 12页

第一节　函数及其表示 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；‎ ‎2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；‎ ‎3.了解简单的分段函数，并能简单应用。‎ ‎2015，全国卷Ⅱ，5,5分(分段函数)‎ ‎2014，全国卷Ⅱ，15,5分(分段函数)‎ ‎1.以考查函数的三要素和表示法为主，函数的图象、分段函数也是考查的热点；‎ ‎2.题型以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是函数的解析式，对研究函数的性质、应用有很重要的作用。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．函数与映射的概念 函数 映射 定义 建立在两个非空数集A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 建立在两个非空集合A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B ‎2.函数的三要素 函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域。‎ ‎3．函数的表示法 表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。‎ ‎4．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。‎ 微点提醒 ‎1．由于映射中的两个集合是非空集合，函数中的两个集合是非空数集。所以函数是特殊的映射。‎ ‎2．判断两个函数是不是相等函数，关键是看定义域和对应关系是否相同。‎ ‎3．求分段函数的函数值，要依据自变量所属的区间，选择相应的对应关系求解。当自变量不确定时，需分类讨论。‎ ‎4．判断函数图象的常用结论：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修1P17例1(1)改编)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)‎ A．[0,2) B．(2，＋∞)‎ C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)‎ ‎【解析】　由题意得解得x≥0且x≠2。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎2．(必修1P23练习T2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)‎ ‎【解析】　A中函数定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]。故选B。‎ ‎【答案】　B 二、双基查验 ‎1．下列四组函数中，表示同一函数的是(　　)‎ A．f(x)＝|x|，g(x)＝ B．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgx C．f(x)＝，g(x)＝x＋1‎ D．f(x)＝·，g(x)＝ ‎【解析】　A中，g(x)＝＝|x|，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；B中，两个函数的定义域不同，故不表示同一函数；C中，f(x)＝＝x＋1(x≠1)与g(x)＝x＋1两个函数的定义域不同，故不表示同一函数；D中，f(x)的定义域为[1，＋∞)，g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以不是同一函数。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎2．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是(　　)‎ A．y＝x B．y＝lgx C．y＝2x D．y＝ ‎【解析】　通性通法　函数y＝10lgx的定义域为(0，＋∞)，又当x>0时，y＝10lgx＝x，故函数的值域为(0，＋∞)。只有D选项符合。故选D。‎ 光速解法　易知函数y＝10lgx中x>0，排除选项A、C；又10lgx必为正值，排除选项B。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎3．(2016·重庆模拟)设函数f(x)满足f(x＋2)＝‎2f(x)＋x，且当0≤x<2时，f(x)＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，则f(5.5)＝(　　)‎ A．8.5 B．10.5‎ C．12.5 D．14.5‎ ‎【解析】　由题意f(x＋2)＝‎2f(x)＋x，得f(5.5)＝‎2f(3.5)＋3.5＝2(‎2f(1.5)＋1.5)＋3.5＝‎4f(1.5)＋6.5＝4×1＋6.5＝10.5。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎4．(2016·江苏高考)函数y＝的定义域是________。‎ ‎【解析】　要使函数y＝有意义，则3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，则函数y＝的定义域是[－3,1]。‎ ‎【答案】　[－3,1]‎ ‎5．设函数f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________。‎ ‎【解析】　因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，则a的取值范围为(－∞，2]。‎ ‎【答案】　(－∞，2]‎ 微考点　大课堂 考点一 ‎ 求函数的定义域 ‎【典例1】　(1)(2015·湖北高考)函数f(x)＝＋lg的定义域为(　　)‎ A．(2,3)　　　　　 B．(2,4]‎ C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]‎ ‎(2)若函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，则函数f(x)的定义域为________。‎ ‎【解析】　(1)由函数y＝f(x)的表达式可知，函数的定义域应满足条件：4－|x|≥0，>0，解得－4≤x≤4，x>3或20，则x＋≥2，y∈；若x<0，x＋≤－2，y∈。‎ 即该函数的值域是。‎ ‎【答案】　(1)[0,4)　(2)[0,2]‎ ‎(3)(－∞，3)∪(3，＋∞)　(4) 反思归纳　求函数值域的常用方法有：‎ ‎(1)观察法；(2)配方法；(3)单调性法；(4)分离常数法；(5)换元法；(6)数形结合法；(7)不等式法等等，其中单调性法是最常见的方法。‎ ‎【变式训练】　(1)函数y＝的值域是________；‎ ‎(2)函数y＝－的值域是________；‎ ‎(3)函数y＝的值域是________。‎ ‎【解析】　(1)根据函数y＝x2的值域及不等式的性质可以直接观察出函数的值域为{y|0时，f＝－3b－b＝－4b，‎ 即－4b＝4，得到b＝<，舍去。‎ 综上，b＝。故选D。‎ 答案　D 微专题　巧突破 函数的新定义问题 定义函数问题是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情境，定义一个新函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者给出已知函数，再定义一个新概念(如不动点)，把数学知识与方法迁移到这段阅读分析材料，考生需捕捉相关信息，通过归纳、探索，发现解题方法，然后解决问题。处理此类题目的方法如下：‎ ‎(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，分析有关信息，联想背景函数及其性质，进行类比，捕捉解题灵感，然后解决问题。‎ ‎(2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答。‎ ‎(3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，即令x，y取特殊值，或为某一范围内的值，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题。‎ ‎(4)构造函数：有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成。‎ ‎【典例】　在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L－距离”定义为||P1P2||＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L－距离”之和等于定值(大于||F‎1F2||)的点的轨迹可以是(　　)‎ ‎【解析】　设P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)，c>0，则||F‎1F2||＝‎2c，依题意，得||PF1||＋||PF2||＝2d(d为常数，且d>c)，所以|x＋c|＋|y－0|＋|x－c|＋|y－0|＝2d，即|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2d。‎ ‎①当－c≤x≤c时，(x＋c)＋c－x＋2|y|＝2d，即y＝±(d－c)；‎ ‎②当x<－c时，－(x＋c)＋c－x＋2|y|＝2d，即x±y＋d＝0；‎ ‎③当x>c时，(x＋c)＋x－c＋2|y|＝2d，即x±y－d＝0。‎ 画出以上三种情形的图象，可知选项A正确。‎ ‎【答案】　A ‎【变式训练】　对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(‎2a－x)，则称f(x)为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是(　　)‎ A．f(x)＝　　　　　　 B．f(x)＝x2‎ C．f(x)＝tanx D．f(x)＝cos(x＋1)‎ ‎【解析】　由题意可得准偶函数的图象关于直线x＝a(a≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y轴的对称轴。选项A，C中函数的图象不存在对称轴，选项B中函数的图象的对称轴为y轴，只有选项D中的函数满足题意。故选D。‎ ‎【答案】　D