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  • 2021-06-15 发布

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理5-4求解平面向量问题的五大策略学案

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‎           求解平面向量问题的五大策略 平面向量既具备几何意义、也具备类似数的运算,在解题中既可以按照几何的思路处理,也可以通过运算解决问题,解平面向量的题目有一些策略,用好这些策略可以顺利地解决问题.‎ ‎ 用好共线向量定理及其推论 ‎ 在△ABC中,=2a,=3b,设P为△ABC内部及其边界上任意一点,若=λa+μb,则λμ的最大值为__________.‎ ‎【解析】 过点P作BC平行线,交AB,AC于点M,N,设=t,则有=t+(1-t)(0≤t≤1),设=m,则有=m(0≤m≤1),所以=tm+(1-t)m,‎ 所以=2tma+3(1-t)mb,所以所以λ≥0,μ≥0,3λ+2μ=6m≤6,由3λ+2μ≥2得2≤6,所以λμ≤,λμ的最大值为.‎ ‎【答案】  ‎(1)A,B,C三点共线时,一定存在实数λ,使得=λ或=λ等;‎ ‎(2)A,B,C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O,存在实数t使得=t+(1-t)·或=λ+μ,λ+μ=1.  ‎ ‎ 用好平面向量基本定理 ‎ 在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则等于(  )‎ A.a+b         B.a+b C.a+b D.a+b ‎【解析】 如图,E为OD中点,‎ 则BE=3DE.因为AB∥CD,‎ 则=3,-=3-3,‎ ‎-+=3-3(-),‎ ‎3=-++3×+3×,‎ ‎3=2+,则=+,‎ 即=a+b.故选B.‎ ‎【答案】 B 平面向量基本定理表明,同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合,即选择了两个不共线向量e1和e2,平面内的任何一向量a都可以用向量e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2,并且这种表示是唯一的,即若λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,则必有λ1=μ1,λ2=μ2.这样,平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1,λ2的代数运算,而且为利用待定系数法解题提供了理论基础.  ‎ ‎ 用好向量的坐标表示 ‎ (1)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ACD=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为__________.‎ ‎(2)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,M为CD的中点,若N为该菱形内任意一点(含边界),则·的最大值为______________.‎ ‎【解析】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系,则D(2,0).‎ 设B(0,b),b>0,则C(1,b).‎ 因为∠ACD=90°,‎ 所以·=0,即(1,b)·(-1,b)=0,解得b=1,所以B(0,1),C(1,1).‎ 设P(x,y),=λ(0≤λ≤1),‎ 则(x-2,y)=λ(-1,1),‎ 得x=2-λ,y=λ,‎ 即P(2-λ,λ).‎ ‎|+3|=|(λ-2,-λ)+3(λ-2,1-λ)|‎ ‎=|(4λ-8,3-4λ)|‎ ‎= ‎=,0≤λ≤1,‎ 根据二次函数性质,上式当λ=1时取最小值,故其最小值为=.‎ ‎(2)建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),C(3,),D(1,),M(2,),设N(x,y),则 ·=2x+y,其中(x,y)所在的区域即为菱形及其内部的区域.设z=2x+y,则的几何意义是直线系z=2x+y在y轴上的截距,结合图形可知,在点C处目标函数取得最大值,最大值为2×3+×=9.‎ ‎【答案】 (1) (2)9‎ 向量坐标化后,所有的问题均可以通过计算求解,这种方法对难度较大的平面向量试题非常有用.  ‎ ‎ 用好两向量垂直的条件 ‎ 设O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹经过△ABC的(  )‎ A.外心          B.内心 C.重心 D.垂心 ‎【解析】 ·(-)=‎ -+-.‎ 在△ABC中,记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则上式即为 -+- ‎=.‎ 根据正弦定理,上式的分子为2R(sin Ccos C-sin Bcos B+sin Ccos Acos B-sin Bcos Acos C)‎ ‎=2R ‎=2R ‎=2R[-cos (B+C)sin (B-C)+cos Asin(C-B)]‎ ‎=2R[-cos Asin(C-B)+cos Asin (C-B)]=0.‎ 所以·(-)=0,‎ 所以⊥.‎ 又向量+经过点A,所以向量 λ与△ABC的BC边上的高线所在的向量共线.‎ 因为=+λ,‎ 所以点P在△ABC的BC边上的高线上,‎ 所以点P的轨迹经过△ABC的垂心,故选D.‎ ‎【答案】 D 两非零向量垂直的充要条件是其数量积为零,利用该结论可以证明平面图形中的直线与直线垂直、也可以根据两向量垂直求未知的参数值等.  ‎ ‎ 用好向量运算的几何意义 ‎ 已知向量a,b,c满足|a|=,|b|=a·b=3,若(c-2a)·(2b-3c)=0,则|b-c|的最大值是______.‎ ‎【解析】 设a,b夹角为θ,a·b=×3cos θ=3,‎ 得cos θ=,‎ 因为0≤θ≤π,所以θ=.‎ 建立如图所示的平面直角坐标系,a=(1,1),b=(3,0),‎ 设c=(x,y),‎ 则c-2a=(x-2,y-2),2b-3c=(6-3x,-3y).‎ 因为(c-2a)·(2b-3c)=0,‎ 所以(x-2)(6-3x)+(y-2)·(-3y)=0,整理得x2+y2-4x-2y+4=0,即(x-2)2+(y-1)2=1,即向量c的终点在以(2,1)为圆心、1为半径的圆上,根据向量减法的几何意义,可知|b-c|的最大值为+1=+1.‎ ‎【答案】 +1‎