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- 2021-06-15 发布
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第8讲 指数与指数函数
考试要求 1.有理指数幂的含义及运算(B级要求);2.实数指数幂的意义,指数函数模型的实际背景(A级要求);3.指数函数的概念、图象与性质(B级要求).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)=-4.( )
(2)(-1)=(-1)=.( )
(3)函数y=2x-1是指数函数.( )
(4)函数y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+∞).( )
解析 (1)由于==4,故(1)错.
(2)(-1)==1,故(2)错.
(3)由于指数函数解析式为y=ax(a>0,且a≠1),故y=2x-1不是指数函数,故(3)错.
(4)由于x2+1≥1,又a>1,∴ax2+1≥a.故y=ax2+1(a>1)的值域是[a,+∞),故(4)错.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修1P61例2改编)化简[(-2)6]-(-1)0的结果为________.
解析 原式=(26) -1=8-1=7.
答案 7
3.(2017·盐城高三上 期期中)函数f(x)=ax-1+3(a>0且a≠1)的图象经过定点________.
解析 当x=1时,f(x)=4,所以f(x)=ax-1+3(a>0且a≠1)的图象经过定点(1,4).
答案 (1,4)
4.(2015·江苏卷)不等式2x2-x<4的解集为________.
解析 ∵2x2-x<4=22,∴x2-x<2,即x2-x-2<0,解得-1>,
即a>b>1,
又c=<=1,
∴c0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-=(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念:函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是变量,函数的定义域是R,a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
00时,y>1;
当x<0时,01;
当x>0时,00,b>0);
(2)+(0.002)--10(-2)-1+(-)0.
解 (1)原式==a+-1+b1+-2-=ab-1.
(2)原式=+-+1
=+500-10(+2)+1
=+10-10-20+1=-.
规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
【训练1】 化简求值:
(1)+2-2·-(0.01)0.5;
(2).
解 (1)原式=1+×-
=1+×-=1+-=.
(2)原式==a---·b+-=.
考点二 指数函数的图象及应用
【例2】 已知f(x)=|2x-1|.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)比较f(x+1)与f(x)的大小;
(3)试确定函数g(x)=f(x)-x2的零点的个数.
解 (1)由f(x)=|2x-1|=可作出函数的图象如图所示.因此函数f(x)在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增.
(2)在同一坐标系中,分别作出函数f(x)、f(x+1)的图象,如图所示.
由图象知,当2x0+1-1=1-2x0,即x0=log2时,两图象相交,由图象可知,当xf(x+1);
当x=log2时,f(x)=f(x+1);
当x>log2,f(x)f(c)>f(b),则下列结论中, 一定成立的是________.
①a<0,b<0,c<0;②a<0,b≥0,c>0;
③2-a<2c;④2a+2c<2.
解析 (1)如图,观察易知,a,b的关系为af(c)>f(b),
结合图象知,
00,
∴0<2a<1.
∴f(a)=|2a-1|=1-2a<1,
∴f(c)<1,∴0f(c),∴1-2a>2c-1,
∴2a+2c<2.
答案 (1)③④ (2)④
考点三 指数函数的性质及应用(多维探究)
命题角度1 函数的单调性
【例3-1】 (1)函数f(x)=的单调减区间为________.
(2)函数f(x)=4x-2x+1的单调增区间是________.
解析 (1)设u=-x2+2x+1,∵y=在R上为减函数,
∴函数f(x)=的减区间即为函数u=-x2+2x+1的增区间.
又u=-x2+2x+1的增区间为(-∞,1],
∴f(x)的减区间为(-∞,1].
(2)设t=2x,则y=t2-2t的单调增区间为[1,+∞),
令2x≥1,得x≥0,
∴函数f(x)=4x-2x+1的单调增区间是[0,+∞).
答案 (1)(-∞,1] (2)[0,+∞)
命题角度2 单调性的应用
【例3-2】 (1)(2018·徐州模拟)下列各式比较大小正确的是________(填序号).
①1.72.5>1.73;②0.6-1>0.62;③0.8-0.1>1.250.2;
④1.70.3<0.93.1.
(2)已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是________.
解析 (1)②中,∵y=0.6x是减函数,
∴0.6-1>0.62.
(2)令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间上单调递增,在区间上单调递减.而y=2t为R上的增函数,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].
答案 (1)② (2)(-∞,4]
命题角度3 函数的值域与最值
【例3-3】 (1)函数y=-+1在区间[-3,2]上的值域是________.
(2)如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a的值为________.
解析 (1)因为x∈[-3,2],
所以若令t=,则t∈,
故y=t2-t+1=+.
当t=时,ymin=;当t=8时,ymax=57.
故所求函数的值域为.
(2)令ax=t,则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.
当a>1时,因为x∈[-1,1],所以t∈,
又函数y=(t+1)2-2在上单调递增,
所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3(负值舍去).
当0<a<1时,因为x∈[-1,1],所以t∈,
又函数y=(t+1)2-2在上单调递增,
则ymax=-2=14,
解得a=(负值舍去).
综上知a=3或a=.
答案 (1) (2)或3
规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是:①能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;②不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
(3)在利用指数函数性质解决相关综合问题时,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.
(4)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,要化归于指数函数来解.
【训练3】 (1)(2015·天津卷改编)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为________.
(2)设函数f(x)=则使得f(x)≤3成立的x的取值范围是________.
解析 (1)由函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,得m=0,所以f(x)=2|x|-1,当x>0时,f(x)为增函数,
log0.53=-log23,所以log25>|-log23|>0,
所以b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m)=f(0),
即b>a>c.
(2)当x≥8时,f(x)=x≤3,
∴x≤27,即8≤x≤27;
当x<8时,f(x)=2ex-8≤3恒成立,故x<8.
综上,x∈(-∞,27].
答案 (1)c,∴b,
∴a>c,∴b0,且a≠1),如果以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,那么f(x1)·f(x2)=________.
解析 ∵以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,
∴x1+x2=0.
又∵f(x)=ax,
∴f(x1)·f(x2)=ax1·ax2=ax1+x2=a0=1.
答案 1
5.(2018·南通调研)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是________.
解析 由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.
答案 [2,+∞)
6.(2018·苏州一模)函数f(x)=的值域为________.
解析 当x≤0时,f(x)=2x∈(0,1];当x>0时,f(x)=-x2+1∈(-∞,1),因此f(x)的值域为(-∞,1].
答案 (-∞,1]
7.(2016·浙江卷改编)已知函数f(x)满足f(x)≥2x,x∈R.若f(a)≤2b,则a,b的大小关系为________.
解析 依题意得f(a)≥2a,
若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,
又y=2x是R上的增函数,∴a≤b.
答案 a≤b
8.(2018·清江中 周练)已知函数f(x)=则函数f(x)的值域为________.
解析 ∵f(x)==
当x>0时,f(x)==的值域为,
当x≤0时,f(x)=ex-的值域为,所以函数f(x)的值域为.
答案
9.(2017·南通、徐州联考)已知函数f(x)=3x+λ·3-x(λ∈R).
(1)当λ=1时,试判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(2)若不等式f(x)≤6在x∈[0,2]上恒成立,求实数λ的取值范围.
解 (1)函数f(x)为偶函数.
证明:函数f(x)的定义域为R.
当λ=1时,f(x)=3x+3-x,f(-x)=3-x+3x=f(x),
所以函数f(x)为偶函数.
(2)由f(x)≤6得3x+λ·3-x≤6,即3x+≤6,
令t=3x(t∈[1,9]),则原不等式等价于t+≤6在t∈[1,9]上恒成立,
即λ≤-t2+6t,在t∈[1,9]上恒成立,
令g(t)=-t2+6t,t∈[1,9],
易知当t=9时,g(t)min=g(9)=-27,
所以λ≤-27.
10.(2017·镇江期末)已知函数f(x)=4x-2x,实数s,t满足f(s)+f(t)=0,设a=2s+2t,b=2s+t.
(1)当函数f(x)的定义域为[-1,1]时,求f(x)的值域;
(2)求函数b=g(a)的表达式,并求函数g(a)的定义域.
解 (1)令m=2x,则m∈,
则有y=m2-m=-在上为增函数,
所以当m=时,ymin=-,当m=2时,ymax=2,
故f(x)的值域为.
(2)实数s,t满足f(s)+f(t)=0,则4s-2s+4t-2t=0,
则(2s+2t)2-2×2s+t-(2s+2t)=0,
又a=2s+2t,b=2s+t,故a2-2b-a=0,
则b=g(a)=(a2-a).
由题意知a>0,b>0,则(a2-a)>0,故a>1,
又2s+2t=4s+4t≥2×,即a≥,
故a≤2,
当且仅当s=t时取等号,
故函数g(a)的定义域为{a|11时,g(x)∈;当x≤1时,g(x)∈.“函数y=g(x)-t有且只有一个零点”等价于“函数y1=g(x)与函数y2=t的图象只有一个交点”,数形结合可以得到t∈.
答案
12.(2016·江苏卷)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设a=2,b=.
①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;
(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.
解 (1)因为a=2,b=,
所以f(x)=2x+2-x.
①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,
所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.
②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2
=(f(x))2-2.
因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,
所以m≤对于x∈R恒成立.
而=f(x)+≥2=4,且=4,
所以m≤4,故实数m的最大值为4.
(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,
而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,
所以0是函数g(x)的唯一零点.
因为g′(x)=axln a+bxln b,又由01知ln a<0,ln b>0,所以g′(x)=0有唯一解x0=log.
令h(x)=g′(x),则h′(x)=(axln a+bxln b)′=ax(ln a)2+bx(ln b)2,
从而对任意x∈R,h′(x)>0,所以g′(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.
于是当x∈(-∞,x0)时,g′(x)g′(x0)=0.
因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数.
下证x0=0.
若x0<0,则x0<<0,于是galoga2-2=0,且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为00,同理可得,在和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.
于是-=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.