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- 2021-06-15 发布
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第1讲 随机事件的概率
[最新考纲]
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义及频率与概率的区别.
2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
知 识 梳 理
1.频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.
(2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.
2.事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A=B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A+B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B互斥
A∩B=∅
对立事件
若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B=∅
P(A∪B)=
P(A)+P(B)=1
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)=1.
(3)不可能事件的概率P(F)=0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=1-P(B).
辨 析 感 悟
1.对随机事件概念的理解
(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件.(√)
(2)“方程x2+2x+8=0有两个实根”是不可能事件.(√)
(3)(2018·广州调研C项)“下周六会下雨”是随机事件.(√)
2.对互斥事件与对立事件的理解
(4)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.(√)
(5)(2018·郑州调研B项)从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张)中,任取一张,“抽取黑桃”与“抽取方块”是对立事件.(×)
3.对频率与概率的理解
(6)(教材练习改编)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.(√)
(7)(教材习题改编)集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率为.(√)
(8)(2018·临沂调研改编)甲、乙二人下棋,甲获胜的概率是0.3,甲不输的概率为0.8,则甲、乙二人下成和棋的概率为0.5.(√)
[感悟·提升]
两个区别 一是“互斥事件”与“对立事件”
的区别:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件,如(5)中为互斥事件.
二是“频率”与“概率”:频率与概率有本质的区别,不可混为一谈.频率随着试验次数的改变而变化,概率却是一个常数,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就可以近似地当作随机事件的概率.
学生用书第179页
考点一 事件的关系与运算
【例1】 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则( ).
A.A与B是互斥而非对立事件
B.A与B是对立事件
C.B与C是互斥而非对立事件
D.B与C是对立事件
解析 根据互斥与对立的定义作答,A∩B={出现点数1或3},事件A,B不互斥更不对立;B∩C=∅,B∪C=Ω(Ω为必然事件),故事件B,C是对立事件.
答案 D
规律方法 对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件,这些也可类比集合进行理解,具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系.
【训练1】 对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹.设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={至少有一次击中飞机},其中彼此互斥的事件是________,互为对立事件的是________.
解析 设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况,因为A∩B=∅,A∩C=∅,B∩C=∅,B∩D=∅.故A与B,A与C,B与C,B与D为彼此互斥事件,而B∩D
=∅,B∪D=I,故B与D互为对立事件.
答案 A与B,A与C,B与C,B与D B与D
考点二 随机事件的概率与频率
【例2】 某小型超市发现每天营业额Y(单位:万元)与当天进超市顾客人数X有关.据统计,当X=700时,Y=4.6;当X每增加10,Y增加0.05.已知近20天X的值为:1 400,1 100,1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600,1 900,1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600,1 900,700.
(1)完成如下的频率分布表:
近20天每天进超市顾客人数频率分布表
人数
700
1 100
1 400
1 600
1 900
2 200
频率
(2)假定今天进超市顾客人数与近20天进超市顾客人数的分布规律相同,并将频率视为概率,求今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率.
解 (1)在所给数据中,进超市顾客人数为1 100的有3个,为1 600的有7个,为1 900的有3个,为2 200的有2个.故近20天每天进超市顾客人数频率分布表为
人数
700
1 100
1 400
1 600
1 900
2 200
频率
(2)由已知可得Y=4.6+×0.05=X+1.1,
∵4.6