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  • 2021-06-15 发布

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理14-3柯西不等式与排序不等式学案

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第3讲 柯西不等式与排序不等式 ‎1.二维形式的柯西不等式 ‎(1)定理1(二维形式的柯西不等式)‎ 若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.‎ ‎(2)(二维变式)·≥|ac+bd|,·≥|ac|+|bd|.‎ ‎(3)定理2(柯西不等式的向量形式)‎ 设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.‎ ‎(4)定理3(二维形式的三角不等式)‎ 设x1,y1,x2,y2∈R,那么+≥.‎ ‎(5)(三角变式)设x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,则+≥.‎ ‎2.柯西不等式的一般形式 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.‎ ‎3.排序不等式 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn为b1,b2,…,bn的任一排列,则有:a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn,当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.‎ 排序原理可简记作:反序和≤乱序和≤顺序和.‎ ‎ 若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值.‎ 解:因为6=x+2y+3z≤·,‎ 所以x2+y2+z2≥,‎ 当且仅当x==即x=,y=,z=时,x2+y2+z2有最小值.‎ ‎ 设a1,a2,b1,b2为实数,求证:+≥.‎ 证明:(+)2‎ ‎=a+a+2+b+b ‎≥a+a+2|a1b1+a2b2|+b+b ‎≥a+a-2(a1b1+a2b2)+b+b ‎=(a-2a1b1+b)+(a-2a2b2+b)‎ ‎=(a1-b1)2+(a2-b2)2,‎ 所以+≥ .‎ ‎ 已知a,b,c∈R,a2+b2+c2=1.若不等式|x-1|+|x+1|≥(a-b+c)2对一切实数a,b,c恒成立,求实数x的取值范围.‎ 解:由柯西不等式得(a-b+c)2≤[12+(-1)2+12](a2+b2+c2)=3.‎ 若不等式|x-1|+|x+1|≥(a-b+c)2对一切实数a,b,c恒成立,‎ 则|x-1|+|x+1|≥3.‎ 即实数x的取值范围为∪.‎ ‎ 已知a,b为正数,求证:+≥.‎ 证明:因为a>0,b>0,‎ 所以由柯西不等式,‎ 得(a+b) ‎=[()2+()2]· ‎≥=9,当且仅当a=b时取等号,所以+≥.‎ 柯西不等式的证明 ‎[典例引领]‎ ‎ 若a,b,c,d都是实数,求证:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.‎ ‎【证明】 因为(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2‎ ‎=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-b2d2-2acbd ‎=a2d2+b2c2-2adbc=(ad-bc)2≥0,‎ 当且仅当ad=bc时,等号成立.‎ 即(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2≥0,‎ 所以(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,‎ 当且仅当ad=bc时,等号成立.‎ 设α,β是两个向量,求证|α·β|≤|α||β|,当且仅当β为零向量或存在实数k,使α=kβ 时等号成立.‎ 证明:如图,设在平面直角坐标系xOy中有向量α=(a,b),β=(c,d),α与β之间的夹角为θ,0≤θ≤π.‎ 根据向量数量积(内积)的定义,有α·β=|α||β|cos θ,‎ 所以|α·β|=|α||β||cos θ|.‎ 因为|cos θ|≤1,所以|α·β|≤|α||β|.‎ 如果向量α和β中有零向量,则ad-bc=0,不等式取等号.如果向量α和β都不是零向量,则当且仅当|cos θ|=1,即向量α和β共线时,不等式取等号.‎ 柯西不等式的证明可利用已学过的比较法,也可利用向量法,柯西三角不等式还可利用几何法证明.‎ 如下:设x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,则 +≥ .‎ 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).‎ 由|CA|+|CB|≥|BA|与两点间的距离公式得+≥.‎ 当且仅当点C位于线段BA上时取等号.  ‎ ‎ 若a,b,c∈R+,且++=1,求证:a+2b+3c≥9.‎ 证明:因++=1,‎ 又a,b,c∈R+,‎ 故由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)·≥=9.‎ 利用柯西不等式求最值 ‎[典例引领]‎ ‎ 已知正实数u,v,w满足u2+v2+w2=8,求++的最小值.‎ ‎【解】 因为u2+v2+w2=8.‎ 所以82=(u2+v2+w2)2= ‎≤(9+16+25),‎ 所以++≥=.‎ 当且仅当÷3=÷4=÷5,即u=,v=,w=2时取到“=”,所以当u=,v=,w=2时++的最小值为.‎ 利用柯西不等式求最值的一般结构为:(a+a+…+a)≥(1+1+…+1)2=n2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.设x,y,z∈R,2x-y-2z=6,试求x2+y2+z2的最小值.‎ 解:考虑以下两组向量 u=(2,-1,-2),v=(x,y,z),‎ 根据柯西不等式(u·v)2≤|u|2·|v|2,‎ 得[2x+(-1)y+(-2)z]2≤[22+(-1)2+(-2)2](x2+y2+z2),‎ 即(2x-y-2z)2≤9(x2+y2+z2),‎ 将2x-y-2z=6代入其中,得36≤9(x2+y2+z2),‎ 即x2+y2+z2≥4,‎ 故x2+y2+z2的最小值为4.‎ ‎2.设x,y,z∈R,x2+y2+z2=25,试求x-2y+2z的最大值与最小值.‎ 解:根据柯西不等式,有(1·x-2·y+2·z)2≤[12+(-2)2+22](x2+y2+z2),‎ 即(x-2y+2z)2≤9×25,‎ 所以-15≤x-2y+2z≤15,‎ 故x-2y+2z的最大值为15,最小值为-15.‎ 函数与柯西不等式的综合问题 ‎[典例引领]‎ ‎ (2018·贵州省适应性考试)已知函数f(x)=|x-1|+|x-5|,g(x)=.‎ ‎(1)求f(x)的最小值;‎ ‎(2)记f(x)的最小值为m,已知实数a,b满足a2+b2=6,求证:g(a)+g(b)≤m.‎ ‎【解】 (1)因为f(x)=|x-1|+|x-5|,‎ 所以f(x)=|x-1|+|x-5|= 所以f(x)min=4.‎ ‎(2)证明:由(1)知m=4.由柯西不等式得 ‎[1×g(a)+1×g(b)]2≤(12+12)[g2(a)+g2(b)],‎ 即[g(a)+g(b)]2≤2(a2+b2+2),‎ 又g(x)=>0,a2+b2=6,‎ 所以g(a)+g(b)≤4(当且仅当a=b=时取等号).‎ 即g(a)+g(b)≤m.‎ 求解函数与柯西不等式综合问题的步骤 ‎(1)利用求函数最值的方法求出其最值M(或m).‎ ‎(2)根据M(或m)构造的条件,将要求的不等式转化成柯西不等式的特点,利用柯西不等式求其解.  ‎ ‎ (2018·湖南省湘中名校高三联考)已知关于x的不等式|x+a|>…>,‎ 且b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c1≤2,c2≤3,…,cn-1≤n.‎ 利用排序不等式,有 ++…+≥++…+≥++…+.‎ 故原不等式成立.‎ ‎2.已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.‎ ‎(1)求a+b+c的值;‎ ‎(2)求a2+b2+c2的最小值.‎ 解:(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,‎ 当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.‎ 又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,‎ 所以f(x)的最小值为a+b+c.‎ 又已知f(x)的最小值为4,‎ 所以a+b+c=4.‎ ‎(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得 (4+9+1)≥‎ ‎(×2+×3+c×1)2=(a+b+c)2=16,‎ 即a2+b2+c2≥.‎ 当且仅当==,‎ 即a=,b=,c=时等号成立.‎ 故a2+b2+c2的最小值为.‎ ‎3.(2018·成都市第二次诊断性检测)已知函数f(x)=4-|x|-|x-3|.‎ ‎(1)求不等式f≥0的解集;‎ ‎(2)若p,q,r为正实数,且++=4,求3p+2q+r的最小值.‎ 解:(1)由f=4--≥0,‎ 得+≤4.‎ 当x<-时,-x--x+≤4,解得x≥-2,所以-2≤x<-;‎ 当-≤x≤时,x+-x+≤4恒成立,‎ 所以-≤x≤;‎ 当x>时,x++x-≤4,‎ 解得x≤2,所以