【数学】2019届高考一轮复习北师大版理14-3柯西不等式与排序不等式学案 9页

第3讲　柯西不等式与排序不等式 ‎1．二维形式的柯西不等式 ‎(1)定理1(二维形式的柯西不等式)‎ 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．‎ ‎(2)(二维变式)·≥|ac＋bd|，·≥|ac|＋|bd|．‎ ‎(3)定理2(柯西不等式的向量形式)‎ 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．‎ ‎(4)定理3(二维形式的三角不等式)‎ 设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥．‎ ‎(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则＋≥．‎ ‎2．柯西不等式的一般形式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．‎ ‎3．排序不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有：a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．‎ 排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．‎ ‎ 若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．‎ 解：因为6＝x＋2y＋3z≤·，‎ 所以x2＋y2＋z2≥，‎ 当且仅当x＝＝即x＝，y＝，z＝时，x2＋y2＋z2有最小值.‎ ‎ 设a1，a2，b1，b2为实数，求证：＋≥.‎ 证明：(＋)2‎ ‎＝a＋a＋2＋b＋b ‎≥a＋a＋2|a1b1＋a2b2|＋b＋b ‎≥a＋a－2(a1b1＋a2b2)＋b＋b ‎＝(a－2a1b1＋b)＋(a－2a2b2＋b)‎ ‎＝(a1－b1)2＋(a2－b2)2，‎ 所以＋≥ .‎ ‎ 已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1.若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．‎ 解：由柯西不等式得(a－b＋c)2≤[12＋(－1)2＋12](a2＋b2＋c2)＝3.‎ 若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，‎ 则|x－1|＋|x＋1|≥3.‎ 即实数x的取值范围为∪.‎ ‎ 已知a，b为正数，求证：＋≥.‎ 证明：因为a>0，b>0，‎ 所以由柯西不等式，‎ 得(a＋b) ‎＝[()2＋()2]· ‎≥＝9，当且仅当a＝b时取等号，所以＋≥.‎ 柯西不等式的证明 ‎[典例引领]‎ ‎ 若a，b，c，d都是实数，求证：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．‎ ‎【证明】　因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2‎ ‎＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－b2d2－2acbd ‎＝a2d2＋b2c2－2adbc＝(ad－bc)2≥0，‎ 当且仅当ad＝bc时，等号成立．‎ 即(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2≥0，‎ 所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，‎ 当且仅当ad＝bc时，等号成立．‎ 设α，β是两个向量，求证|α·β|≤|α||β|，当且仅当β为零向量或存在实数k，使α＝kβ 时等号成立．‎ 证明：如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量α＝(a，b)，β＝(c，d)，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.‎ 根据向量数量积(内积)的定义，有α·β＝|α||β|cos θ，‎ 所以|α·β|＝|α||β||cos θ|.‎ 因为|cos θ|≤1，所以|α·β|≤|α||β|.‎ 如果向量α和β中有零向量，则ad－bc＝0，不等式取等号．如果向量α和β都不是零向量，则当且仅当|cos θ|＝1，即向量α和β共线时，不等式取等号．‎ 柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明．‎ 如下：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则 ＋≥ .‎ 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．‎ 由|CA|＋|CB|≥|BA|与两点间的距离公式得＋≥.‎ 当且仅当点C位于线段BA上时取等号．　 ‎ ‎ 若a，b，c∈R＋，且＋＋＝1，求证：a＋2b＋3c≥9.‎ 证明：因＋＋＝1，‎ 又a，b，c∈R＋，‎ 故由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)·≥＝9.‎ 利用柯西不等式求最值 ‎[典例引领]‎ ‎ 已知正实数u，v，w满足u2＋v2＋w2＝8，求＋＋的最小值．‎ ‎【解】　因为u2＋v2＋w2＝8.‎ 所以82＝(u2＋v2＋w2)2＝ ‎≤(9＋16＋25)，‎ 所以＋＋≥＝.‎ 当且仅当÷3＝÷4＝÷5，即u＝，v＝，w＝2时取到“＝”，所以当u＝，v＝，w＝2时＋＋的最小值为.‎ 利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a＋a＋…＋a)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．设x，y，z∈R，2x－y－2z＝6，试求x2＋y2＋z2的最小值．‎ 解：考虑以下两组向量 u＝(2，－1，－2)，v＝(x，y，z)，‎ 根据柯西不等式(u·v)2≤|u|2·|v|2，‎ 得[2x＋(－1)y＋(－2)z]2≤[22＋(－1)2＋(－2)2](x2＋y2＋z2)，‎ 即(2x－y－2z)2≤9(x2＋y2＋z2)，‎ 将2x－y－2z＝6代入其中，得36≤9(x2＋y2＋z2)，‎ 即x2＋y2＋z2≥4，‎ 故x2＋y2＋z2的最小值为4.‎ ‎2．设x，y，z∈R，x2＋y2＋z2＝25，试求x－2y＋2z的最大值与最小值．‎ 解：根据柯西不等式，有(1·x－2·y＋2·z)2≤[12＋(－2)2＋22](x2＋y2＋z2)，‎ 即(x－2y＋2z)2≤9×25，‎ 所以－15≤x－2y＋2z≤15，‎ 故x－2y＋2z的最大值为15，最小值为－15.‎ 函数与柯西不等式的综合问题 ‎[典例引领]‎ ‎ (2018·贵州省适应性考试)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－5|，g(x)＝.‎ ‎(1)求f(x)的最小值；‎ ‎(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b满足a2＋b2＝6，求证：g(a)＋g(b)≤m.‎ ‎【解】　(1)因为f(x)＝|x－1|＋|x－5|，‎ 所以f(x)＝|x－1|＋|x－5|＝ 所以f(x)min＝4.‎ ‎(2)证明：由(1)知m＝4.由柯西不等式得 ‎[1×g(a)＋1×g(b)]2≤(12＋12)[g2(a)＋g2(b)]，‎ 即[g(a)＋g(b)]2≤2(a2＋b2＋2)，‎ 又g(x)＝>0，a2＋b2＝6，‎ 所以g(a)＋g(b)≤4(当且仅当a＝b＝时取等号)．‎ 即g(a)＋g(b)≤m.‎ 求解函数与柯西不等式综合问题的步骤 ‎(1)利用求函数最值的方法求出其最值M(或m)．‎ ‎(2)根据M(或m)构造的条件，将要求的不等式转化成柯西不等式的特点，利用柯西不等式求其解．　 ‎ ‎ (2018·湖南省湘中名校高三联考)已知关于x的不等式|x＋a|>…>，‎ 且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.‎ 利用排序不等式，有 ＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋.‎ 故原不等式成立．‎ ‎2．已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.‎ ‎(1)求a＋b＋c的值；‎ ‎(2)求a2＋b2＋c2的最小值．‎ 解：(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，‎ 当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．‎ 又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，‎ 所以f(x)的最小值为a＋b＋c.‎ 又已知f(x)的最小值为4，‎ 所以a＋b＋c＝4.‎ ‎(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得 (4＋9＋1)≥‎ ‎(×2＋×3＋c×1)2＝(a＋b＋c)2＝16，‎ 即a2＋b2＋c2≥.‎ 当且仅当＝＝，‎ 即a＝，b＝，c＝时等号成立．‎ 故a2＋b2＋c2的最小值为.‎ ‎3．(2018·成都市第二次诊断性检测)已知函数f(x)＝4－|x|－|x－3|.‎ ‎(1)求不等式f≥0的解集；‎ ‎(2)若p，q，r为正实数，且＋＋＝4，求3p＋2q＋r的最小值．‎ 解：(1)由f＝4－－≥0，‎ 得＋≤4.‎ 当x<－时，－x－－x＋≤4，解得x≥－2，所以－2≤x<－；‎ 当－≤x≤时，x＋－x＋≤4恒成立，‎ 所以－≤x≤；‎ 当x>时，x＋＋x－≤4，‎ 解得x≤2，所以