【数学】2018届一轮复习北师大版第三章三角函数解三角形第四节三角函数的图象与性质教案 9页

第四节　三角函数的图象与性质 ☆☆☆2017 考纲考题考情☆☆☆ 考纲要求 真题举例 命题角度 1.能画出 y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx 的图象， 了解三角函数的周期性； 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的 性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的 交点等)，理解正切函数在区间(－ π 2 ， π 2 )内的 单调性。 2016，天津卷，15,13 分(三角函数的周期 性、单调性) 2016，山东卷，7,5 分(三角函数的周期性) 2016，浙江卷，3,5 分(三角函数的图象) 2015，全国卷Ⅰ，8,5 分(三角函数的图象 与单调性) 以考查基本三角函数的图象和性 质为主，是高考的重点内容，题目 涉及三角函数的图象、单调性、周 期性、最值、零点、对称性。 微知识　小题练 自|主|排|查 1．“五点法”作图原理 在确定正弦函数 y＝sinx 在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、 (π 2 ，1)、(π，0)、(3 2π，－1)、(2π，0)。 2．三角函数的图象和性质 　函数 性质　 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 R R {x|x≠kπ＋ π 2 (k∈Z)} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x＝kπ＋ π 2 (k∈Z)； 对称中心： (kπ，0)(k∈Z) 对称轴： x＝kπ(k∈Z)； 对称中心： (kπ＋ π 2 ，0)(k∈Z) 对称中心： (kπ 2 ，0)(k∈Z) 周期 2π 2π π 单调性 单调增区间 2kπ－ π 2 ，2kπ＋ π 2 (k∈Z)； 单调减区间 2kπ＋ π 2 ，2kπ＋ 3π 2 (k∈Z) 单调增区间 [2kπ－π，2kπ](k∈Z)； 单调减区间 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 单调增区间 (kπ－ π 2 ，kπ＋ π 2 ) (k∈Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 微点提醒 1．判断函数周期不能以特殊代一般，只有 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝ f(x)，T 才是函数 f(x)的一个周期。 2．求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意 ω 的符号，只有当 ω>0 时，才能把 (ωx＋φ)看作一个整体，代入 y＝sint 的相应单调区间求解。 3．函数 y＝sinx 与 y＝cosx 的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于 y 轴 的直线，如 y＝cosx 的对称轴为 x＝kπ(k∈Z)，而不是 x＝2kπ(k∈Z)。 4．对于 y＝tanx 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(kπ－ π 2 ，kπ＋ π 2 ) (k∈Z)内为增函数。 小|题|快|练 一 、走进教材 1．(必修 4P46A 组 T2,3 改编)若函数 y＝2sin2x－1 的最小正周期为 T，最大值为 A，则(　　) A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1 C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2 【解析】　最小正周期 T＝ 2π 2 ＝π，最大值 A＝2－1＝1。故选 A。 【答案】　A 2．(必修 4P40 练习 T4 改编)下列关于函数 y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正 确的是(　　) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在[－ π 2 ， π 2 ]上是增函数，在[－π，－ π 2 ]及[π 2 ，π]上是减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在[π 2 ，π]及[－π，－ π 2 ]上是增函数，在[－ π 2 ， π 2 ]上是减函数 【解析】　函数 y＝4sinx 在[－π，－ π 2 ]和[π 2 ，π]上单调递减，在[－ π 2 ， π 2 ]上单调 递增。故选 B。 【答案】　B 二、双基查验 1．下列函数中，最小正周期为 π 的奇函数是(　　) A．y＝cosx B．y＝sin 2x C．y＝tan2x D．y＝sin(2x－ π 2 ) 【解析】　选项 A、D 中的函数均为偶函数，C 中函数的最小正周期为 π 2 。故选 B。 【答案】　B 2．函数 y＝|sin x|的一个单调增区间是(　　) A.(－ π 4 ， π 4 ) B.(π 4 ， 3π 4 ) C.(π， 3π 2 ) D.(3π 2 ，2π) 【解析】　作出函数 y＝|sin x|的图象观察可知，函数 y＝|sin x|在(π， 3π 2 )上递增。 故选 C。 【答案】　C 3．(2016·辽阳模拟)已知函数 f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b 对任意实数 x 有 f(x＋ π 4 )＝ f(－x)成立，且 f(π 8 )＝1，则实数 b 的值为(　　) A．－1 B．3 C．－1 或 3 D．－3 【解析】　由 f(x＋ π 4 )＝f(－x)可知函数 f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b 关于直线 x＝ π 8 对 称，又函数 f(x)在对称轴处取得最值，故±2＋b＝1，所以 b＝－1 或 b＝3。故选 C。 【答案】　C 4．比较大小，sin(－ π 18 )__________sin(－ π 10 )。 【解析】　因为 y＝sin x 在[－ π 2 ，0]上为增函数且－ π 18>－ π 10，故 sin(－ π 18 )>sin (－ π 10 )。 【答案】　> 5．函数 y＝tan (π 2 x－ π 3 )的最小正周期是________，单调增区间是________。 【解析】　T＝ π |ω|＝ π π 2 ＝2，由－ π 2 ＋kπ< π 2 x－ π 3 < π 2 ＋kπ(k∈Z)，得－ 1 3＋2k0)的图象沿 x 轴向左平移 π 8 个单位后，得到一个偶函数的 图象，则 φ 的最小值为(　　) A. 3π 4 B. 3π 8 C. π 4 D. π 8 【解析】　(1)∵y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(4π 3 ，0)对称， 即 3cos(2 × 4π 3 ＋φ)＝0，∴ 8π 3 ＋φ＝ π 2 ＋kπ，k∈Z， ∴φ＝－ 13π 6 ＋kπ，k∈Z，∴当 k＝2 时，|φ|有最小值 π 6 。故选 A。 (2)将函数 y＝sin(2x＋φ)(φ>0)的图象沿 x 轴向左平移 π 8 个单位后，得到一个偶函数 y ＝sin[2(x＋ π 8 )＋φ]＝sin (2x＋ π 4 ＋φ)的图象，则由 π 4 ＋φ＝kπ＋ π 2 ，得 φ＝kπ＋ π 4 (k ∈Z)，所以 φ 的最小值为 π 4 。故选 C。 【答案】　(1)A　(2)C 角度三：三角函数的单调性 【典例 5】　(1)(2016·沈阳质检)函数 y＝ 1 2sinx＋ 3 2 cosx (x ∈ [0， π 2 ])的单调递增 区间是________。 (2)(2015·天津高考)已知函数 f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R。若函数 f(x)在区 间(－ ω，ω)内单调递增，且函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ω 对称，则 ω 的值为 ________。 【解析】　(1)因为 y＝sin(x＋ π 3 )，则由 2kπ－ π 2 ≤x＋ π 3 ≤2kπ＋ π 2 ，k∈Z，即 2kπ－ 5π 6 ≤x≤2kπ＋ π 6 ，k∈Z。当 x∈[0， π 2 ]时，单调递增区间为[0， π 6 ]。 (2)f(x)＝sinωx＋cosωx＝ 2sin(ωx＋ π 4 )，因为函数 f(x)的图象关于直线 x＝ω 对 称，所以 f(ω)＝ 2sin(ω2＋ π 4 )＝± 2，所以 ω2＋ π 4 ＝ π 2 ＋kπ，k∈Z，即 ω2＝ π 4 ＋ kπ，k∈Z。又函数 f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以 ω2＋ π 4 ≤ π 2 ，即 ω2≤ π 4 ，取 k ＝0，得 ω2＝ π 4 ，所以 ω＝ π 2 。 【答案】　(1)[0， π 6 ]　(2) π 2 反思归纳　1.奇偶性的判断方法：由正、余弦函数的奇偶性可判断出 y＝Asinωx 和 y＝ Acosωx 分别为奇函数和偶函数。 2．周期的计算方法：利用函数 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为 2π ω ，函数 y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为 π ω求解。 3．解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心。 4．求三角函数单调区间的两种方法 ①代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角 u(或 t)，利用 基本三角函数的单调性列不等式求解。 ②图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间。