广东省深圳市高级中学2020届高三下学期3月线上模拟考试数学（文）试题 Word版含解析 25页

www.ks5u.com ‎2020年高考数学（3月份）模拟试卷（文科）‎ 一、选择题 ‎1. 不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】对于不等式的解集为，‎ 根据题意，分析选项可得，‎ A中，为其充要条件，不符合题意；‎ 中，当成立不等式成立，反之若有成立，未必有成立，所以为充分不必要条件，不合题意；‎ 中，当不等式不一定成立，如时，‎ 反之若有成立，则必有成立，为必要不充分条件，符合条件；‎ 中，当不等式不一定成立，如时，‎ 反之若有成立，未必有，如，则为既不充分，又不必要条件，不合题意，‎ 故选．‎ ‎2. 若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对，利用分析法证明；对，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对，考虑的情况；对，利用同向不等式的可乘性.‎ - 25 -‎ ‎【详解】对，，因为大小无法确定，故不一定成立；‎ 对，当时，才能成立，故也不一定成立；‎ 对，当时不成立，故也不一定成立；‎ 对，，故一定成立.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.‎ ‎3. 已知复数，为虚数单位，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 的虚部为 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算化简出复数，即可得出虚部，再依次求出模长，共轭复数，平方即可选出选项.‎ ‎【详解】由题：，‎ 所以：，，，的虚部为.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查复数的基本运算和基本概念的辨析，对基础知识考查比较全面，易错点在于虚数单位的平方运算和虚部的辨析.‎ ‎4. 已知角的终边过点，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 由题意利用任意角的三角函数的定义可得，由此得出的值.‎ ‎【详解】解：角的终边过点，即，‎ 又，‎ 角的终边在第三象限，则，‎ ‎，‎ 由，解得．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数定义，属于基础题.‎ ‎5. 已知{}是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设等差数列{}的公差为d，结合题意可得1，，计算可得公差d的值，进而由等差数列的通项公式可得的值，求其倒数可得a10的值．‎ ‎【详解】根据题意，{}是等差数列，设其公差为d，‎ 若a1＝1，a4＝4，有1，，‎ 则3d，即d，‎ 则9d，‎ - 25 -‎ 故a10；‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，注意求出{}的公差．‎ ‎6. 在区间上机取一个实数，则的值在区间上的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据正弦函数在上的单调性，求得函数值为所对应的的值，再根据几何概型的求解方法可得选项.‎ ‎【详解】因为在上，函数 单调递增，且当 时，，当 时， ，‎ 所以所求概率为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的求值和几何概型的问题，属于基础题.‎ ‎7. 已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 由为幂函数，即可得到的值，计算出，且经过的定点，代入中，即可得到的值．‎ ‎【详解】由于为幂函数，则，解得：，‎ 函数，且，当时， ，故 的图像所经过的定点为，‎ 所以，即，解得：,‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数恒过点点的问题，属于基础题．‎ ‎8. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点有( )个 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据倾斜角求出斜率的范围，设出切点坐标，利用导数的函数值即该点的斜率，求出切点的横坐标的范围，即可推出坐标为整数的点的个数.‎ ‎【详解】由于切线的倾斜角小于，所以斜率.‎ 设切点坐标为，则 从而 故选：B ‎【点睛】本题考查直线的斜率、导数的运算，考查计算能力，逻辑思维能力，是个基础题.‎ ‎9. 如图茎叶图表示的是甲.乙两人在5次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲，乙两人在次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（ ）‎ - 25 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图分别求出甲、乙的中位数，平均数，得到模糊成绩的值，利用古典概型求解即可 ‎【详解】由题意可得：甲的成绩为：84、86、91、98、98；中位数为91，平均数为；‎ 乙的成绩为：86，88，90+x，90+y，99 （x≤y）；‎ ‎∵甲，乙中位数相同；‎ ‎∴90+x＝91⇒x＝1； 乙的平均数为；‎ ‎∵乙的平均成绩低于甲；‎ ‎∴1≤y＜3；⇒y＝1或2．‎ ‎∴乙的平均成绩低于甲的概率p；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了茎叶图，以及中位数、平均数的性质及古典概型，考查了学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎10. 设平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据与的夹角为锐角，得到，再由向量的夹角公式将其夹角余弦值表示出来，得到关于的不等式，解出的范围，从而得到答案.‎ - 25 -‎ ‎【详解】因为与的夹角为锐角，‎ 所以，‎ 向量，，‎ 所以，‎ 整理得，，‎ 所以的范围为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查根据向量的夹角求参数的范围，属于简单题.‎ ‎11. 如图，在中，，点D在线段BC上，且，，则的面积的最大值为（ ）‎ A. B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由，根据三角函数的性质求出面积的最大值．‎ ‎【详解】解：设，则．‎ ‎，，，‎ - 25 -‎ ‎，‎ ‎，同理，‎ 其中，‎ ‎，当时，，．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．‎ ‎12. 已知函数，若刚好有两个正整数使得，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把刚好有两个正整数使得转化为两个函数的位置关系问题，利用导数分析函数的单调性，并画出简图，的图象过定点的直线，结合图象得到实数的取值范围.‎ ‎【详解】令 且，‎ 因为刚好有两个正整数使得，即 作出的图象，如图所示，其中过定点，直线斜率为，‎ - 25 -‎ 由图可知，时，‎ 有且仅有两个点满足条件，‎ 即有且仅有使得.‎ 实数的取值范围是，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查函数综合，考查学生的综合分析能力，转化与划归，数学运算能力，属于较难题.‎ 二、填空题 ‎13. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入,时，输出的_______.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可 - 25 -‎ ‎【详解】模拟程序框图的运行过程，如下：‎ ‎，‎ 执行循环体：，不满足退出循环的条件，继续；‎ 执行循环体：，不满足退出循环的条件，继续；‎ 执行循环体：，满足退出循环条件，退出循环，输出的值为18‎ 答案：18‎ ‎【点睛】本题考查程序框图，注意模拟程序框图的运行过程，属于基础题 ‎14. 由直线上的任意一个点向圆引切线，则切线长的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果.‎ ‎【详解】圆心坐标，半径 ‎ 要使切线长最小，则只需要点到圆心的距离最小，‎ 此时最小值为圆心到直线的距离，‎ 此时，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.‎ - 25 -‎ ‎15. 底面为正方形的直四棱柱中，，，点E是的中点则异面直线与所成角的大小为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取BC中点为F，将直线EB平移至，找到夹角，在三角形中求解即可.‎ ‎【详解】根据题意，取BC中点为F，连接，作图如下：‎ 在四边形中，‎ 因为//，且=BF 故该四边形平行四边形，‎ 则//，‎ 故为直线与BE所成角或其补角.‎ 在中，根据题意可知 由余弦定理可得：‎ - 25 -‎ 又异面直线夹角的范围为：‎ 故 即直线与所成角的大小为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，关键的步骤是平移至直线相交，再在三角形中求解角度.‎ ‎16. 已知直线与双曲线一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为_____.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出点的坐标，用两点间距离公式求出，化简整理出的关系式，从而求得离心率．‎ ‎【详解】若渐近线的方程为，则点的坐标为.‎ 因为，所以，则，所以，‎ 从而.‎ 若渐近线的方程为，则点的坐标为，同理可得.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ - 25 -‎ ‎17. 在公差d的等差数列中，，，，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，，成等比数列，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，或，，再由等差数列的通项公式可得所求；‎ ‎（2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求，求得，再由裂项相消求和即可得解．‎ ‎【详解】解：（1）∵，，，且，∴或 当时，；当时，. ‎ ‎（2）∵，，成等比数列，∴‎ 即，化为或，‎ 由（1）可得，，‎ ‎∴，‎ 则，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及分类讨论思想和方程思想，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，‎ - 25 -‎ ‎（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果；‎ ‎（II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果；‎ ‎（III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果.‎ ‎【详解】（I）证明：连接，易知，，‎ 又由，故，‎ - 25 -‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（II）证明：取棱的中点，连接，‎ 依题意，得，‎ 又因为平面平面，平面平面，‎ 所以平面，又平面，故，‎ 又已知，，‎ 所以平面.‎ ‎（III）解：连接，‎ ‎ ‎ 由（II）中平面，‎ 可知为直线与平面所成的角.‎ 因为为等边三角形，且为的中点，‎ 所以，又，‎ - 25 -‎ 在中，，‎ 所以，直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.‎ ‎19. “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目，选手面对1号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金，在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：；（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．‎ ‎（Ⅰ）写出列联表；判断是否有的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（如表的临界值表供参考）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6635‎ ‎7.879‎ ‎（Ⅱ）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中恰好有一人在岁之间的概率．　‎ - 25 -‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据频率分布表写出列联表，代入公式计算即可.‎ ‎（Ⅱ）根据古典概型计算公式求解即可.‎ 试题解析：（Ⅰ）‎ 正误 年龄 正确 错误 合计 ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎70‎ ‎80‎ 合计 ‎20‎ ‎100‎ ‎120‎ 由上表可知，有的把握认为猜对歌曲名称与年龄有关．‎ ‎（Ⅱ）设事件为三名幸运选手中恰好有一人在岁之间，由已知得岁之间的人数为2人，岁之间的人数为4人，从6人中取3人的结果有20种，事件的结果是种，故3名幸运选手中恰好一人在岁之间的概率是．‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ - 25 -‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎20. 已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据动圆P与圆M外切并且与圆N内切，得到，，从而得到，得到，从而求出椭圆的标准方程；（2）直线l斜率存在时，设，代入椭圆方程，得到，，表示出直线QA与直线QB的斜率，根据，得到，的关系，得到直线所过的定点，再验证直线l斜率不存在时，也过该定点，从而证明直线过定点.‎ ‎【详解】（1）设动圆P的半径为r，‎ 因为动圆P与圆M外切，所以，‎ 因为动圆P与圆N内切，所以，‎ 则，‎ 由椭圆定义可知，曲线C是以为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，‎ 设椭圆方程为，‎ 则，，故，‎ 所以曲线C的方程为.‎ ‎（2）①当直线l斜率存在时，设直线，，‎ - 25 -‎ 联立，‎ 得，‎ 设点，则，‎ ‎，‎ 所以，‎ 即，‎ 得.‎ 则，‎ 因为，所以.‎ 即，‎ 直线，‎ 所以直线l过定点.‎ ‎②当直线l斜率不存在时，设直线，且，‎ 则点 - 25 -‎ ‎，‎ 解得，‎ 所以直线也过定点.‎ 综上所述，直线l过定点.‎ ‎【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中直线过定点问题，属于中档题.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，判断函数的单调性；‎ ‎（2）当时，有两个极值点，‎ ‎①求的取值范围：‎ ‎②若的极大值小于整数，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）在，单调递减；（2）①；②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，即可得到函数的单调性；‎ ‎（2）①依题意，有两个负根，令，利用导数研究的单调性，即可得到，解得即可.‎ ‎②由①可知：，，∴，使得，则，即为的极大值点，求出极大值的取值范围，即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）由题意，，当时，，‎ - 25 -‎ ‎，∴在，单调递减；‎ ‎（2）①当时，，有两个负根，‎ 令，，‎ ‎∴，，，，‎ 即在单调递减，在单调递增，‎ ‎，，且，∴有两个负根只需，‎ ‎②由①可知：，，∴，使得，则，即，‎ 且在，，，单增，‎ 在，，，单减，‎ ‎∴为的极大值点，‎ ‎，，‎ ‎，∴单增，∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，零点及极值，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎[选修4--4：坐标系与参数方程]‎ ‎22. 在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（‎ - 25 -‎ 为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角.‎ ‎【答案】（1） ； （2） 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平方关系消参数得直线的普通方程，根据得曲线的直角坐标方程（2）利用直线参数方程几何意义求解.‎ ‎【详解】（1）因为直线的参数方程为（为参数），‎ 当时，直线的直角坐标方程为． ‎ 当时，直线的直角坐标方程为． ‎ 因为， ‎ 因为，所以．‎ 所以的直角坐标方程为． ‎ ‎（2）解法1：曲线的直角坐标方程为，‎ 将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得．‎ 因为，可设该方程的两个根为，，‎ 则 ，．‎ 所以 ． ‎ 整理得，‎ - 25 -‎ 故．‎ 因为，所以或，‎ 解得或 综上所述，直线倾斜角为或． ‎ 解法2：直线与圆交于，两点，且，‎ 故圆心到直线的距离． ‎ ‎①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意． ‎ ‎②当时，直线的方程为．‎ 所以，整理得．‎ 解得．‎ 综上所述，直线的倾斜角为或．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23. 已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0].‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围 试题解析：（1）当a＝－3时，f（x）＝‎ - 25 -‎ 当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；‎ 当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；‎ 当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.‎ 所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分 ‎（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.‎ 当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| （4－x）－（2－x）≥|x＋a|‎ ‎－2－a≤x≤2－a，‎ 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，‎ 故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．‎ 考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数 - 25 -‎ - 25 -‎