【数学】2018届一轮复习苏教版4-3三角函数的图象与性质教案（江苏专用） 15页

‎4.3 三角函数的图象与性质 ‎1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0).‎ 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1).‎ ‎2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ‎{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}‎ 值域 ‎[－1，1]‎ ‎[－1，1]‎ R 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增；‎ 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；‎ 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；‎ 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；‎ 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1‎ ‎＝－1‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 ‎(kπ，0)(k∈Z)‎ ‎(＋kπ，0) (k∈Z)‎ ‎(，0)(k∈Z)‎ 对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z)‎ x＝kπ(k∈Z)‎ 周期 ‎2π ‎2π π ‎【知识拓展】‎ ‎1.对称与周期 ‎(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.‎ ‎(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.‎ ‎2.奇偶性 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 ‎(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；‎ ‎(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数.(　×　)‎ ‎(2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期.(　√　)‎ ‎(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　×　)‎ ‎(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)‎ ‎(5)y＝sin |x|是偶函数.(　√　)‎ ‎(6)若sin x>，则x>.(　×　)‎ ‎1.函数f(x)＝cos(2x－)的最小正周期是________.‎ 答案　π 解析　最小正周期为T＝＝＝π.‎ ‎2.(教材改编)函数y＝－tan x的单调递减区间是________________.‎ 答案　(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)‎ 解析　因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，‎ 所以y＝－tan x的单调递减区间为(－＋kπ，＋kπ) (k∈Z).‎ ‎3.(教材改编)sin 11°，cos 10°，sin 168°的大小关系为________________.‎ 答案　sin 11°＜sin 168°＜cos 10°‎ 解析　sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，‎ cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，‎ 又y＝sin x在[0°，90°]上是增函数，‎ ‎∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，‎ 即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.‎ ‎4.(教材改编)y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝的交点个数为________.‎ 答案　2‎ 解析　在同一坐标系中作出函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]和y＝的图象(图略)，由图象可得有两个交点.‎ ‎5.(教材改编)下列满足函数y＝tan 的条件是________.(填序号)‎ ‎①在(0，)上单调递增；‎ ‎②为奇函数；‎ ‎③以π为最小正周期；‎ ‎④定义域为{x|x≠＋，k∈Z}.‎ 答案　①②‎ 解析　①令00，k∈Z，得k＝0，所以ω∈[，].‎ 引申探究 本例(2)中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos(ωx＋)在(，π)上单调递增，则ω的取值范围是____________.‎ 答案　[，]‎ 解析　函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，‎ 则 解得 4k－≤ω≤2k－，k∈Z，‎ 又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z，‎ 得k＝1，所以ω∈.‎ 思维升华　(1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.‎ ‎(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.‎ ‎　(1)函数f(x)＝sin的单调减区间为________.‎ ‎(2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝________.‎ 答案　(1)，k∈Z　(2) 解析　(1)由已知函数得y＝－sin，‎ 欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故所给函数的单调减区间为(k∈Z).‎ ‎(2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，‎ ‎∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，‎ y＝sin ωx是增函数；‎ 当≤ωx≤，即≤x≤时，‎ y＝sin ωx是减函数.‎ 由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，‎ 在上单调递减，知＝，∴ω＝.‎ 题型三　三角函数的周期性、对称性 命题点1　周期性 例3　(1)(2016·南通模拟)函数y＝sin 2x＋cos2x－的最小正周期为________.‎ ‎(2)若函数f(x)＝2tan(kx＋)的最小正周期T满足10且|φ|<)在区间[，]上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f()＝________.‎ 答案　 解析　由题意得函数f(x)的周期T＝2(－)＝π，所以ω＝2，此时f(x)＝sin(2x＋φ)，将点(，1)代入上式得sin(＋φ)＝1 (|φ|<)，所以φ＝，‎ 所以f(x)＝sin(2x＋)，‎ 于是f()＝sin(＋)＝cos ＝.‎ ‎2.函数y＝的定义域为______________.‎ 答案　[2kπ＋，2kπ＋π]，k∈Z 解析　由2sin x－1≥0，得sin x≥，‎ ‎∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.‎ ‎3.关于函数y＝tan(2x－)，下列说法正确的是________.‎ ‎①是奇函数；‎ ‎②在区间(0，)上单调递减；‎ ‎③(，0)为其图象的一个对称中心；‎ ‎④最小正周期为π.‎ 答案　③‎ 解析　函数y＝tan(2x－)是非奇非偶函数，①错误；在区间(0，)上单调递增，②错误；最小正周期为，④错误.‎ ‎∵当x＝时，tan(2×－)＝0，‎ ‎∴(，0)为其图象的一个对称中心.‎ ‎4.若函数f(x)＝－cos 2x，则f(x)的一个递增区间为________.‎ ‎①(－，0) ②(0，)‎ ‎③(，) ④(，π)‎ 答案　②‎ 解析　由f(x)＝－cos 2x知递增区间为[kπ，kπ＋]，k∈Z，故只有②满足.‎ ‎5.已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f()＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是________.‎ ‎①[－，] ②[，]‎ ‎③[－，] ④[，]‎ 答案　③‎ 解析　由f()＝－2，得 f()＝－2sin(2×＋φ)＝－2sin(＋φ)＝－2，‎ 所以sin(＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 当k＝0时，－≤x≤.‎ ‎6.(2016·南京模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为________.‎ 答案　 解析　由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，∴ω＝k＋，∴ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.‎ ‎7.函数y＝sin x的图象和y＝的图象交点的个数是________.‎ 答案　3‎ 解析　在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示：‎ 由图可知交点个数是3.‎ ‎8.函数y＝cos2x＋sin x(|x|≤)的最小值为________________________________________.‎ 答案　 解析　令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈.‎ ‎∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，‎ ‎∴当t＝－时，ymin＝.‎ ‎9.函数y＝cos(－2x)的单调减区间为______________.‎ 答案　[kπ＋，kπ＋](k∈Z)‎ 解析　由y＝cos(－2x)＝cos(2x－)，‎ 得2kπ≤2x－≤2kπ＋π (k∈Z)，‎ 解得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，‎ 所以函数的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z).‎ ‎10.用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：‎ ‎(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间.‎ ‎①y＞1；②y＜1.‎ ‎(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]有两个交点，求a的取值范围.‎ 解　列表如下：‎ x ‎－π ‎－ ‎0‎ π sin x ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1－2sin x ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎－1‎ ‎1‎ 描点连线得：‎ ‎(1)由图象可知图象在y＝1上方部分时y＞1，在y＝1下方部分时y＜1，‎ 所以①当x∈(－π，0)时，y＞1；②当x∈(0，π)时，y＜1.‎ ‎(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，‎ 所以a的取值范围是{a|1＜a＜3或－1＜a＜1}.‎ ‎11.设函数f(x)＝sin(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.‎ ‎(1)求φ；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间.‎ 解　(1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ 得φ＝kπ＋，k∈Z，又－π<φ<0，则φ＝－.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 因此y＝f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z.‎ ‎12.(2015·北京)已知函数f(x)＝sin x－2sin2.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最小值.‎ 解　(1)因为f(x)＝sin x＋cos x－ ‎＝2sin－，‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.‎ 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值.‎ 所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.‎ ‎13.已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a，b的值；‎ ‎(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间.‎ 解　(1)∵x∈，∴2x＋∈，‎ ‎∴sin∈，‎ ‎∴－2asin∈[－2a，a]，‎ ‎∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，‎ ‎∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝－4sin－1，‎ g(x)＝f＝－4sin－1‎ ‎＝4sin－1，‎ 又由lg g(x)>0，得g(x)>1，‎ ‎∴4sin－1>1，∴sin>，‎ ‎∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，‎ 其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，‎ g(x)单调递增，即kπ