2020年高中数学新教材同步必修第二册 第十章 章末复习 7页

章末复习 一、互斥事件、对立事件与相互独立事件 1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要 求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对 立事件是互斥事件的特殊情况. 2.掌握互斥事件和对立事件的概率公式及应用，提升逻辑推理和数学运算素养. 例 1 (1)袋内有 3个白球和 2个黑球，从中有放回地摸球，用 A表示“第一次摸到白球”， 如果“第二次摸到白球”记为 B，否则记为 C，那么事件 A与 B，A与 C间的关系是( ) A.A与 B，A与 C均相互独立 B.A与 B相互独立，A与 C互斥 C.A与 B，A与 C均互斥 D.A与 B互斥，A与 C相互独立 (2)从 1,2,3，…，7这 7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中，是对立事件的是( ) A.① B.②④ C.③ D.①③ 答案 (1)A (2)C 解析 (1)有放回地摸球，第一次摸球与第二次摸球之间没有影响.(2)③中“至少有一个是奇 数”，即“两个奇数或一奇一偶”，而从 1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为 共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是 奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件. 反思感悟 事件间的关系的判断方法 (1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果， 从而断定所给事件间的关系. (2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个 事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为 对立事件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试 验而言的，不能在多次试验中判断. (3)判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看 P(AB)与 P(A)·P(B)是否相等， 若相等，则 A，B相互独立，否则不相互独立. 跟踪训练 1 (1)在 5张电话卡中，有 3张移动卡和 2张联通卡，从中任取 2张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是 3 10 ，那么概率是 7 10 的事件是( ) A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡 (2)下列事件 A，B是相互独立事件的是( ) A.一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面” B.袋中有 2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”， B表示“第二次摸到白球” C.掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为偶数” D.有一个灯泡，A表示“灯泡能用 1 000小时”，B表示“灯泡能用 2 000小时” 答案 (1)A (2)A 解析 (1)“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡” 两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，其概率为 1－ 3 10 ＝ 7 10 . (2)B选项由于是不放回摸球，故事件 A与 B不相互独立，C 选项中 A与 B为对立事件，D 选项中事件 B受事件 A影响，故选 A. 二、古典概型 1.古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典 概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式 P(A)＝m n 时，关键在于正确理解试 验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数 n和事件 A的样本点个数 m. 2.掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养. 例 2 袋中装有除颜色外其他均相同的 6个球，其中 4个白球、2个红球，从袋中任取两球， 求下列事件的概率. (1)A：取出的两球都是白球； (2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球. 解 设 4个白球的编号为 1,2,3,4,2个红球的编号为 5,6.从袋中的 6个球中任取 2个球，样本 空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)， (4,6)，(5,6)}，共 15个样本点，且每个样本点出现的可能性相同. (1)“从袋中的 6个球中任取 2球，所取的 2球全是白球”为事件 A，则 A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有 6个样本点.所以 P(A)＝ 6 15 ＝ 2 5 . (2)“从袋中的 6个球中任取 2球，其中一个是白球，另一个是红球”为事件 B，则 B＝{(1,5)， (1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共含有 8个样本点，所以 P(B)＝ 8 15 . 反思感悟 在古典概型中，计算概率的关键是准确找到样本点的数目，这就需要我们能够熟 练运用图表和树状图，把样本点一一列出.而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于 我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目. 跟踪训练 2 某中学调查了某班全部 45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下 表：(单位：人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1)从该班随机选 1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2，A3，A4，A5,3 名女同学 B1，B2，B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1被选中且 B1 未被选中的概率. 解 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30人， 故至少参加上述一个社团的共有 45－30＝15(人)， 所以从该班随机选 1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P＝15 45 ＝ 1 3 . (2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝ {A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，A5B1，A5B2， A5B3}，共含 15个样本点. 根据题意这些样本点出现的可能性相等.事件“A1被选中且 B1未被选中”所包含的样本点有 A1B2，A1B3，共 2个. 所以其概率为 P＝ 2 15 . 三、相互独立事件概率的计算 1.相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特 征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是 相互独立)，再选择相应的公式计算求解. 2.掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养. 例 3 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被 淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 4 5 ， 3 5 ， 2 5 ，且各轮问题能否正 确回答互不影响. (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第二轮考核的概率. 解 记“该选手正确回答第 i轮问题”为事件 Ai(i＝1,2,3)，则 P(A1)＝ 4 5 ，P(A2)＝ 3 5 ，P(A3)＝ 2 5 . (1)该选手进入第三轮才被淘汰的概率为 P(A1A2 A3 )＝P(A1)P(A2)P( A3 )＝4 5 × 3 5 × 1－2 5 ＝ 36 125 . (2)该选手至多进入第二轮考核的概率为 P( A1 ＋A1 A2 )＝P( A1 )＋P(A1)P( A2 )＝ 1－4 5 ＋ 4 5 × 1－3 5 ＝ 13 25 . 反思感悟 解此类题的步骤如下 (1)标记事件. (2)判断事件的独立性. (3)分清所涉及的事件及事件状态(互斥还是对立). (4)套用公式. 跟踪训练 3 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内， 甲、乙都需要照顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都需要照顾的概 率为 0.125. (1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率； (2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率. 解 记甲、乙、丙三台机器在某一小时内需要照顾分别为事件 A，B，C，则 A，B，C两两 相互独立. (1)由题意得 P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05， P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1， P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125， ∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5， ∴甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率分别为 0.2,0.25,0.5. (2)∵A，B，C两两相互独立， ∴ A ，B ， C 两两相互独立， ∴甲、乙、丙每台机器在一个小时内都不需要照顾的概率为 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C )＝0.8×0.75×0.5＝0.3， ∴这一小时内至少有一台需要照顾的概率为 P＝1－P( A B C )＝1－0.3＝0.7. 1.从装有 2个红球和 2个黑球的口袋中任取 2个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“都是红球” C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 答案 D 解析 A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两 个事件都包含“一个黑球，一个红球”这一事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而 不对立的关系. 2.甲、乙两人下棋，和棋的概率是 1 2 ，乙获胜的概率是 1 3 ，则下列说法正确的是( ) A.甲获胜的概率是 1 6 B.甲不输的概率是 1 2 C.乙输了的概率是 2 3 D.乙不输的概率是 1 2 答案 A 解析 “甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是 P＝1－1 2 － 1 3 ＝ 1 6 ，故 A正确；“乙输了”等于“甲获胜”，其概率为 1 6 ，故 C不正确；设事件 A为“甲 不输”，则 A是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以 P(A)＝1 6 ＋ 1 2 ＝ 2 3 (或设 事件 A为“甲不输”，则 A是“乙获胜”的对立事件，所以 P(A)＝1－1 3 ＝ 2 3 )，故 B不正确； 同理，“乙不输”的概率为 5 6 ，故 D不正确. 3.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克 水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克 的概率为( ) A. 3 10 B.2 5 C.1 2 D.3 5 答案 C 解析 从五种不同属性的物质中随机抽取两种，出现的情况有(金，木)，(金，水)，(金，火)， (金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)(水，土)，(火，土)，共 10种等可能情 况，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有 5种，则不相克的也有 5 种，所以抽取的两种物质不相克的概率为 1 2 . 4.某校高二(1)班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是 3 4 和 4 5 ，现甲、乙各投篮 一次，恰有一人投进球的概率是( ) A. 1 20 B. 3 20 C.1 5 D. 7 20 答案 D 解析 有甲进球乙不进球，甲不进球乙进球两种情况，故所求概率 P＝3 4 × 1－4 5 ＋ 1－3 4 × 4 5 ＝ 7 20 . 5.在一个不透明的箱子里装有 5个完全相同的小球，球上分别标有数字 1,2,3,4,5，甲先从箱 子中摸出一个小球，记下球上数字后，再将该小球放回箱子中摇匀，然后乙从该箱子中摸出 一个小球. (1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率； (2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于 6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？ 解 用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的样本点， 则样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)， (3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共 25个. (1)设甲获胜的事件为 A，则事件 A包含的样本点有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共 10个. 则 P(A)＝10 25 ＝ 2 5 . (2)设甲获胜的事件为 B，乙获胜的事件为 C.事件 B所包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共 10个. 则 P(B)＝10 25 ＝ 2 5 ，所以 P(C)＝1－P(B)＝3 5 . 因为 P(B)≠P(C)，所以这样规定不公平.