【数学】2019届一轮复习北师大版数　列学案(1) 12页

第12练　数　列 ‎[明考情]‎ 数列在高考中以“一大一小”的形式考查.“一小”考查频率较高，难度为中档.‎ ‎[知考向]‎ ‎1.等差数列与等比数列.‎ ‎2.数列的通项与求和.‎ ‎3.等差、等比数列的综合应用.‎ 考点一　等差数列与等比数列 要点重组　(1)在等差数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.‎ ‎(2)若{an}是等差数列，则也是等差数列.‎ ‎(3)在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列.‎ ‎(4)在等比数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.‎ ‎(5)在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外).‎ ‎1.(2017·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A.1B.2C.4D.8‎ 答案　C 解析　设{an}的公差为d，‎ 由得 解得d＝4.故选C.‎ ‎2.已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝，若b10b11＝2，则a21等于(　　)‎ A.29B.210C.211D.212‎ 答案　C 解析　由bn＝，且a1＝2，得b1＝＝，a2＝2b1，‎ b2＝，a3＝a2b2＝2b1b2，b3＝，a4＝a3b3＝2b1b2b3，…，an＝2b1b2b3…bn－1，‎ ‎∴a21＝2b1b2b3…b20.‎ 又{bn}为等比数列，∴a21＝2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝2(b10b11)10＝211.故选C.‎ ‎3.(2017·吉林普通中 调研)设{an}是公差不为0的等差数列，满足a＋a＝a＋a，则该数列的前10项和S10等于(　　)‎ A.－10B.－5C.0D.5‎ 答案　C 解析　设等差数列的公差为d(d≠0)，‎ 因为a＋a＝a＋a，‎ 所以(a4－a6)(a4＋a6)＝(a7－a5)(a7＋a5)，‎ 所以－2da5＝2da6，于是a5＋a6＝0.‎ 由等差数列的性质，有a1＋a10＝a5＋a6＝0，‎ 所以S10＝＝0，故选C.‎ ‎4.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则等于(　　)‎ A.2B.C.D.1或2‎ 答案　B 解析　设S2＝k，则S4＝3k，‎ 由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠－1)，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，‎ 又S2＝k，S4－S2＝2k，‎ ‎∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝，故选B.‎ ‎5.(2017·安徽蚌埠质检)数列{an}是以a为首项，q(q≠1)为公比的等比数列，数列{bn}满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1，2，…)，数列{cn}满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn (n＝1，2，…)，若{cn}为等比数列，则a＋q等于(　　)‎ A.B.3C.D.6‎ 答案　B 解析　由题意知，an＝aqn－1，‎ 则bn＝1＋＝1＋－，‎ 得cn＝2＋n－·＝2－＋n＋，‎ 要使{cn}为等比数列，必有 得所以a＋q＝3，故选B.‎ ‎6.(2016·全国Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为__________.‎ 答案　64‎ 解析　设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∴即解得 ‎∴a1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)‎ 当n＝3或4时，取到最小值－6，‎ 此时取到最大值26，‎ ‎∴a1a2…an的最大值为64.‎ 考点二　数列的通项与求和 方法技巧　(1)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解.‎ ‎(2)利用an＝求通项时，要注意检验n＝1的情况.‎ ‎7.在数列{an}中，a1＝1，an－an－1＝(n≥2，且n∈N*)，则an等于(　　)‎ A.2－B.1－C.D.2－ 答案　A 解析　∵an－an－1＝，‎ ‎∴a2－a1＝＝1－，a3－a2＝＝－，‎ a4－a3＝＝－，…，‎ an－an－1＝－，‎ ‎∴上式相加得an－a1＝1－.‎ 又a1＝1，∴an＝2－.‎ 当n＝1时，上式也成立，故选A.‎ ‎8.(2017·贵阳一模)数列{an}满足a1＝0，－＝1(n≥2，n∈N*)，则a2017等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　∵数列{an}满足a1＝0，－＝1(n≥2，n∈N*)，‎ ‎∴＝1，‎ ‎∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，‎ ‎∴＝1＋(n－1)＝n，‎ ‎∴＝2017，解得a2017＝.‎ ‎9.(2017·全国Ⅰ)几位大 生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家 习数 的兴趣，他们推出了“解数 题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数 问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是(　　)‎ A.440 B.330‎ C.220 D.110‎ 答案　A 解析　设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推.则第n组的项数为n，前n组的项数和为.‎ 由题意知，N>100，令>100⇒n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后.‎ 第n组的各项和为＝2n－1，前n组所有项的和为－n＝2n+1－2－n.‎ 设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则N－项的和即第n＋1组的前k项的和2k－1应与－2－n互为相反数，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)⇒n最小为29，此时k＝5，则N＝＋5＝440.故选A.‎ ‎10.已知f(x)＝log2＋1，an＝f＋f＋…＋f，n为正整数，则a2018等于(　　)‎ A.2017B.2019C.1009D.1008‎ 答案　A 解析　因为f(x)＝log2＋1，‎ 所以f(x)＋f(1－x)＝log2＋1＋log2＋1＝2.‎ 所以f＋f＝2，‎ f＋f＝2，…，‎ f＋f＝2，‎ 由倒序相加，得2an＝2(n－1)，an＝n－1，‎ 所以a2018＝2018－1＝2017，故选A.‎ ‎11.若数列{an}满足an＝3an－1＋2(n≥2，n∈N*)，a1＝1，则数列{an}的通项公式an＝________________.‎ 答案　2×3n－1－1‎ 解析　设an＋λ＝3(an－1＋λ)，化简得an＝3an－1＋2λ，‎ ‎∵an＝3an－1＋2，∴λ＝1，‎ ‎∴an＋1＝3(an－1＋1).‎ ‎∵a1＝1，∴a1＋1＝2，‎ ‎∴数列{an＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎∴an＋1＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－1.‎ ‎12.(2017·兰州一诊)在已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有＝1成立，则S2017＝________.‎ 答案　 解析　当n≥2时，由＝1，‎ 得2(Sn－Sn－1)＝anSn－S＝－SnSn－1，‎ 所以－＝1，又＝2，‎ 所以是以2为首项，1为公差的等差数列，‎ 所以＝n＋1，故Sn＝，则S2017＝.‎ 考点三　等差、等比数列的综合应用 方法技巧　巧用性质，整体考虑，减少换算量.‎ ‎13.已知在等比数列中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于(　　)‎ A.1＋B.1－C.3＋2D.3－2 答案　C 解析　∵a1，a3，2a2成等差数列，‎ ‎∴a3×2＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，‎ ‎∴q2＝1＋2q，解得q＝1＋或q＝1－(舍).‎ ‎∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.‎ ‎14.(2017·石家庄一模)已知函数f(x)的图象关于x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则{an}的前100项的和为(　　)‎ A.－200 B.－100‎ C.－50 D.0‎ 答案　B 解析　可得a50＋a51＝－2，又{an}是等差数列，‎ 所以a1＋a100＝a50＋a51＝－2，‎ 则{an}的前100项的和为＝－100.‎ ‎15.(2017·自贡模拟)《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40 .今共有粮m(m＞0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为(　　)‎ A.20 ，369B.80 ，369C.40 ，360D.60 ，365‎ 答案　A 解析　设“衰分比”为a，甲衰分得b石，‎ 由题意，得 解得b＝125，a＝20 ，m＝369.‎ ‎16.若数列{an}对任意的正整数n和m等式a＝an×an＋2m都成立，则称数列{an}为m 阶梯等比数列.若{an}是3阶梯等比数列且a1＝1，a4＝2，则a10＝________.‎ 答案　8‎ 解析　由题意可知，当{an}是3阶梯等比数列时，‎ a＝anan＋6，a＝a1a7，所以a7＝4，‎ 由a＝a4a10，得a10＝＝8.‎ ‎17.已知函数f(x)＝3|x＋5|－2|x＋2|，数列{an}满足a1<－2，an＋1＝f(an)，n∈N*.若要使数列{an}成等差数列，则a1的取值集合为______________.‎ 答案　 解析　因为f(x)＝ 所以若数列{an}成等差数列，则当a1为直线y＝x＋11与直线y＝－x－11的交点横坐标时，即a1＝－11.此时数列{an}是以－11为首项，11为公差的等差数列；当f(a1)＝a1时，即5a1＋19＝a1或－a1－11＝a1，即a1＝－或a1＝－，数列{an}是以0为公差的等差数列，因此a1的取值集合为.‎ ‎18.(2017·湘潭市雨湖区模拟)已知数列{an}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项，若a1＝6m，其中m为给定的正整数，则d的所有可能取值的和为__________.‎ 答案　(2m+1－1)(3m+1－1)‎ 解析　∵公差d是a1＝6m的约数，‎ ‎∴d＝2i·3j(i，j＝0，1，2，…，m)，‎ ‎∴d的所有可能取值之和为i·j＝(2m+1－1)·(3m+1－1).‎ ‎1.在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当整数n＞1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15等于(　　)‎ A.210B.211C.224D.225‎ 答案　B 解析　当n＞1时，Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，‎ ‎∴an＋1＝an＋2，‎ ‎∴an＋1－an＝2.‎ 数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列，‎ ‎∴S15＝a1＋(a2＋…＋a15)＝1＋×14＝211.‎ ‎2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和为(　　)‎ A.16B.20C.33D.120‎ 答案　C 解析　a2＝2a1＝2，‎ a3＝a2＋1＝3，‎ a4＝2a3＝6，‎ a5＝a4＋1＝7，‎ a6＝2a5＝14，‎ 所以前6项和S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.‎ ‎3.已知数列{an}满足：an＋1＝an(1－2an＋1)，a1＝1，数列{bn}满足：bn＝an·an＋1，则数列{bn}的前2017项的和S2017＝________.‎ 答案　 解析　由an＋1＝an(1－2an＋1)，‎ 可得－＝2，‎ 所以数列是公差为2的等差数列，‎ 故＝＋(n－1)×2＝2n－1，所以an＝.‎ 又bn＝an·an＋1＝＝，‎ 所以S2017＝＝×＝.‎ ‎4.已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________.‎ 答案　 解析　由题意，得a2－a1＝2，‎ a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)，‎ 累加整理可得an＝n2－n＋33，‎ ‎∴＝n＋－1.‎ 由函数f(x)＝x＋－1(x＞0)的单调性可知，‎ 当n＝5或n＝6时，取最小值.‎ 又f(6)＝，f(5)＝，‎ ‎∴min＝.‎ ‎1.(2017·全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)‎ A.－24B.－3C.3D.8‎ 答案　A 解析　由已知条件可得a1＝1，d≠0，‎ 由a＝a2a6，可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，‎ 解得d＝－2.所以S6＝6×1＋＝－24.‎ 故选A.‎ ‎2.(2017·浙江)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　方法一　∵数列{an}是公差为d的等差数列，‎ ‎∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，‎ ‎∴S4＋S6＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d.‎ 若d＞0，则21d＞20d，10a1＋21d＞10a1＋20d，‎ 即S4＋S6＞2S5.‎ 若S4＋S6＞2S5，则10a1＋21d＞10a1＋20d，‎ 即21d＞20d，‎ ‎∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.‎ 故选C.‎ 方法二　∵S4＋S6＞2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)⇔a6＞a5⇔a5＋d＞a5⇔d＞0，‎ ‎∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.‎ 故选C.‎ ‎3.(2017·湖南十三校联考)已知函数f(x)＝x2cos，在数列{an}中，an＝f(n)＋f(n＋1)(n∈N*)，则数列{an}的前100项之和S100＝________.‎ 答案　10200‎ 解析　因为f(x)＝x2cos，‎ 所以an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2cos＋(n＋1)2cos a4n－3＝(4n－3)2cos＋(4n－2)2cos＝－(4n－2)2，‎ 同理可得a4n－2＝－(4n－2)2，‎ a4n－1＝(4n)2，a4n＝(4n)2，‎ 所以a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－2(4n－2)2＋2(4n)2＝8(4n－1)，‎ 所以{an}的前100项之和S100＝8(3＋7＋…＋99)＝10200.‎ ‎4.(2017·淮南一模)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有＝，则＋等于(　　)‎ A.B.C.D. 答案　A 解析　∵＝＝，‎ ‎∴＋＝＋＝＋ ‎＝＝＝＝＝＝.‎ ‎5.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足2S－(3n2－n－4)Sn－2(3n2－n)＝0，n∈N*，则数列{an}的通项公式是(　　)‎ A.an＝3n－2B.an＝4n－3C.an＝2n－1D.an＝2n＋1‎ 答案　A 解析　由2S－(3n2－n－4)Sn－2(3n2－n)＝0，n∈N*，因式分解可得[2Sn－(3n2－n)](Sn＋2)＝0，‎ 因为数列{an}的各项均为正数，所以2Sn＝3n2－n.‎ 当n＝1时，2a1＝3－1，解得a1＝1.‎ 当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝3n2－n－[3(n－1)2－(n－1)]＝6n－4，即an＝3n－2.‎ 当n＝1时，上式成立.‎ 所以an＝3n－2(n∈N*).‎ ‎6.已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，则a13等于(　　)‎ A.143B.156C.168D.195‎ 答案　C 解析　由an＋1＝an＋2＋1可知，‎ an＋1＋1＝an＋1＋2＋1＝(＋1)2，‎ ‎∴＝＋1.‎ 又＝1，故数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝n，‎ ‎∴＝13，则a13＝168.‎ ‎7.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，给出下列五个命题：①d<0；②S11>0；③使Sn>0的最大n值为12；④数列{Sn}中的最大项为S11；⑤|a6|>|a7|，其中正确命题的个数是(　　)‎ A.5 B.4‎ C.3 D.1‎ 答案　B 解析　∵S6>S7>S5，∴a7<0，a6>0，a6＋a7>0，‎ 因此|a6|>|a7|；d＝a7－a6<0；‎ S11＝＝11a6>0；‎ S12＝＝6(a6＋a7)>0，‎ 而S13＝13a7<0，‎ 因此满足Sn>0的最大n值为12.‎ 由于a7<0，a6>0，数列{Sn}中的最大项为S6，‎ ‎∴④错，①②③⑤正确，故选B.‎ ‎8.(2017·永州二模)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，2) B.(－∞，3)‎ C.(－∞，4) D.(－∞，5)‎ 答案　A 解析　∵Sn＝3n(λ－n)－6， ①‎ ‎∴Sn－1＝3n－1(λ－n＋1)－6，n＞1， ②‎ 由①－②，得an＝3n－1(2λ－2n－1)(n＞1，n∈N*).‎ ‎∵数列{an}为单调递减数列，‎ ‎∴an＞an＋1，‎ ‎∴3n－1(2λ－2n－1)＞3n(2λ－2n－3)，‎ 化为λ＜n＋2(n＞1)，‎ ‎∴λ＜3.又a1＞a2，∴λ＜2.综上，λ＜2.‎ ‎9.(2017·全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________.‎ 答案　 解析　设等差数列{an}的公差为d，则 由得 ‎∴Sn＝n×1＋×1＝，＝＝2.‎ ‎∴＝＋＋＋…＋＝2＝2＝.‎ ‎10.公差不为0的等差数列{an}的部分项…构成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，则k4＝________.‎ 答案　22‎ 解析　根据题意可知，等差数列的a1，a2，a6项成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1⇒＝a1＋(n－1)(3a1)＝64a1，解得n＝22，即k4＝22.‎ ‎11.(2017·上海青浦区一模)设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围是____________.‎ 答案　(－3，＋∞)‎ 解析　∵数列{an}是单调递增数列，‎ ‎∴∀n∈N*，an＋1＞an，(n＋1)2＋b(n＋1)＞n2＋bn，化为b＞－(2n＋1).‎ ‎∵数列{－(2n＋1)}是单调递减数列，‎ ‎∴当n＝1时，－(2n＋1)取得最大值－3，∴b＞－3.‎ ‎12.(2017·重庆二诊)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a2n＝n－an，a2n＋1＝an＋1，则S100＝________.(用数字作答)‎ 答案　1306‎ 解析　由题设可得a2n＋a2n＋1＝n＋1，取n＝1，2，3，…，49，可得a2＋a3＝2，a4＋a5＝3，a6＋a7＝4，…，a98＋a99＝50，将以上49个等式两边分别相加，可得a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋…＋a98＋a99＝×49＝1274.‎ 又a3＝a1＋1＝2，a6＝3－a3＝1，a12＝6－a6＝5，a25＝a12＋1＝6，a50＝25－a25＝19，a100＝50－a50＝31，所以S100＝1＋1274＋31＝1306.‎