【数学】2019届一轮复习北师大版　变化率与导数、导数的计算学案 11页

第13讲　变化率与导数、导数的计算 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.了解导数概念的实际背景．‎ ‎2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．‎ ‎3．能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数．‎ ‎4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.‎ ‎2017·全国卷Ⅰ，14‎ ‎2017·天津卷，10‎ ‎2016·全国卷Ⅲ，16‎ ‎2016·天津卷，10‎ ‎2016·山东卷，10‎ ‎1.导数的概念及几何意义是热点问题，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质．‎ ‎2．导数几何意义的应用是热点问题，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围，以及与切线有关的计算、证明问题.‎ 分值：5分 ‎1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为____，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为____.‎ ‎2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数及几何意义 ‎(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率__ __＝__ __为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝__ __.‎ ‎(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点__(x0，f(x0))__处的__切线的斜率__.相应地，切线方程为__y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)__.‎ ‎3．函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝__ __为f(x)的导函数，导函数也记作y′.‎ ‎4．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝C(C为常数)‎ f′(x)＝__0__‎ f(x)＝xn(n∈Q*)‎ f′(x)＝__nxn－1__‎ f(x)＝sin x f′(x)＝__cos_x__‎ f(x)＝cos x f′(x)＝__－sin_x__‎ f(x)＝ax(a>0)‎ f′(x)＝__axln_a__‎ f(x)＝ex f′(x)＝__ex__‎ f(x)＝logax(a>0，且a≠1)‎ f′(x)＝____‎ f(x)＝ln x f′(x)＝____‎ ‎5．导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__.‎ ‎(2)[f(x)g(x)]′＝__f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)__.‎ ‎(3)′＝____(g(x)≠0)．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　×　)‎ ‎(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　√　)‎ ‎(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　)‎ ‎(4)若f(x)＝f′(a)x2＋ln x(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋.(　√　)‎ 解析　(1)错误．应先求f′(x)，再求f′(x0)．‎ ‎(2)正确．如y＝1是曲线y＝sin x的切线，但其交点个数有无数个．‎ ‎(3)错误．如y＝0与抛物线y2＝x只有一个公共点，但是y＝0不是抛物线y2＝x的切线．‎ ‎(4)正确．f′(x)＝[f′(a)x2＋ln x]′＝[f′(a)x2]′＋(ln x)′＝2xf′(a)＋.‎ ‎2．曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为(　A　)‎ A．2　　　 B．－2‎ C．　　　 D．－ 解析　依题意得y′＝1＋ln x，y′|x＝e＝1＋ln e＝2，所以－×2＝－1，a＝2.‎ ‎3．某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝‎10 m/s2)，则当t＝2 s时，它的速度v(t)对t的变化率(即加速度)是(　A　)‎ A．‎14 m/s2　　　 B．‎4 m/s2‎ C．‎10 m/s2　　　 D．－‎4 m/s2‎ 解析　由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．‎ ‎4．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为__2x－y＋1＝0__.‎ 解析　∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.‎ ‎∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.‎ ‎5．函数y＝xcos x－sin x的导数为__y′＝－xsin_x__.‎ 解析　y′＝(xcos x)′－(sin x)′‎ ‎＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x ‎＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.‎ 一　导数的运算 导数的运算方法 ‎(1)连乘积形式：先展开，化为多项式的形式，再求导．‎ ‎(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．‎ ‎(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．‎ ‎(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．‎ ‎(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．‎ ‎【例1】 (1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝__－__.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f＝__－1__.‎ 解析　(1)∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，‎ ‎∴f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，‎ ‎∴f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，∴f′(2)＝－.‎ ‎(2)∵f(x)＝f′sin x＋cos x，∴f′(x)＝f′cos x－sin x，∴f′＝f′－，∴f′＝－(2＋)，‎ ‎∴f(x)＝－(2＋)sin x＋cos x，‎ ‎∴f＝－(2＋)×＋＝－1.‎ ‎【例2】 求下列函数的导数．‎ ‎(1)y＝(1－)；(2)y＝；‎ ‎(3)y＝tan x；(4)y＝3xex－2x＋e.‎ 解析　(1)∵y＝(1－)＝－＝x－－x，‎ ‎∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.‎ ‎(2)y′＝′＝＝＝.‎ ‎(3)y′＝′‎ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.‎ 二　导数的几何意义 若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．‎ ‎(1)点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎(2)点P(x0，y0)不是切点时，可分为以下几步完成：‎ 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；‎ 第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；‎ 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；‎ 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，由此即可得过点P(x0，y0)的切线方程．‎ ‎【例3】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为__y＝x＋1__.‎ ‎(2)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为__(1,1)__.‎ ‎(3)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝__－2__.‎ 解析　(1)因为y′＝2x－，‎ 所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－＝1，‎ 所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.‎ ‎(2)由y′＝ex，知曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k1＝e0＝1.‎ 设P(m，n)，又y＝(x>0)的导数y′＝－，‎ 曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－.‎ 依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1，‎ 则点P的坐标为(1,1)．‎ ‎(3)∵f′(x)＝，‎ ‎∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.‎ 又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.‎ 又g′(x)＝x＋m，‎ 设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，‎ 则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，‎ 于是解得m＝－2.‎ ‎1．已知y＝f(x)是可导函数．如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　B　)‎ A．－1　　　 B．0‎ C．2　　　 D．4‎ 解析　∵y＝f(x)在x＝3处的切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×＝0.‎ ‎2．求下列函数的导数．‎ ‎(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝x·tan x；‎ ‎(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(4)y＝.‎ 解析　(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′‎ ‎＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5.‎ ‎(2)y′＝(x·tan x)′＝′＝＝＝.‎ ‎(3)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)‎ ‎＝x3＋6x2＋11x＋6，‎ ‎∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′‎ ‎＝3x2＋12x＋11.‎ ‎(4)y′＝′＝ ‎＝＝.‎ ‎3．(2018·江苏盐城伍佑中学调研)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．‎ 解析　∵f(x)＝x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋.‎ ‎∵函数f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)＝x－a＋＝0在区间(0，＋∞)上有解，即a＝x＋在区间(0，＋∞)上有解．‎ ‎∵当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，∴a≥2.‎ 故实数a的取值范围是[2，＋∞)．‎ ‎4．已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.‎ ‎(1)求曲线C在横坐标为1的点处的切线方程；‎ ‎(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他公共点，若有，请求出；若没有，请说明理由．‎ 解析　(1)∵y′＝12x3－6x2－18x，‎ ‎∴k＝y′|x＝1＝12－6－18＝－12.‎ 又由x＝1，得y＝3－2－9＋4＝－4，∴切点的坐标为(1，－4)．‎ ‎∴所求切线的方程为y＋4＝－12(x－1)，即12x＋y－8＝0.‎ ‎(2)由 得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0，‎ 整理，得(x－1)2(x＋2)(3x－2)＝0，∴x＝1或－2或.‎ ‎∴切线与曲线C还有其他公共点，由x＝－2，得y＝32；由x＝，得y＝0.‎ ‎∴另外两个点的坐标为(－2,32)，.‎ 错因分析：审题时忽视了曲线“在点P处的切线”与曲线“过点P的切线”的不同．‎ ‎【例1】 求曲线S：y＝f(x)＝2x－x3过点A(1,1)的切线方程．‎ 解析　 设切点为(x0，f(x0))．∵f′(x)＝2－3x2，∴切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，即y＝(2－3x)(x－x0)＋2x0－x，将点A的坐标(1,1)代入得 ‎1＝(2－3x)(1－x0)＋2x0－x，‎ 整理得2x－3x＋1＝0，即2x－2x－x＋1＝0，‎ ‎∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或－，‎ ‎∴y0＝1，f′(x0)＝－1或y0＝－，f′(x0)＝.‎ ‎∴切线方程为y＝－x＋2或y＝x－.‎ ‎【跟踪训练1】 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.‎ ‎(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；‎ ‎(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．‎ 解析　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，‎ ‎∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，‎ ‎∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，‎ 即x－y－4＝0.‎ ‎(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，‎ ‎∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)·(x－2)，‎ 又切线过点(x0，x－4x＋5x0－4)，‎ ‎∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)·(x0－2)，‎ 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，‎ ‎∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.‎ 课时达标　第13讲 ‎[解密考纲]本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算，所以它是导数中的基础；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问．‎ 一、选择题 ‎1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝(　D　)‎ A．2　　　 B．‎0　‎　　‎ C．－2　　　 D．－4‎ 解析　f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.‎ ‎2．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝(　D　)‎ A．0　　　 B．‎26　‎　　‎ C．29　　　 D．212‎ 解析　∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，‎ ‎∴f′(x)＝x′(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)·…·(x－a8)]′‎ ‎＝(x－a1)·…·(x－a8)＋x[(x－a1)·…·(x－a8)]′，‎ ‎∴f′(0)＝(－a1)·(－a2)·…·(－a8)＋0＝a1·a2·…·a8‎ ‎＝(a1·a8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.‎ ‎3．已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝f(x)，则tan 2x的值是(　D　)‎ A．－　　　 B．－　　　‎ C．　　　 D． 解析　因为f′(x)＝cos x＋sin x＝sin x－cos x，‎ 所以tan x＝－3，所以tan 2x＝＝＝.故选D．‎ ‎4．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　B　)‎ A．　　　 B． C．　　　 D． 解析　∵y＝，∴y′＝＝＝≥－1，∴－1≤tan α<0.‎ 又∵0≤α<π，∴≤α<π.故选B．‎ ‎5．函数f(x)＝excos x在点(0，f(0))处的切线方程为(　C　)‎ A．x＋y＋1＝0　　　 B．x＋y－1＝0‎ C．x－y＋1＝0　　　 D．x－y－1＝0‎ 解析　∵f′(x)＝excos x＋ex(－sin x)＝ex(cos x－sin x)，∴f′(0)＝e0(cos 0－sin 0)＝1.又∵f(0)＝1，∴f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.故选C．‎ ‎6．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝(　D　)‎ A．　　　 B．－ C．　　　 D．－或 解析　∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，‎ ‎∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．‎ 若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；‎ 若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，‎ 又对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.‎ 二、填空题 ‎7．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为__5x＋y＋2＝0__.‎ 解析　由y＝－5ex＋3，得y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.‎ ‎8．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于____.‎ 解析　∵y′＝，∴k＝，∴切线方程为y＝(x－1)，‎ ‎∴三角形面积为S＝×1×＝.‎ ‎9．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点坐标为____.‎ 解析　 ∵y′＝－，∴解得x＝3.‎ 故切点坐标为.‎ 三、解答题 ‎10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；‎ ‎(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．‎ 解析　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．‎ ‎∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，‎ ‎∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.‎ ‎∴切线的方程为y＋6＝13(x－2)，即y＝13x－32.‎ ‎(2)设切点坐标为(x0，y0)，‎ 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，y0＝x＋x0－16，‎ ‎∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.‎ 又∵直线l过原点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得x＝－8，∴x0＝－2，‎ ‎∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，‎ 得切点坐标(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.‎ ‎∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．‎ ‎11．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．‎ ‎(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；‎ ‎(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．‎ 解析　(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，‎ 则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，‎ 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．‎ ‎(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，‎ 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知 解得－1≤k<0或k≥1，‎ 故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，‎ 得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．‎ ‎12．(2018·吉林校级联考)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)设g(x)＝f(x)－x，证明：函数y＝g(x)图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，并求此定值．‎ 解析　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.‎ 当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.‎ ‎(2)证明：由题意知g(x)＝f(x)－x＝－，g′(x)＝.‎ 设P为函数y＝g(x)图象上的任意一点，‎ 则过点P的切线方程为y＋＝(x－x0)，‎ 令x＝0，则y＝－；令y＝0，则x＝2x0，‎ 所以过点P的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为··|2x0|＝6，故函数y＝g(x)图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，且定值为6.‎