2013届人教A版文科数学课时试题及解析（52）抛物线A 4页

课时作业(五十二)A　[第52讲　抛物线]‎ ‎ [时间：35分钟　分值：80分]‎ ‎1．抛物线y＝－2x2的焦点坐标是(　　)‎ A. B．(－1,0)‎ C. D. ‎2．抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1的渐近线的距离为(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎3．边长为1的正三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B两点的抛物线方程是(　　)‎ A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x ‎4．抛物线y2＝－x上的点到直线3x＋4y－8＝0的距离的最小值为________．‎ ‎5．已知点M(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是(　　)‎ A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线 ‎6． 已知点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，若点P在抛物线上移动，当|PA|＋|PF|取得最小值时，则点P的坐标是(　　)‎ A．(1，) B．(2,2)‎ C．(2，－2) D．(3，)‎ ‎7． 已知M(a,2)是抛物线y2＝2x上的一点，直线MP、MQ分别与抛物线交于P、Q两点，且直线MP、MQ的倾斜角之和为π，则直线PQ的斜率为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎8．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为(　　)‎ A．(2，±2) B．(1，±2)‎ C．(1,2) D．(2,2)‎ ‎9．若垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于点A，B，且AB＝4，则直线AB的方程为____________．‎ ‎10．探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径‎60 cm，灯深‎40 cm，则光源放置位置为灯轴上距顶点________处．‎ ‎11． 过抛物线y2＝4x焦点的直线l的倾斜角为，且l与抛物线相交于A、B两点，O为原点，那么△AOB的面积为________．‎ ‎12．(13分) 如图K52－1，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.‎ ‎(1)求实数b的值；‎ ‎(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．‎ 图K52－1‎ ‎13．(12分) 已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线x＝－－1(p是正常数)的距离为d1，到点F的距离为d2，且d1－d2＝1.‎ ‎(1)求动点P所在曲线C的方程；‎ ‎(2)直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线l1：x＝－的垂线，对应的垂足分别为M、N，求证：·＝0.‎ 课时作业(五十二)A ‎【基础热身】‎ ‎1．D　[解析] 抛物线的标准方程为x2＝－y，p＝，所以焦点坐标为.故选D.‎ ‎2．A　[解析] 抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)到双曲线－＝1的渐近线y＝±x的距离d＝1.故选A.‎ ‎3．C　[解析] 设AB⊥x轴于点D，则|OD|＝1·cos30°＝，|AD|＝1·sin30°＝，所以A.由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，将点A的坐标代入，即可得2p＝.结合图形的对称性知应选C.‎ ‎4.　[解析] 设抛物线上动点P(－y2，y)，则该点到直线3x＋4y－8＝0的距离为d＝＝＝≥.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．A　[解析] 由点P在BM的垂直平分线上，故|PB|＝|PM|.又PB⊥l，因而点P到直线l的距离等于点P到点M的距离，所以点P的轨迹是抛物线．故选A.‎ ‎6．B　[解析] 过P作抛物线准线l：x＝－的垂线，垂足为Q，则|PF|＝|PQ|，所以只需求|PA|＋|PQ|的最小值．当A、P、Q三点共线时，|PA|＋|PQ|最小，此时P点纵坐标为2，代入抛物线方程得横坐标为2，所以点P坐标为(2,2)．故选B.‎ ‎7．C　[解析] 易知a＝2，设直线MP、MQ的方程分别为y＝x－2＋2，y＝－(x－2)＋2，分别代入抛物线方程，可得点P(0,0)，Q(8，－4)，所以可求得直线PQ斜率为－.故选C.‎ ‎8．B　[解析] 设A(x0，y0)，F(1,0)，＝(x0，y0)，＝(1－x0，－y0)，‎ ·＝x0(1－x0)－y＝－4.因为y＝4x0，所以x0－x－4x0＋4＝0，即x＋3x0－4＝0，x1＝1，x2＝－4(舍)．所以x0＝1，y0＝±2.故选B.‎ ‎9．x＝3　[解析] 由题意知，点A，B的纵坐标为2和－2，代入抛物线方程求得x＝3，所以直线AB的方程为x＝3.‎ ‎10．‎5.625 cm　[解析] 将抛物线放到直角坐标系中，使顶点与原点重合，焦点在x轴正半轴上，则由题意可知点(40,30)在抛物线上，代入y2＝2px中，解得p＝，而光源放在焦点位置，距离顶点p＝＝‎5.625 cm处．‎ ‎11.　[解析] 抛物线焦点为F(1,0)，直线l的的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程消去x得y2－4y－4＝0，解得yA＝－，yB＝，所以△AOB的面积为|OF|·|yB－yA|＝×＝.‎ ‎12．[解答] (1)由得x2－4x－4b＝0.(*)‎ 因为直线l与抛物线C相切，‎ 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.‎ 解得b＝－1.‎ ‎(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0.‎ 解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，‎ 故点A(2,1)．‎ 因为圆A与抛物线C的准线相切，‎ 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2.‎ 所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎【难点突破】‎ ‎13．[解答] (1)设动点为P(x，y)，‎ 依据题意，有 －＝1，化简得y2＝2px.‎ 因此，动点P所在曲线C的方程是：y2＝2px.‎ ‎(2)由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，‎ 故可设直线l：x＝my＋，如图所示．‎ 联立方程组可化为y2－2mpy－p2＝0，‎ 则点A(x1，y1)、B(x2，y2)的坐标满足 又AM⊥l1、BN⊥l1，‎ 可得点M、N.‎ 于是，＝(－p，y1)，＝(－p，y2)，‎ 因此·＝(－p，y1)·(－p，y2)＝p2＋y1y2＝0.‎ ‎ ‎