【数学】2019届高考一轮复习北师大版理2-1函数及其表示学案 16页

知识点 考纲下载 函数及其表示 ‎ 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.‎ ‎ 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.‎ ‎ 了解简单的分段函数，并能简单应用.‎ 单调性 ‎ 理解函数的单调性及其几何意义.‎ ‎ 理解函数的最大值、最小值及其几何意义.‎ 奇偶性 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.‎ 指数函数 ‎ 了解指数函数模型的实际背景.‎ ‎ 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.‎ ‎ 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.‎ ‎ 知道指数函数是一类重要的函数模型.‎ 对数函数 ‎ 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.‎ ‎ 理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.‎ ‎ 知道对数函数是一类重要的函数模型.‎ ‎ 了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，且a≠1).‎ 幂函数 ‎ 了解幂函数的概念.‎ ‎ 结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.‎ 函数的图象 会运用函数图象理解和研究函数的性质.‎ 函数与方程 ‎ 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.‎ ‎ 根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.‎ 函数模型 及其应用 ‎ 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.‎ ‎ 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.‎ 第1讲　函数及其表示 ‎1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A、B 设A，B是两个非空的数集 设A，B是两个非空的集合 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 续　表 函数 映射 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)(x∈A)‎ 对应f：A→B是一个映射 ‎2.函数的有关概念 ‎(1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．‎ ‎(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．‎ ‎(3)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．‎ ‎3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．‎ 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)‎ ‎(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　)‎ ‎(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)‎ ‎(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．(　　)‎ ‎(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　‎ ‎ (教材习题改编)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)‎ A．[0，2) B．(2，＋∞)‎ C．[0，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)‎ 解析：选C.由题意得解得x≥0且x≠2.‎ ‎ 下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)‎ A．y＝()2 B．y＝3＋1‎ C．y＝＋1 D．y＝＋1‎ 解析：选B.对于A.函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B.定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C.函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．‎ ‎ (教材习题改编)已知函数f(x)＝则f(1)＋f(－3)＝________．‎ 解析：f(1)＝1×5＝5，f(－3)＝－3×(－3－4)＝21，故f(1)＋f(－3)＝5＋21＝26.‎ 答案：26‎ ‎ 若有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________．‎ 解析：因为有意义，所以x－4≥0，即x≥4.‎ 又因为y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，‎ 所以ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.‎ 所以其值域为[－1，＋∞)．‎ 答案：[－1，＋∞)‎ ‎　　　　　　求函数的定义域 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)(2018·河南濮阳一高第二次检测)函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(　　)‎ A. B. C．(－1，0)∪ D．(－∞，－1)∪ ‎(2)如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　　)‎ A．－2　 B．－1‎ C．1 D．2‎ ‎(3)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________．‎ ‎【解析】　(1)由1－2x>0，x＋1≠0，得x<且x≠－1，所以函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(－∞，－1)∪，故选D.‎ ‎(2)因为－2x＋a>0，所以x<，所以＝1，所以a＝2.‎ ‎(3)由得0≤x＜1，即定义域是.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)D　(3) ‎[提醒]　定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，‎ 而应该用并集符号“∪”连接．　 ‎ ‎ [通关练习]‎ ‎1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)‎ A.∪ B.∪ C. D. 解析：选B.由 得－1＜x≤2，且x≠0.‎ ‎2．函数f(x)＝(a>0且a≠1)的定义域为________．‎ 解析：由⇒⇒00，‎ 所以t>1且x＝，‎ 所以f(t)＝lg，‎ 即f(x)＝lg(x>1)．‎ ‎(3)待定系数法：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ 又f(0)＝c＝3.‎ 所以f(x)＝ax2＋bx＋3，‎ 所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.‎ 所以 所以 所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.‎ ‎(4)解方程组法：因为2f(x)＋f＝2x，①‎ 将x换成，则换成x，得2f＋f(x)＝.②‎ 由①②消去f，得3f(x)＝4x－.‎ 所以f(x)＝x－(x∈R且x≠0)‎ ‎【答案】　(1)f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)　(2)f(x)＝lg(x＞1)　(3)f(x)＝x2－x＋3　(4)x－(x∈R且x≠0)‎ ‎ 若本例(4)条件变为2f(x)＋f(－x)＝2x，求f(x)．‎ 解：因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①‎ 将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②‎ 由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，‎ 所以f(x)＝2x.‎ 求函数解析式的4种方法 ‎ [通关练习]‎ ‎1．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________.‎ 解析：法一：设t＝＋1，‎ 则x＝(t－1)2(t≥1)；‎ 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.‎ 故f(x)＝x2－1(x≥1)．‎ 法二：因为x＋2＝()2＋2＋1－1‎ ‎＝(＋1)2－1，‎ 所以f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，‎ 即f(x)＝x2－1(x≥1)．‎ 答案：x2－1(x≥1)‎ ‎2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________．‎ 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ 则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，‎ 所以a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.‎ 又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根，‎ 所以Δ＝4－4c＝0，c＝1，‎ 故f(x)＝x2＋2x＋1.‎ 答案：x2＋2x＋1‎ ‎　　　　　　分段函数(高频考点)‎ 分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对分段函数的考查主要有以下四个命题角度：‎ ‎(1)由分段函数解析式，求函数值(或最值)；‎ ‎(2)由分段函数解析式与方程，求参数的值(或范围)；‎ ‎(3)由分段函数解析式，求解不等式．‎ ‎(4)由分段函数解析式，判断函数的奇偶性．(本章第3讲再讲解)‎ ‎[典例引领]‎ 角度一　由分段函数解析式，求函数值(或最值)‎ ‎ (1)已知f(x)＝则f＋f的值等于(　　)‎ A．－2　　　 B．4‎ C．2 D．－4‎ ‎(2)已知函数f(x)＝则f的值是________．‎ ‎【解析】 (1)由题意得f＝2×＝.‎ f＝f＝f＝2×＝.‎ 所以f＋f＝4.‎ ‎(2)由题意可得f＝log2＝－2，‎ 所以f＝f(－2)＝3－2＋1＝.‎ ‎【答案】 (1)B　(2) 角度二　由分段函数解析式与方程，求参数的值 ‎ (或范围)‎ ‎ (分类讨论思想)(2017·高考山东卷)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎【解析】 当01，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，因为f(a)＝f(a＋1)，所以＝2a，解得a＝或a＝0(舍去)．所以f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a>1时，a＋1>2，所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，所以2(a－1)＝2a，无解．当a＝1时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意．综上，f＝6.故选C.‎ ‎【答案】 C 角度三　由分段函数解析式，求解不等式 ‎ (2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．‎ ‎【解析】　当x>0时，f(x)＝2x>1恒成立，当x－>0，即x>时，f＝2x－>1，当x－≤0，即0，则不等式f(x)＋f>1恒成立．当x≤0时，f(x)＋f＝x＋1＋x＋＝2x＋>1，所以－3a2，则a的取值范围是________．‎ 解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，‎ 则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，‎ 解得－10，所以f(2)＝2×ln 2＝2ln 2.‎ 因为×ln <0，所以f＝＝－2ln 2.‎ 则f(2)＋f＝2ln 2－2ln 2＝0.‎ ‎6．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ f(x)‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎　‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ g(x)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 则f(g(1))的值为________，满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为________．‎ 解析：因为g(1)＝3，f(3)＝1，所以f(g(1))＝1.‎ 当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不合题意．‎ 当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，符合题意．‎ 当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不合题意．‎ 答案：1　2‎ ‎7.若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．　‎ 解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，所以f(x)＝ 答案：f(x)＝ ‎8．设函数f(x)＝若f(f(a))＝－，则实数a＝________.‎ 解析：若f(a)≥0，则f(a)＝1，此时只能是a>0，于是a＝4；若f(a)<0，则f(a)＝－2，此时只能是a<0，于是a＝－(若a>0，由－1＝－2，解得a＝－2不满足题意)．‎ 答案：4或－ ‎9．已知f(x)＝ ‎(1)求f(－)的值；‎ ‎(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值．‎ 解：(1)由题意f(－)＝f(－＋1)＝f(－)＝f()＝2.‎ ‎(2)当00时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；‎ 当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.‎ 所以f(g(x))＝ 同理可得g(f(x))＝ ‎1．设函数f(x)＝ 则(a≠b)的值为(　　)‎ A．a B．b C．a，b中较小的数 D．a，b中较大的数 解析：选C.若a－b>0，即a>b，则f(a－b)＝－1，则＝[(a＋b)－(a－b)]＝b(a>b)；若a－b<0，即a0时，f(x)＝x>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x<0时，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A.‎ ‎3．设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围为________．‎ 解析：由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.‎ 当a<1时，有3a－1≥1，‎ 所以a≥，所以≤a<1.‎ 当a≥1时，有2a≥1，‎ 所以a≥0，所以a≥1，综上，a≥.‎ 答案： ‎4．已知函数f(x)＝对于定义域内的任何x均有f(x)＋f＝0，则a2 018＋b2 018＝__________．‎ 解析：由题意得＋＝0，‎ 即(a＋b)x2＋2(ab＋1)x＋a＋b＝0.‎ 所以，‎ 则有a＝1，b＝－1或a＝－1，b＝1.‎ 所以a2 018＋b2 018＝(－1)2 018＋12 018＝2.‎ 答案：2‎ ‎5．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)画出f(x)的图象．‎ 解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得解得a＝－1，b＝1，‎ 所以f(x)＝ ‎(2)f(x)的图象如图：‎ ‎6．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨，3x吨．‎ ‎(1)求y关于x的函数；‎ ‎(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．‎ 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，‎ 乙的用水量也不超过4吨，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；‎ 当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4且5x>4时，‎ y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8；当乙的用水量超过4吨时，即3x>4，y＝24x－9.6，‎ 所以y＝ ‎(2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增，‎ 当x∈时，y≤f<26.4；‎ 当x∈时，y≤f<26.4；‎ 当x∈时，令24x－9.6＝26.4，‎ 解得x＝1.5.‎ 所以甲户用水量为5x＝7.5吨，‎ 所交水费为y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)；‎ 乙户用水量为3x＝4.5吨，所交水费y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．‎