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  • 2021-06-15 发布

高中数学高考复习导数及其应用

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高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用; 2、求导公式与运算法则的运用; 3、导数的几何意义; 4、导数在研究函数单调性上的应用; 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用; 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 (一)导数 1、导数的概念 (1)导数的定义 (Ⅰ)设函数 在点 及其附近有定义,当自变量 x 在 处 有 增 量 △ x ( △ x 可 正 可 负 ), 则 函 数 y 相 应 地 有 增 量 ,这两个增量的比 ,叫做函 数 在点 到 这间的平均变化率。如果 时, 有极限,则说函数 在点 处可导,并把这个极限叫做 在 点 处 的 导 数 ( 或 变 化 率 ), 记 作 , 即 。 (Ⅱ)如果函数 在开区间( )内每一点都可导,则说 在开区间( )内可导,此时,对于开区间( )内每一个确定 的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间( ) 内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做 在开区间( ) 内 的 导 函 数 ( 简 称 导 数 ), 记 作 或 , 即 。 认知: (Ⅰ)函数 的导数 是以 x 为自变量的函数,而函数 在点 处的导数 是一个数值; 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。 (Ⅱ)求函数 在点 处的导数的三部曲: ①求函数的增量 ; ②求平均变化率 ; ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 (2)导数的几何意义: 函 数 在 点 处 的 导 数 , 是 曲 线 在 点 处的切线的斜率。 (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别: (Ⅰ)若函数 在点 处可导,则 在点 处连续; 若函数 在开区间( )内可导,则 在开区间( ) 内连续(可导一定连续)。 事 实 上 , 若 函 数 在 点 处 可 导 , 则 有 此 时 , 记 ,则有 即 在点 处连续。 (Ⅱ)若函数 在点 处连续,但 在点 处不一定可 导(连续不一定可导)。 反例: 在点 处连续,但在点 处无导数。 事实上, 在点 处的增量 当 时, , ; 当 时, , 由此可知, 不存在,故 在点 处不可导。 2、求导公式与求导运算法则 (1)基本函数的导数(求导公式) 公式 1 常数的导数: (c 为常数),即常数的导数等于 0。 公式 2 幂函数的导数: 。 公式 3 正弦函数的导数: 。 公式 4 余弦函数的导数: 公式 5 对数函数的导数: (Ⅰ) ; (Ⅱ) 公式 6 指数函数的导数: (Ⅰ) ; (Ⅱ) 。 (2)可导函数四则运算的求导法则 设 为可导函数,则有 法则 1 ; 法则 2 ; 法则 3 。 3、复合函数的导数 (1)复合函数的求导法则 设 , 复合成以 x 为自变量的函数 ,则 复合函数 对自变量 x 的导数 ,等于已知函数对中间变量 的导数 ,乘以中间变量 u 对自变量 x 的导数 , 即 。 引申:设 , 复合成函数 , 则 有 (2)认知 (Ⅰ)认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序,即从外 向内分析:首先由最外层的主体函数结构设出 ,由第一层中 间变量 的函数结构设出 ,由第二层中间变量 的函数结构设出 ,由此一层一层分析,一直到最里层的中间 变量 为自变量 x 的简单函数 为止。于是所给函数便“分解” 为若干相互联系的简单函数的链条: ; (Ⅱ)运用上述法则求复合函数导数的解题思路 ①分解:分析所给函数的复合关系,适当选定中间变量,将所给 函数“分解”为相互联系的若干简单函数; ②求导:明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述 求导法则和基本公式求; ③还原:将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函 数,并作以适当化简或整理。 二、导数的应用 1、函数的单调性 (1)导数的符号与函数的单调性: 一般地,设函数 在某个区间内可导,则若 为 增函数;若 为减函数;若在某个区间内恒有 , 则在这一区间上为常函数。 (2)利用导数求函数单调性的步骤 (Ⅰ)确定函数 的定义域; (Ⅱ)求导数 ; (Ⅲ)令 ,解出相应的 x 的范围 当 时, 在相应区间上为增函数;当 时 在相应区间上为减函数。 (3)强调与认知 (Ⅰ)利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域 D,并且解决问题的过程中始终立足于定义域 D。若由不等式 确定的 x 的取值集合为 A,由 确定的 x 的取值范围为 B,则 应用 ; (Ⅱ)在某一区间内 (或 )是函数 在这一 区间上为增(或减)函数的充分(不必要)条件。因此方程 的 根不一定是增、减区间的分界点,并且在对函数划分单调区间时,除 去确定 的根之外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导 点,它们也可能是增、减区间的分界点。 举例: (1) 是 R 上的可导函数,也是 R 上的单调函数,但是 当 x=0 时, 。 (2) 在点 x=0 处连续,点 x=0 处不可导,但 在(-∞, 0)内递减,在(0,+∞)内递增。 2、函数的极值 (1)函数的极值的定义 设函数 在点 附近有定义,如果对 附近的所有点,都 有 , 则 说 是 函 数 的 一 个 极 大 值 , 记 作 ; 如果对 附近的所有点,都有 ,则说 是函数 的一个极小值,记作 。 极大值与极小值统称极值 认知:由函数的极值定义可知: (Ⅰ)函数的极值点 是区间 内部的点,并且函数的极值 只有在区间内的连续点处取得; (Ⅱ)极值是一个局部性概念;一个函数在其定义域内可以有多 个极大值和极小值,并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极 大值; (Ⅲ)当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时,函 数 在 内的极大值点,极小值点交替出现。 (2)函数的极值的判定 设函数 可导,且在点 处连续,判定 是极大(小) 值的方法是 (Ⅰ)如果在点 附近的左侧 ,右侧 ,则 为极大值; (Ⅱ)如果在点 附近的左侧 ,右侧 ,则 为极小值; 注意:导数为 0 的不一定是极值点,我们不难从函数 的 导数研究中悟出这一点。 (3)探求函数极值的步骤: (Ⅰ)求导数 ; (Ⅱ)求方程 的实根及 不存在的点; 考察 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符 号:若左正右负,则 在这一点取得极大值,若左负右正,则 在这一点取得极小值。 3、函数的最大值与最小值 (1)定理 若函数 在闭区间上连续,则 在 上必有最大值和最 小值;在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值。 认知: (Ⅰ)函数的最值(最大值与最小值)是函数的整体性概念:最 大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值;最小值是函数 在整个定义区间上所有函数值中的最小值。 (Ⅱ)函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的 (具有相对性),极值只能在区间内点取得;函数的最大值与最小值 是比较整个定义区间上的函数值得出的(具有绝对性),最大(小) 值可能是某个极大(小)值,也可能是区间端点处的函数值。 (Ⅲ)若 在开区间 内可导,且有唯一的极大(小)值, 则这一极大(小)值即为最大(小)值。 (2)探求步骤: 设函数 在 上连续,在 内可导,则探求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下: ( I )求 在 内的极值; ( II )求 在定义区间端点处的函数值 , ; ( III )将 的各极值与 , 比较,其中最大者为所 求最大值,最小者为所求最小值。 引申:若函数 在 上连续,则 的极值或最值也可能 在不可导的点处取得。对此,如果仅仅是求函数的最值,则可将上述 步骤简化: ( I )求出 的导数为 0 的点及导数不存在的点(这两种点 称为可疑点); ( II )计算并比较 在上述可疑点处的函数值与区间端点处 的函数值,从中获得所求最大值与最小值。 (3)最值理论的应用 解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本 解题思路为: ( I )认知、立式:分析、认知实际问题中各个变量之间的联 系,引入变量,建立适当的函数关系; ( II )探求最值:立足函数的定义域,探求函数的最值; ( III )检验、作答:利用实际意义检查(2)的结果,并回答 所提出的问题,特殊地,如果所得函数在区间内只有一个点 满足 ,并且 在点 处有极大(小)值,而所给实际问题又 必有最大(小)值,那么上述极大(小)值便是最大(小)值。 四、经典例题 例 1、设函数 在点 处可导,且 ,试求 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ( 为常数)。 解:注意到 当 ) (1) ; ( 2 ) =A+A=2A (3)令 ,则当 时 , ∴ (4) 点评:注意 的本质,在这一定义中, 自变量 x 在 处的增量 的形式是多种多样的,但是,不论 选 择哪一种形式,相应的 也必须选择相应的形式,这种步调的一致 是求值成功的保障。 若 自 变 量 x 在 处 的 增 量 为 , 则 相 应 的 , 于是有 ; 若令 ,则又有 例 2、 (1)已知 ,求 ; (2)已知 ,求 解: (1)令 ,则 ,且当 时, 。 注意到这里 ∴ (2)∵ ∴ ① 注意到 , ∴由已知得 ② ∴由①、②得 例 3、求下列函数的导数 ( 1 ) ; ( 2 ) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) 解: (1) (2) , ∴ (3) , ∴ (4) , ∴ (5) , ∴ (6) ∴当 时, ; ∴当 时, ∴ 即 。 点评:为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算,首先 对函数式进行化简或化整为零,而后再实施求导运算,特别是积、商 的形式可以变为代数和的形式,或根式可转化为方幂的形式时,“先 变后求”的手法显然更为灵巧。 例 4、在曲线 C: 上,求斜率最小的切线所对 应的切点,并证明曲线 C 关于该点对称。 解: (1) ∴当 时, 取得最小值-13 又当 时, ∴斜率最小的切线对应的切点为 A(2,-12); (2)证明:设 为曲线 C 上任意一点,则点 P 关于点 A 的对称点 Q 的坐标为 且有 ① ∴将 代入 的解析式得 , ∴点 坐标为方程 的解 ∴ 注意到 P,Q 的任意性,由此断定曲线 C 关于点 A 成中心对称。 例 5、已知曲线 ,其中 ,且均 为可导函数, 求证:两曲线在公共点处相切。 证明:注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的 切线重合, 设上述两曲线的公共点为 ,则有 , , ∴ , ∴ , ∴ , ∴ 于是,对于 有 ; ① 对于 ,有 ② ∴由①得 , 由②得 ∴ ,即两曲线在公共点处的切线斜率相等, ∴两曲线在公共点处的切线重合 ∴两曲线在公共点处相切。 例 6、 (1)是否存在这样的 k 值,使函数 在 区间(1,2)上递减,在(2,+∞)上递增,若存在,求出这样的 k 值; (2)若 恰有三个单调区间,试确定 的取值范围, 并求出这三个单调区间。 解: (1) 由题意,当 时 ,当 x∈(2,+∞) 时 , ∴由函数 的连续性可知 , 即 整理得 解得 或 验证: (Ⅰ)当 时, ∴若 ,则 ;若 , 则 , 符合题意; (Ⅱ)当 时, , 显然不合题意。 于是综上可知,存在 使 在(1,2)上递减,在(2, +∞)上递增。 (2) 若 ,则 ,此时 只有一个增区间 , 与题设矛盾; 若 ,则 ,此时 只有一个增区间 ,与题 设矛盾; 若 ,则 并且当 时, ; 当 时, ∴综合可知,当 时, 恰有三个单调区间: 减区间 ;增区间 点评:对于(1),由已知条件得 ,并由此获得 k 的可能 取值,进而再利用已知条件对所得 k 值逐一验证,这是开放性问题 中寻求待定系数之值的基本策略。 例 7、已知函数 ,当且仅当 时, 取得极值,并且极大值比极小值大 4. (1)求常数 的值; (2)求 的极值。 解: (1) , 令 得方程 ∵ 在 处取得极值 ∴ 或 为上述方程的根, 故有 ∴ ,即 ① ∴ 又∵ 仅当 时取得极值, ∴方程 的根只有 或 , ∴方程 无实根, ∴ 即 而当 时, 恒成立, ∴ 的正负情况只取决于 的取值情况 当 x 变化时, 与 的变化情况如下表: 1 (1,+∞) + 0 — 0 + 极大值 极小值 ∴ 在 处取得极大值 ,在 处取得极小值 。 由题意得 整理得 ② 于是将①,②联立,解得 (2)由(1)知, 点评:循着求函数极值的步骤,利用题设条件与 的关系, 立足研究 的根的情况,乃是解决此类含参问题的一般方法, 这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法,突出了“导数 ”与“ 在 处取得极值”的必要关系。 例 8、 (1)已知 的最大值为 3,最小值为 -29,求 的值; (2)设 ,函数 的最大值为 1, 最小值为 ,求常数 的值。 解: (1)这里 ,不然 与题设矛盾 令 ,解得 或 x=4(舍去) (Ⅰ)若 ,则当 时, , 在 内递 增; 当 时, , 在 内递减 又 连续,故当 时, 取得最大值 ∴由已知得 而 ∴此时 的最小值为 ∴由 得 (Ⅱ)若 ,则运用类似的方法可得 当 时 有最小 值,故有 ; 又 ∴当 时, 有最大值, ∴由已知得 于是综合(Ⅰ)(Ⅱ)得所求 或 (2) , 令 得 解得 当 在 上变化时, 与 的变化情况如下表: -1 (-1,0) 0 1 + 0 — 0 + 极大值 极小值 ∴当 时, 取得极大值 ;当 时, 取得极小 值 。 由 上 述 表 格 中 展 示 的 的 单 调 性 知 ∴ 最大值在 与 之中, 的最小值在 和 之中, 考察差式 , 即 , 故 的最大值为 由此得 考察差式 ,即 , ∴ 的最小值为 由此得 ,解得 于是综合以上所述得到所求 。 五、高考真题 (一)选择题 1、设 , , ,…, , ,则 ( )。 A 、 B 、 C 、 D、 分析:由题意得 , , , , ∴ 具有周期性,且周期为 4, ∴ ,应选 C。 2、函数 有极值的充要条件为( ) A、 B、 C、 D、 分析: ∴当 时, 且 ; 当 时,令 得 有解, 因此 才有极值,故应选 C。 3、设 , 分别是定义在 R 上的奇导数和偶导数,当 时, ,且 ,则不等式 的解集 是( ) A、(-3,0)∪(3,+∞) B、(-3,0)∪(0,3) C、(-∞,-3)∪(3,+∞) D、(-∞,-3)∪(0,3) 分析:为便于描述,设 ,则 为奇导数,当 时, ,且 ∴根据奇函数图象的对称性知, 的解集为(-∞,-3)∪ (0,3),应选 D。 二、填空题 1 过原点作曲线 的切线,则切点坐标为 ,切 线的斜率为 。 分析:设切点为 M ,则以 M 为切点的切线方程为 ∴由曲线过原点得 ,∴ , ∴切点为 ,切线斜率为 。 点评:设出目标(之一)迂回作战,则从切线过原点切入,解题 思路反而简明得多。 2 曲线 在点 处的切线与 x 轴,直线 所围成 的三角形面积为 ,则 = 。 分析: ∴曲线 在点 处的切线方程为 即 切线与 x 轴交点 , 又直线 与切线交点纵坐标为 , ∴上述三角形面积 , 由此解得 即 3 曲 线 与 在 交 点 处 的 切 线 夹 角 是 (以弧度数作答) 分析:设两切线的夹角为 ,将两曲线方程联立,解得交点坐 标为 又 , 即两曲线在点 处的切线斜率分别为-2,3 ∴ , ∴ ,应填 。 (三)解答题 1 已知 ,讨论导数 的极值点的个数。 解析:先将 求导, 即 。 当 时, 有两根,于是 有两极值点。 当 时, , 为增函数, 没极值点。 本题考查导数的应用以及二次方程根、“ ”等知识。 解答: 令 ,得 1、当 即 或 时,方程 有两个不同的实根 、 , 不防设 , 于是 ,从而有下表: + 0 — 0 + ↗ 为极大值 ↘ 为极小值 ↗ 即此时 有两个极值点; 2、当 即 时,方程 有两个相 同的实根 , 于是 ,故当 时, ;当 时, ,因此 无极值; 3、当 即 时, , 而 , 故 为增函数。此时 无极值; ∴当 时, 有两个极值点;当 时, 无 极值点。 2 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 。 (Ⅰ)求函数 的解析式; (Ⅱ)求函数 的单调区间。 解析: (1)由 在切线上,求得 ,再由 在 函数图象上和 得两个关于 的方程。 (2)令 ,求出极值点, 求增区间, 求 减区间。 此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。 解答 (Ⅰ)由函数 的图象在点 处的切线方程为 知: ,即 , ∴ 即 解得 所以所求函数解析式 (Ⅱ) 令 解得 当 或 时, 当 时, 所 以 在 内 是 减 函 数 , 在 内是增函数。 3 已知 是函数 的一个极值点,其 中 (Ⅰ)求 与 的关系表达式; (Ⅱ)求 的单调区间; (Ⅲ)当 时,函数 的图象上任意一点的切线斜率 恒大于 3m,求 的取值范围。 解析:(1)本小题主要考查了导数的概念和计算,应用导数研究 函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想,第 2 小题要根据 的符号,分类讨论 的单调区间;第 3 小题是二次三项式在一个 区间上恒成立的问题,用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式 在一个区间上的符号,体现出将一般性问题特殊化的数学思想。 解答: (Ⅰ) , 是函数 的一个极值 点 ∴ ∴ ; ( Ⅱ ) 令 ,得 与 的变化如下表: 1 — 0 + 0 — 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 因此, 的单调递减区间是 和 ; 的单调 递增区间是 ; ( Ⅲ ) 由 ( Ⅱ ) 即 令 , 且 , 即 m 的取值范围是 。 4 已知函数 。 (Ⅰ)求 的单调区间和值域; (Ⅱ)设 ,函数 ,若对于任意 ,总存在 ,使得 成立,求 的取值范围。 解析:本题考查导数的综合运用,考查综合运用数学知识解决问 题能力,考查思维及推理能力以及运算能力,本题入手点容易, (Ⅰ)中对分式函数定区间内单调性与值域问题,往往以导数为 工具, (Ⅱ)是三次函数问题,因而导数法也是首选,若 成 立,则二次函数值域必满足 关系,从而达到求解目的。 解: (Ⅰ)由 得 或 。 ∵ ∴ (舍去) 则 , , 变化情况表为: 0 1 — 0 + ↘ ↗ 因而当 时 为减函数;当 时 为增函数; 当 时, 的值域为 ; (Ⅱ) 因此 ,当 时 因 此 当 时 为 减 函 数 , 从 而 当 时 有 又 ,即当 时有 任给 , ,存在 使得 则 由(1)得 或 ,由(2)得 又 故 的取值范围为 。 5 已知 ,函数 (1)当 为何值时, 取得最小值?证明你的结论; (2)设 在 上是单调函数,求 的取值范围。 解析:本题考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方 法及推理和运算能力,本题(Ⅰ)常规题型,方法求 ,解 的根,列表,确定单调性,并判断极值点,对(Ⅱ)由(Ⅰ) 在 上单调,而 ,因此只要 即 满足题设条件,从中解出 的范围。 解答:(Ⅰ) 令 则 从而 ,其中 当 变化时, , 的变化情况如下表 + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴ 在 处取得极大值, 处取得极小值 当 时 , ,且 在 为减函数,在 为增函数 而当 时 ,当 时 ∴当 时 取最小值; (Ⅱ)当 时 在 上为单调函数的充要条件是 ,解得 综上, 在 上为单调函数的充要条件为 , 即 的取值范围为) 。 6.已知 ,函数 (Ⅰ)当 时,求使 成立的 成立的 的集合; (Ⅱ)求函数 在区间 上的最小值。 答案: (Ⅰ){0,1, } (Ⅱ) 解答: (Ⅰ)由题意, , 当 时 ,解得 或 , 当 时 ,解得 综上,所求解集为{0,1,1+ } (Ⅱ)设此最小值为 m ① 当 时,在区间[1,2]上, , 因为 ), 则 是区间[1,2]上的增函数,所以 ② 时,在区间[1,2], 由 知 ; ③ 当 时,在区间[1,2]上, 如果 在区间(1,2)内, 从而 在区间[1,2]上为增函数,由此得 ; 如果 则 。 当 时, ,从而 为区间[1, ]上的增 函数; 当 时, ,从而 为区间[ ,2]上的 减函数 因此,当 时, 或 。 当 时, 故 当 时 . 综上所述,所求函数的最小值 7、 (Ⅰ)设函数 求 的最小 值; ( Ⅱ ) 设 正 数 满 足 , 证 明 。 解析:本题考查数学归纳法及导数应用等知识,考查综合运用数 学知识解决问题的能力。(Ⅰ)已知函数为超越函数,若求其最小值, 则采用导数法,求出 ,解 得 ,再判 断 与 时 的符号,确定 为极小值点,也是函数的 最小值,对(Ⅱ)直接利用数学归纳法证明,但由 到 过 渡是难点。 解答: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,1) 令 当 时,f′(x)<0, ∴f(x)在区间 是减函数; 当 时,f′(x)>0, ∴f(x)在区间 是增函数。 ∴f(x)在 时取得最小值且最小值为 (Ⅱ)用数学归纳法证明 (i)当 n=1 时,由(Ⅰ)知命题成立; (ii)假定当 n=k 时命题成立,即若正数 满足 ,则 当 n=k+1 时,若正数 满足 令 , 则 为正数,且 由归纳假定知 ① 同理,由 ,可得 ≥(1-x)(-k)+(1-x)log2(1-x). ② 综合①、②两式 ≥[x+(1-x)](-k)+xlog2x+(1-x)log2(1-x) ≥-(k+1). 即当 n=k+1 时命题也成立。 根据(i)、(ii)可知对一切正整数 n 命题成立。 8 函数 在区间 内可导,导函数 是减函数,且 ,设 , 是曲线 在点 处的 切线方程,并设函数 (Ⅰ)用 、 、 表示 m; (Ⅱ)证明:当 时, (Ⅲ)若关于 x 的不等式 在 上恒成立, 其中 a、b 为实数,求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系。 解答: ( I ) 在 点 处 的 切 线 方 程 为 即 因而 ; (Ⅱ)证明:令 ,则 因为 递减,所以 递增,因此,当 时, ; 当 时, , 所以 是 唯一的极值点,且是极小值点,可知 的最小 值为 0 因此 0 即 ; (Ⅲ) 解法一: 是不等式成立的必要条件,以下设此条件 成立。 ,即 对任意 成立的充要 条件是 , 另一方面,由于 满足前述题设中关于 的条件, 利用(Ⅱ)的结果可知, 的充要条件是:过点 与曲 线 相切的直线的斜率不大于 , 该切线的方程为: , 于是 的充要条件是 综上,不等式 对任意 成立的充要条 件是 ① 显然,存在 使①式成立的充要条件是:不等式 ② 有解,解不等式②得 ③ 因此,③式即为 的取值范围,①式即为实数 与 所满足的 关系。 (Ⅲ) 解法二: 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此 条件成立。 ,即 对任意 成立的充要条 件是 令 ,于是 对任意 成立的充 要条件是 。 由 得 当 时, ;当 时, ,所以,当 时, 取最小值。因此 成立的充要条件是 ,即 综上,不等式 对任意 成立的充要条件 是 ① 显然,存在 a、b 使①式成立的充要条件是:不等式 ② 有 解 , 解 不 等 式 ② 得 ③ 因此,③式即为 b 的取值范围,①式即为实数 a 与 b 所满足的 关系。 点评:本题考查导数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以 及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的关系,考查考生的学习能 力,抽象思维能力,以及综合运用数学基本关系解决问题的能力。对 (Ⅰ),曲线 在点 处切线斜率为 ,切线方 程为 , 即 ,因而 ;对(Ⅱ) 即证明 在 时恒成立,构造函数 则 ∵ ∴ ∴ ,则 由 递减 ∴ 递增,则当 时 , 当 时, , 则 是 的极值点,且为极小值点, 所 以 极 小 值 为 ,即 恒成立, 因而 ;对(Ⅲ)有两种思考方法,是该题难点,其求 解过程比较详细。 9.设点 和抛物线 其中 由以下方法得到: ,点 在抛物线 上,点 到 的距离是 到 上点的最短 距离,…,点 在抛物线 上,点 到 的距离是 到 上点的最短距离。 (Ⅰ)求 及 的方程; (Ⅱ)证明 是等差数列。 解答: (Ⅰ)由题意得 设点 是 上任一点 则 令 则 由题意得: 即 又 在 上,∴ 解得 故 方程为: (Ⅱ)设点 是 上任意一点。 则 令 由题意得 即 又∵点 在 上 ∴ ∴ 即 下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时, ,等式成立。 ②假设 n=k 时,等号成立,即 则当 n=k+1 时,由(*)知: 又 ∴ 即当 n=k+1 时,等式成立 由①②知,等式 成立 ∴ 是等差数列 点评: (Ⅰ)设 为 上任一点 ∵ ,换句话说:在点 处 取得最小值。 令 ∴ 此为关键 (Ⅱ)方法同(Ⅰ)推导出: 然后用数 学归纳法证明。 10. 已知函数 (Ⅰ)求函数 的反函数 及 的导数 ; (Ⅱ)假设对任意 , 不等式 成立,求实数 m 的取值范围。 解答: (Ⅰ)解:由 ,得 , 所以 (Ⅱ) 解法 1 由 ,得 即 对 于 恒 有 ① 设 ,于是不等式①化为 ② 当 , 、 时, , , 所以 都是增函数。 因此当 时, 的最大值为 的最小值为 而不等式②成立当且仅当 ,即 , 于是得 解法 2:由 ,得 , 设 , 于是原不等式对于 恒成立等价于 ③ 由 , , 注意到 ,故有 , , 从而可知 与 均在 上单调递增, 因 此 不 等 式 ③ 成 立 当 且 仅 当 , 即