2020_2021学年新教材高中数学第2章常用逻辑用语2 7页

‎2.2　充分条件、必要条件、充要条件 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)‎ ‎2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)‎ ‎3．理解性质定理、判定定理和定义与充分条件和必要条件之间的关系．(重点)‎ ‎4．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)‎ ‎1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．‎ ‎2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养．‎ ‎“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？‎ ‎(1)习近平总书记在‎2020年3月26日出席二十国集团领导人应对新冠肺炎特别峰会上讲话中指出：“只要我们同舟共济、守望相助，就一定能够彻底战胜疫情，迎来人类发展更加美好的明天！”．‎ ‎(2)“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”(《人民日报》)．‎ ‎1．充分条件与必要条件 命题真假 ‎“若p，则q”是真命题 ‎“若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 ‎“p⇒q”含义的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立．即p对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立；即q对p的成立是充分的．‎ 思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？‎ ‎(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？‎ ‎[提示]　(1)相同，都是p⇒q．(2)等价．‎ - 7 -‎ ‎2．充要条件 ‎(1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件．‎ 为了方便起见，p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”或“p等价于q”“⇒”和“⇔”都具有传递性，即 ‎①如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s；‎ ‎②如果p⇔q, q⇔s，则p⇔s；‎ ‎(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．‎ ‎(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．‎ ‎(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．‎ 思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？‎ ‎(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？‎ ‎[提示]　(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q．‎ ‎(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．‎ ‎②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．‎ ‎3．性质定理和判定定理与充分必要条件的关系 ‎(1)性质定理是某类对象具有的具体特征，所以性质定理具有“必要性”；‎ ‎(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征，所以判定定理具有“充分性”；‎ ‎(3)数学中的定义既可以作为判定，也可以作为性质．即数学中的定义具有“充要性”．‎ ‎1．“同位角相等”是“两直线平行”的(　　 )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　C ‎2．使x>3成立的一个充分条件是(　　)‎ A．x>4 B．x>0 ‎ C．x>2 D．x<2‎ A　[只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3．]‎ ‎3．使x>3成立的一个必要不充分条件是(　　)‎ A．x>4 B．x<4 ‎ C．x>2 D．x<2‎ C　[因为x>3⇒x>2，x>2x>3，所以选C．]‎ - 7 -‎ ‎4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥‎2”‎是“x2＋y2≥‎4”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥‎2”‎是“x2＋y2≥‎4”‎的充分不必要条件．]‎ 充分条件、必要条件的判断 ‎【例1】　指出下列各题中p是q的什么条件．‎ ‎(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0．‎ ‎(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．‎ ‎(3)p：a＞b，q：ac＞bc．‎ ‎[解]　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．‎ ‎(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．‎ ‎(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，‎ 故p是q的既不充分也不必要条件．‎ 定义法判断充分条件、必要条件 (1)确定谁是条件，谁是结论.‎ (2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件.‎ (3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.‎ ‎1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．‎ ‎(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．‎ ‎(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0．‎ ‎[解]　(1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，‎ 所以p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎(2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要条件．‎ - 7 -‎ 充分条件、必要条件、充要条件的应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？‎ ‎[提示]　若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA．‎ ‎2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？‎ ‎[提示]　若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．‎ ‎【例2】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ．‎ ‎[思路点拨]　 ‎ ‎{m|m≥9}　[因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp．‎ 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以或解得m≥9．‎ 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]‎ ‎1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．‎ ‎[解]　因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq．‎ 则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}，‎ 所以，解得0‎0”‎是“x≠‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由“x>‎0”‎⇒“x≠‎0”‎，反之不一定成立．因此“x>‎0”‎是“x≠‎0”‎的充分不必要条件．]‎ ‎3．已知：A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}, x，y∈Z，则x，y∈A是x＋y∈B的 条件．‎ ‎(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)‎ 既不充分又不必要　[若x＝2，y＝4, 则x＋y＝6B；因为1＋3＝4∈B，但1,‎3A．]‎ ‎4．已知p：实数x满足‎3a