【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第四章三角函数、解三角形4-5简单的三角恒等变换 13页

第2课时　简单的三角恒等变换 题型一　三角函数式的化简与求值 例1　(1)化简：＝ .‎ ‎(2)计算：＝ .‎ 答案　(1)cos 2x　(2)－4‎ 解析　(1)原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝cos 2x.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝－4.‎ 思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.‎ ‎(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.‎ ‎　(1)计算：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)＝ .‎ ‎(2)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为 .‎ 答案　(1)－1　(2)－ 解析　(1)原式＝·cos 10°()‎ ‎＝ ‎＝＝－＝－1.‎ ‎(2)cos 2α＝sin ‎＝sin ‎＝2sincos 代入原式，得 ‎6sincos＝sin，‎ ‎∵α∈，∴cos＝，‎ ‎∴sin 2α＝cos ‎＝2cos2－1＝－.‎ 题型二　三角函数的求值 命题点1　给值求值问题 例2　(1)(2017·盐城、南京联考)已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ .‎ 答案　 解析　∵α为锐角，‎ ‎∴sin α＝ ＝.‎ ‎∵α，β∈(0，)，∴0<α＋β<π.‎ 又∵sin(α＋β)，‎ ‎∴cos(α＋β)＝－.‎ cos β＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ‎＝－×＋×＝＝.‎ ‎(2)(2015·广东)已知tan α＝2.‎ ‎①求tan(α＋)的值；‎ ‎②求的值.‎ 解　①tan(α＋)＝ ‎＝＝－3.‎ ‎② ‎＝ ‎＝＝＝1.‎ 命题点2　给值求角问题 例3　(1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为 .‎ ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为 .‎ 答案　(1)　(2)－ 解析　(1)∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，‎ ‎∴cos α＝－，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.‎ 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(，2π)，‎ ‎∴α＋β＝.‎ ‎(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]‎ ‎＝ ‎＝＝>0，‎ ‎∴0<α<.‎ 又∵tan 2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝ ‎＝＝1.‎ ‎∵tan β＝－<0，‎ ‎∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ 引申探究 本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ .‎ 答案　 解析　∵α，β为锐角，∴cos α＝，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ‎＝×－×＝.‎ 又0<α＋β<π，∴α＋β＝.‎ 思维升华　(1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；‎ ‎(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.‎ ‎　(1)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则2α－β＝ .‎ ‎(2)(2016·南京检测)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α＋β的值是 ‎ .‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)由tan α＝，得＝，‎ 即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，‎ 所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin(－α)，‎ 所以sin(α－β)＝sin(－α)，‎ 又因为α∈(0，)，β∈(0，)，‎ 所以－<α－β<，0<－α<，‎ 因此α－β＝－α，所以2α－β＝.‎ ‎(2)因为α∈[，π]，sin 2α＝>0，‎ 所以2α∈[，π]，‎ 所以cos 2α＝－且α∈[，]，‎ 又因为sin(β－α)＝>0，β∈[π，]，‎ 所以β－α∈[，π]，‎ 所以cos(β－α)＝－，‎ 因此sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]‎ ‎＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α ‎＝×(－)＋(－)× ‎＝－，‎ cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]‎ ‎＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ‎＝(－)×(－)－×＝，‎ 又α＋β∈[，2π]，所以α＋β＝.‎ 题型三　三角恒等变换的应用 例4　(2016·天津)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性.‎ 解　(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}.‎ f(x)＝4tan xcos xcos－ ‎＝4sin xcos－ ‎＝4sin x－ ‎＝2sin xcos x＋2sin2x－ ‎＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ‎＝sin 2x－cos 2x＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是 ，k∈Z.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 设A＝，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝.‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.‎ 思维升华　三角恒等变换的应用策略 ‎(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用.‎ ‎(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.‎ ‎　已知函数f(x)＝cos x·sin(x＋)－cos2x＋，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值.‎ 解　(1)由已知，有 f(x)＝cos x·(sin x＋cos x)－cos2x＋ ‎＝sin x·cos x－cos2x＋ ‎＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝sin(2x－).‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，‎ f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，‎ 所以函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－.‎ ‎9.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 典例　(14分)(2015·重庆)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最大值；‎ ‎(2)讨论f(x)在上的单调性.‎ 思想方法指导　(1)讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数.‎ ‎(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图象解决.‎ 规范解答 解　(1)f(x)＝sinsin x－cos2x ‎＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－， [5分]‎ 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为. [7分]‎ ‎(2)当x∈时，0≤2x－≤π， [8分]‎ 从而当0≤2x－≤，‎ 即≤x≤时，f(x)单调递增， [10分]‎ 当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减. [12分]‎ 综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减. [14分]‎ ‎1.sin 15°＋sin 75°的值是 .‎ 答案　 解析　sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°‎ ‎＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.‎ ‎2.(2016·全国甲卷改编)若cos＝，则sin 2α＝ .‎ 答案　－ 解析　因为sin 2α＝cos＝2cos2－1，又因为cos＝，所以sin 2α＝2×－1＝－.‎ ‎3.已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝ .‎ 答案　－ 解析　(sin α＋2cos α)2＝，展开得3cos2α＋4sin αcos α＝，再由二倍角公式得cos 2α＋2sin 2α＝0，‎ 故tan 2α＝＝－＝－.‎ ‎4.函数f(x)＝cos ·(sin －cos )的最小正周期为 .‎ 答案　2π 解析　因为f(x)＝cos (sin －cos )‎ ‎＝sin x－(cos x＋1)‎ ‎＝sin(x－)－，‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎5.(2016·江苏扬州中学四模)函数y＝sin α(sin α－cos α) (α∈[－，0])的最大值为 .‎ 答案　＋ 解析　y＝sin α(sin α－cos α)＝sin2α－sin αcos α ‎＝－sin 2α＝－cos 2α－sin 2α ‎＝－sin(2α＋).‎ ‎∵α∈[－，0]，∴－≤2α＋≤，‎ ‎∴当2α＋＝－时，函数取最大值ymax＝＋.‎ ‎6.函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)的图象关于点对称，则f(x)的单调递增区间为 .‎ 答案　，k∈Z 解析　∵f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)‎ ‎＝2sin，‎ 由题意知2×＋θ＋＝kπ(k∈Z)，‎ ‎∴θ＝kπ－π(k∈Z).‎ ‎∵|θ|＜，∴θ＝.‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ 由2kπ－≤2x＋π≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－π≤x≤kπ－(k∈Z).‎ ‎7.若f(x)＝2tan x－，则f的值为 .‎ 答案　8‎ 解析　∵f(x)＝2tan x＋ ‎＝2tan x＋＝＝，‎ ‎∴f＝＝8.‎ ‎8.若锐角α、β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝ .‎ 答案　 解析　由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，‎ 可得＝，即tan(α＋β)＝.‎ 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.‎ ‎9.化简：＝ .‎ 答案　－4 解析　原式＝ ‎＝＝ ‎＝＝＝－4.‎ ‎10.设α∈(0，)，β∈(，)，且5sin α＋5cos α＝8，‎ sin β＋cos β＝2，则cos(α＋β)的值为 .‎ 答案　－ 解析　由5sin α＋5cos α＝8，‎ 得sin(α＋)＝，‎ ‎∵α∈(0，)，∴<α＋<，‎ ‎∴cos(α＋)＝.‎ 由sin β＋cos β＝2，‎ 得sin(β＋)＝，∵β∈(，)，‎ ‎∴<β＋<π，∴cos(β＋)＝－.‎ ‎∴cos(α＋β)＝sin[＋(α＋β)]‎ ‎＝sin[(α＋)＋(β＋)]‎ ‎＝sin(α＋)cos(β＋)＋cos(α＋)sin(β＋)‎ ‎＝－.‎ ‎11.已知函数f(x)＝sin(x＋)＋cos x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值，并写出当f(x)取得最大值时x的取值集合；‎ ‎(2)若α∈(0，)，f(α＋)＝，求f(2α)的值.‎ 解　(1)f(x)＝sin(x＋)＋cos x ‎＝sin x＋cos x＋cos x ‎＝sin x＋cos x＝sin(x＋).‎ 当x＋＝2kπ＋(k∈Z)，‎ 即x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值.‎ 此时x的取值集合为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝sin(x＋)，‎ 又f(α＋)＝，‎ 所以sin(α＋＋)＝cos α＝，‎ 即cos α＝.因为α∈(0，)，所以sin α＝，‎ 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，‎ cos 2α＝2cos2α－1＝－.‎ 所以f(2α)＝sin(2α＋)＝sin 2α＋cos 2α ‎＝×－×＝.‎ ‎12.已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.‎ ‎(1)求f()的值；‎ ‎(2)若sin α＝，且α∈(，π)，求f(＋).‎ 解　(1)f()＝cos2＋sincos ‎＝()2＋×＝.‎ ‎(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x ‎＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin(2x＋)，‎ 所以f(＋)＝＋sin(α＋＋)‎ ‎＝＋sin(α＋)＝＋(sin α＋cos α).‎ 又因为sin α＝，且α∈(，π)，‎ 所以cos α＝－，‎ 所以f(＋)＝＋(×－×)‎ ‎＝.‎ ‎13.(2015·安徽)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ 解　(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，‎ 所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.‎ 当x∈时，2x＋∈，‎ 由正弦函数y＝sin x在上的图象知，‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.‎ 综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.‎