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- 2021-06-15 发布
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2007年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）
1. 函数f(x)=lg(4-x)x-3的定义域为________．
2. 已知l1:2x+my+1=0与l2:y=3x-1，若两直线平行，则m的值为________．
3. 函数f(x)=xx-1的反函数f-1(x)=________
4. 方程9x-6⋅3x-7＝0的解是________．
5. 已知x，y∈R+，且x+4y＝1，则xy的最大值为________．
6. 函数f(x)=sin(x+π3)sin(x+π2)的最小正周期是T=________
7. 有数字1、2、3、4、5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为________
8. 已知双曲线x24-y25=1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为________
9. 对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：
①a+1a≠0；②(a+b)2＝a2+2ab+b2；
③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a2＝ab，则a＝b．
那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是________．
10. 平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2．试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件________．
11. 已知圆的方程x2+(y-1)2=1，P为圆上任意一点（不包括原点）．直线OP的倾斜角为θ弧度，|OP|=d，则d=f(θ)的图象大致为________．
二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）
12. 已知a，b∈R，且2+ai，b+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根，那么p，q的值分别是（ ）
A.p=-4，q=5 B.p=-4，q=3 C.p=4，q=5 D.p=4，q=3
13. 设a，b是非零实数，若a1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，22...2m-1成为数列中的连续项；当m>1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008．
21. 已知半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x≤0)组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a>0，b>c>0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A1A|>|B1B|，求ba的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．
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参考答案与试题解析
2007年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）
1.{x|x<4且x≠3}
2.-23
3.xx-1(x≠1)
4.x＝log37
5.116
6.π
7.0.3
8.y2=12(x+3)
9.②④
10.s1 // s2，并且t1与t2相交（t1 // t2，并且s1与s2相交）
11.
二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）
12.A
13.C
14.B
15.D
三、解答题（共6小题，满分90分）
16.解：由题意，可得体积V=CC1⋅S△ABC=CC1⋅12⋅AC⋅BC=12CC1=1，
∴ AA1=CC1=2．
连接BC1．
∵ A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，
∴ A1C1⊥平面BB1C1C，
∴ ∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．BC1=CC12+BC2=5，
∴ tan∠A1BC1=A1C1BC1=15，
则∠A1BC1=arctan55；
即直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan55．
17.解：由题意，得cosB=35，B为锐角，sinB=45，
sinA=sin(π-B-C)=sin(3π4-B)=7210，
由正弦定理得c=107，
∴ S=12ac⋅sinB=12×2×107×45=87．
18.解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为36%，38%，40%，42%．
则2006年全球太阳电池的年生产量为670×1.36×1.38×1.40×1.42≈2499.8（兆瓦）．
（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则1420(1+x)42499.8(1+42%)4≥95%．解得x≥0.615．
因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%．
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19.解：(1)当a=0时，f(x)=x2对任意x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)，有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，
∴ f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)=x2+ax(x≠0，常数a∈R)，
取x=±1，得f(-1)+f(1)=2≠0，
f(-1)-f(1)=-2a≠0，
∴ f(-1)≠-f(1)，f(-1)≠f(1)．
∴ 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设2≤x1<x2，
f(x1)-f(x2)=x12+ax1-x22-ax2=(x1-x2)x1x2[x1x2(x1+x2)-a]，
要使函数f(x)在x∈[2, +∞)上为增函数，
必须f(x1)-f(x2)<0恒成立．
∵ x1-x2<0，x1x2>4，
即a4，∴ x1x2(x1+x2)>16，
∴ a的取值范围是(-∞, 16]．
20.解：（1）设{bn}的公差为d，则b4=b1+3d=2+3d=11，解得d=3，∴ 数列{bn}为2，5，8，11，8，5，2．
（2）S2k-1=c1+c2+...+ck-1+ck+ck+1+...+c2k-1=2(ck+ck+1+...+c2k-1)-ck，
S2k-1=-4(k-13)2+4×132-50，
∴ 当k=13时，S2k-1取得最大值．S2k-1的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
①1，2，22，2m-2，2m-1，2m-2，22，2，1；
②1，2，22，2m-2，2m-1，2m-1，2m-2，22，2，1；
③2m-1，2m-2，22，2，1，2，22，2m-2，2m-1；
④2m-1，2m-2，22，2，1，1，2，22，2m-2，2m-1．
对于①，当m≥2008时，S2008=1+2+22+...+22007=22008-1．
当15002b，即a2-b2>2b-a．
∵ (2b)2>b2+c2=a2，∴ a2-b2>(2b-a)2，得ba<45．
又b2>c2=a2-b2，
∴ b2a2>12．∴ ba∈(22,45)．
（3）设“果圆”C的方程为x2a2+y2b2=1(x≥0)，y2b2+x2c2=1(x≤0)．
记平行弦的斜率为k．
当k=0时，直线y=t(-b≤t≤b)与半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)的交点是P(a1-t2b2，t)，
与半椭圆y2b2+x2c2=1(x≤0)的交点是Q(-c1-t2b2，t)．
∴ P，Q的中点M(x, y)满足y=t˙得x2(a-c2)2+y2b2=1．
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∵ a<2b，∴ (a-c2)2-b2=a-c-2b2⋅a-c+2b2≠0．
综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当k>0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)的交点是(2ka2bk2a2+b2，k2a2b-b3k2a2+b2)．
由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点为(ka2bk2a2+b2，-b3k2a2+b2)，轨迹在直线y=-b2ka2x上，即不在某一椭圆上．
当k<0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
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