高考数学专题复习练习：9-5 专项基础训练 9页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．(2017·辽宁沈阳一模)△ABC的两个顶点为A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长为18，则C点的轨迹方程为(　　)‎ A.＋＝1(y≠0)　　　 　　B.＋＝1(y≠0)‎ C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)‎ ‎【解析】 ∵△ABC的两顶点为A(－4，0)，B(4，0)，周长为18，∴AB＝8，BC＋AC＝10.‎ ‎∵10＞8，∴点C到两个定点A，B的距离之和等于定值，且满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，2a＝10，2c＝8，∴b＝3.∴椭圆的标准方程是＋＝1(y≠0)．故选D.‎ ‎【答案】 D ‎2．(2017·山西忻州模拟)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|F1F2|＝|PF2|，设直线PF2与椭圆交于M，N两点．若|MN|＝16，则椭圆的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎【解析】 因为点P(a，b)满足|F1F2|＝|PF2|，‎ 所以＝2c.‎ 整理得2e2＋e－1＝0，解得e＝.‎ 所以a＝2c，b＝c，‎ 椭圆的方程为3x2＋4y2＝12c2.‎ 直线PF2的方程为y＝(x－c)，将直线方程代入椭圆方程，整理得5x2－8cx＝0，解得x＝0或c，所以M(0，－c)，N，因此|MN|＝c＝16，所以c＝5，所以椭圆的方程为＋＝1，故选B.‎ ‎【答案】 B ‎3．(2017·江西南昌模拟)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，焦距为4.若P为椭圆C 上一点，且△PF1F2的周长为14，则椭圆C的离心率e为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 ∵焦距为4，∴c＝2.∵P为椭圆C上一点，且△PF1F2的周长为14，∴2a＋2c＝14，∴a＝5，∴椭圆C的离心率e＝＝.故选B.‎ ‎【答案】 B ‎4．(2017·河南郑州一模)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点．若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为(　　)‎ A. B．2－ C.－2 D.－ ‎【解析】 如图，设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m.若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m.由椭圆的定义，得△ABF1的周长为4a，即4a＝2m＋m，∴m＝2(2－)a.‎ ‎∴|AF2|＝2a－m＝2(－1)a.‎ 在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，‎ 即4c2＝4(2－)2a2＋4(－1)2a2，‎ ‎∴c2＝3(－1)2a2，e＝－，故选D.‎ ‎【答案】 D ‎5．(2016·长沙模拟)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一动点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为(　　)‎ A．3 B．3或 C. D．6或3‎ ‎【解析】 由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，所以该点P不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF1F2的面积为×2c×＝.‎ ‎【答案】 C ‎6．(2017·安徽黄山一模)已知圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e＝________．‎ ‎【解析】 圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F(1，0)，一个顶点为A(3，0)，所以c＝1，a＝3，因此椭圆的离心率为.‎ ‎【答案】 ‎7．(2017·海南海口模拟)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为2，则椭圆的标准方程为________．‎ ‎【解析】 由题意，得c＝，∴a2－b2＝c2＝3.∵∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为2，‎ ‎∴|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2，‎ ‎∴|PF1|·|PF2|＝8.‎ 又∵|PF1|＋|PF2|＝2a，由余弦定理得 ‎4c2＝12＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°‎ ‎＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝4a2－3×8，‎ 解得a2＝9，故b2＝6，因此椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎【答案】 ＋＝1‎ ‎8．(2016·北京东城模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是____________．‎ ‎【解析】 设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．‎ 由题意知解得a2＝16，b2＝12.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎【答案】 ＋＝1‎ ‎9．(2016·天津)设椭圆＋＝1(a＞)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)设F(c，0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2，又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4，所以，椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．‎ 设B(xB，yB)，由方程组消去y，‎ 整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.‎ 解得x＝2或x＝，‎ 由题意得xB＝，从而yB＝.‎ 由(1)知，F(1，0)，设H(0，yH)，有＝(－1，yH)，＝.‎ 由BF⊥HF，得·＝0，‎ 所以＋＝0，解得yH＝.‎ 因此直线MH的方程为y＝－x＋.‎ 设M(xM，yM)，‎ 由方程组消去y，‎ 解得xM＝.‎ 在△MAO中，∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|，即(xM－2)2＋y≤x＋y，化简得xM≥1，即≥1，解得k≤－，或k≥.‎ 所以，直线l的斜率的取值范围为∪.‎ ‎10．(2016·吉林实验中学)如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(1，0)，点H在椭圆上．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，过M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．‎ ‎【解析】 (1)设椭圆的左焦点为F1，‎ 根据已知，椭圆的左右焦点分别是F1(－1，0)，F2(1，0)，c＝1，‎ ‎∵H在椭圆上，‎ ‎∴2a＝|HF1|＋|HF2|＝＋＝6，‎ ‎∴a＝3，b＝2，‎ 故椭圆的方程是＋＝1.‎ ‎(2)证明 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则＋＝1，‎ ‎|PF2|＝＝ ‎＝ ，‎ ‎∵0＜x1＜3，‎ ‎∴|PF2|＝3－x1，‎ 在圆中，M是切点，‎ ‎∴|PM|＝＝ ‎＝ ＝x1，‎ ‎∴|PF2|＋|PM|＝3－x1＋x1＝3，‎ 同理：|QF2|＋|QM|＝3，‎ ‎∴|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|＝3＋3＝6，‎ 因此△PF2Q的周长是定值6.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．(2017·江西新余模拟)椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是(　　)‎ A．e≤ B．e≥ C.≤e≤ D．0＜e≤或≤e＜1‎ ‎【解析】 ∵椭圆C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，‎ ‎∴|PF1|＝×2c＝3c.‎ 由a－c≤|PF1|≤a＋c，‎ 解得≤≤.‎ ‎【答案】 C ‎12．(2017·重庆巴蜀中学模拟)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，·的最大值、最小值分别为(　　)‎ A．9，7 B．8，7‎ C．9，8 D．17，8‎ ‎【解析】 由题意可知椭圆的左右焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，设E(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝x2＋7(－3≤x≤3)，所以当x＝0时，·有最小值7，当x＝±3时，·有最大值8，故选B.‎ ‎【答案】 B ‎13．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．‎ ‎【解析】 由题意可得B，C，F(c，0)，则由∠BFC＝90°，得·＝·＝c2－a2＋b2＝0，化简得c＝a，则离心率e＝＝＝ ‎.‎ ‎【答案】 ‎14．(2016·浙江)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1)．‎ ‎(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；‎ ‎(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AP，‎ 由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，‎ 故x1＝0，x2＝－.‎ 因此|AP|＝|x1－x2|＝·.‎ ‎(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.‎ 记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.‎ 由(1)知，|AP|＝，‎ ‎|AQ|＝，‎ 故＝，‎ 所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.‎ 由于k1≠k2，k1，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，‎ 因此＝1＋a2(a2－2)，①‎ 因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.‎ 因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，由e＝＝得，所求离心率的取值范围为0＜e≤.‎ ‎15．(2016·四川)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.‎ ‎(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；‎ ‎(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值．‎ ‎【解析】 (1)由已知得，a＝b，‎ 则椭圆E的方程为＋＝1.‎ 由方程组得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①‎ 方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，‎ 此时方程①的解为x＝2，‎ 所以椭圆E的方程为＋＝1.‎ 点T坐标为(2，1)．‎ ‎(2)由已知可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，‎ 由方程组可得 所以P点坐标为，|PT|2＝m2.‎ 设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由方程组 可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②‎ 方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)，‎ 由Δ＞0，解得－＜m＜.‎ 由②得x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 所以|PA|＝ ‎＝，‎ 同理|PB|＝.‎ 所以|PA|·|PB|‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝m2.‎ 故存在常数λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.‎