高等数学的教学课件 1-2（数列的极限） 31页

第二节 数列的极限 一、数列极限概念的引入 二、整标函数与数列 三、数列极限的概念 四、有极限数列的性质 五、子列及其极限 六、 小结 一、数列极限概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 割圆术： 播放 ——刘徽 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 二、 整标函数与数列 定义 可看作一动点在数轴上依次取 数列的几何表示法: 数列对应着 数轴上一个点列： 例1. 写出通项 1. 有界性 如 , 有界 无界 注： 2.单调 性 如, 是单调增数列 都是单调减数列 单调减 三、数列极限的概念 问题 当 无限增大 时, 是否 无限接近 于某一确定的数值? 如果是, 该数值等于多少? 播放 当 n 无限增大 时, 无限接近 于1. 问题 : “ 无限接近 ”意味着什么? 如何用数学语言刻划? 我们知： 可以要多么小就多么小, 看 只要 n 充分大, 小到什么要求. 度量 有极限 A 的数列也称为 收敛 于 A , 没极限称为 发散 . 定义 注 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 所以, 注意： (1) (2) (3) (4) 给出度量 考察接近程度 套用定义格式 下结论 例2 证 典型极限 简化证明 甚至更简化为 例3 证 例4 证 典型极限 例5 证 从而 四、有极限数列的简单性质 性质1(唯一性) 若数列有极限，则极限是惟一的. 证 (反证法) 性质2(有界性) 证 由定义, 有界性是数列收敛的必要条件, 推论 注 收敛 的数列必定有界 . 无界数列必定发散 . 不是充分条件. 例6 证 区间长度为1. 不可能 同时 位于 长度为1 的区间内. 反证法 假设数列 收敛 ， 则有唯一极限 a 存在. 但却发散. 证毕. 性质3 （保号 性） 推论3 推论4 五、子列及其极限 注意： 例如， 是数列 的一个子数列。 定理4 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同． 证 证毕． 由此定理可知, 但若已知一个子数列发散, 或有两个子数列 收敛于不同的极限值, 可断定原数列是发散的. 一般不能断定原数列的收敛性; 仅从某一个子数列的收敛 例 试证数列 不收敛. 证 因为 的奇子数列 不收敛. 收敛于 而偶子数列 所以数列 收敛于 例 对数列 ，若 证明： 证明： 由 又由 证毕． 敛于 a . 数列 的奇子数列 和偶子数列 均收敛于同一常数 a 时, 则数列 也收 六、小结 作业 数列 数列极限 收敛数列的性质 收敛数列与其子数列间的关系. 研究其变化规律; 有界性, 唯一性, 保号性, 小结 极限思想, 精确定义, 几何意义;