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第三章 线性系统的时域分析 基本要求 （ 1 ） 熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。 （ 2 ） 了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。 （ 3 ） 正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。 在第二章中已经讲过，分析控制系统的第一步是推导系统的数学模型。一旦获得了系统的数学模型，就可以采用各种不同的分析方法分析控制系统的性能。 一般系统分析有三种方法 本章介绍控制系统的是域分析的一般方法 §3-1 时域分析基础 一旦建立起合理的、便于分析的控制系统数学模型，就可以运用适当的方法对系统的控制性能进行全面的分析和计算。本章我们主要给大家介绍时域分析方法。 一、时域分析的特点 时域分析的法是跟据系统的微分方程，以拉普拉斯变换为数学工具，直接解出控制系统的时间响应。然后依据响应的曲线或表达式来分析系统的 “稳、快、准” 并找出它们与系统结构间的关系。时域分析是一种直接分析法，易于被人们接受；此外，也是一种比较准确的方法，可以提供系统时间响应的全部信息。 二、典型初始状态、典型外作用 一个系统的时间响应 y(t ) ，不仅取决于该系统本身的结构、参数，而且还与系统的初始状态以及加在该系统上的外作用有关 1 、典型初始状态 前面我们已经介绍过自动控制原理书中用到微分方程均为增量方程，故控制系统的初始状态均为零状态 上式表明，在外作用加于系统的瞬间（ t=0 ）之前，系统无论是相对静止还是绝对静止状态被控量以及各阶导数相对于平衡工作点的增量为零 2 、典型外作用 典型外作用的选择应该是众多而复杂的实际外作用的一种近似和抽象。它的选择不仅应使数学运算简单，而且还应便于用实验来验证。理论工作者相信它，是因为它是一种实际情况的分解和近似；实际工作者相信它，是因为实验证明它确实是一种有效的手段。常用的典型外作用信号又 4 （ 5 ）种。 另外，在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种控制系统性能进行比较，要比较就必须设定相同的比较基准（基础）。这种基准可以通过下述方法来实现；预先设定一些特殊的实验输入信号，然后比较各种系统对这些输入信号的响应，再将这些响应情况进行比较分析。 为便于对系统分析和设计等实验研究，确定了具有代表性的五种信号作为典型信号。 1 、阶跃信号 式中： R 为常数。当 R=1 时，称为单位阶跃信号，记为 1(t) R(s )=L[1(t)]=1/s 为什么要选择单位阶跃信号作为典型信号呢？ 我们说是有实际意义的，大家都知道控制系统在启动合上电闸的瞬间都相当于接受一阶跃信号，而阶跃信号又是最危险的信号，因为它是以突变信号，若系统在此恶劣的情况下能够保证性能，其他情况也应没有问题了 。 R 2 、斜坡信号（ 匀速信号） 式中 ： R 为常数，当 R=1 时，称为单位斜坡信号，记作： r(t )=t ， R(s )= L[t ]=1/s 2 数控机床加工斜面时的进给指令，恒定电压输入的计分器的输出均为斜坡信号 3 、匀加速度信号（抛物线信号） 式中 ： R 为常数，当 R=1/2 时，称为单位抛物线信号，记作： ， R(s )= L[t ]=1/s 3 匀速度信号、匀加速度信号用来检验系统的跟踪性能的 4 、脉冲信号 1 ）、理想单位脉冲 这种信号在实际中难于构造 2 ）实际脉冲信号 在第二章，第七节中讨论过，满足三个条件时，此矩形脉冲可以看成单位脉冲信号 当 ---T 为系统的时间常数； --- 来源于工程经验数据； h 5 、正弦信号 式中： A 为振幅，是常数， w 为角频率； 为初始相位 二、为什么选这五种信号为典型信号 三、单位阶跃信号引起重视的原因 正弦信号主要用来进行频率特性分析。海浪对舰挺的扰动力，电源及机械振动均可视为正弦作用。 3-2 一阶系统的时域分析 在第二章我们已经知道给一阶系统定义 ， 凡是输出与输入之间可以一阶微分方程描述的，即称为一阶系统 故一阶系统的数学模型 对上述数学模型进行拉斯变换，得系统的传递函数 一、一阶系统的数学模型 一阶系统在实际中有很多，如前面已经讨论过得 RC 电路 r(t ) R C i 解：由电压平衡方程 C(t ) s(t =0) (1) (2) 由（ 1 ）式 ： 1/R R(s ) C(s ) _ I(s ) 由（ 2 ）式 ： 1/cs I(s ) C(s ) 故得 RC 电路的动态结构图 1/R R(s ) C(s ) _ I(s ) 1/cs C(s ) 由动态结构图的闭环系统的传递函数 R(s ) C(s ) 图中 T=RC 称为系统的时间常数 二、一阶系统的阶跃响应 单位阶跃信号的拉斯变换 R(s )=L[1(t)]=1/s, 所以有： 对上式两边进行拉斯反变换，得： R(s ) C(s ) 从上式可见，一阶系统的阶跃响应由两部分组成 “ 1 ” 与时间 t 无关的常数，成为稳态分量。 稳态分量是与输入信号有关的量。 “ “ 是与时间 t 有关的量，称为瞬态（动态）分量。 瞬态（动态）分量取决于系统的特征根。 t C(t ) 0 0 T 0.632 4T 0.982 1 一阶系统的 单位阶跃响应 对于一阶系统只要确定了时间常数 T ，该系统就被确定了。那应该如何确定时间常数 T? 由一阶系统的单位阶跃响应曲线可见： （ 1 ） 就是说一阶系统的单位阶跃响应曲线过零点的斜率为 1/T （ 2 ） 当 t=4T 时，系统的响应值达到稳态值的 98.2% ，误差 ( 1-0.982=0.018), 也就是说此时系统已基本进入稳定状态。 （ 3 ） 实际中，可用示波器记录下系统的响应曲线，在 C(t )=0.632 时，对应的时间 t 即为一阶系统的时间常数 T (4) ts =3T----5% 误差带 ts =4T---2% 误差带 ts 为系统的调整时间，所以时间常数 T, 反映了系统的惯性的大小， T 大表征系统的惯性大，故系统响应慢，反之，则表征系统响应快。 性能指标 1. 平稳性 ： 非周期、无振荡，  ＝ 0 2. 快速性 ts ： 3. 准确性 e ss ： 三、一阶系统的脉冲响应 由一阶系统传递函数 系统的脉冲响应 , 即 R(s ） =1 ，故得： t y(t ) 0 1/T T 0.368(1/T) 2T 0.135(1/T) 4T 0.018(1/T) 0 T 4T 0.368(1/T) 从图中可见： 一阶系统的单位脉冲响应是一单调下降的指数曲线，当 t=4T 时，系统基本衰减完毕，趋于稳定。可见 T 越小，系统的过渡持续时间越小。 四、一阶系统的单位斜坡响应 单位斜坡信号 r(t )=t R(s )= L[t ]=1/s 2 系统的跟踪误差： T y(t ) 这表明一阶系统在跟踪单位斜坡信号时，在过渡过程结束后，输入、输出之间仍然有一定的误差（跟踪误差），其值为时间常数 T 显然 T 小 五、一阶系统的单位加速度响应 单位加速度信号 这说明一阶系统无法跟踪加速度信号 举例： 例 （教材例 3-1 ）一阶系统结构图如下。试求该系统的单位阶跃响应及调节时间 t s 。要求 t s 小于 0.1 ，试问系统的反馈系数 K t 应如何选择？ 100/s Kt R(s ) - C(s ) 解： 由结构图得系统传递函数 由闭环传递函数得： 系统的单位阶跃响应为： 调整时间 3-3 二阶系统的时域分析 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制系统中应用的极为广泛，前面我们列举了不少的二阶系统，如 RLC 网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧 — 质块 --- 阻尼器系统等等，此外还有许多高阶系统在一定的条件下，可以简化为二阶系统。为此我们详细研究和分析二阶系统的特性是具有十分重要的意义的。 首先从实际的二阶物理系统结构中推导出二阶系统的数学模型，然后把数学模型化为二阶系统的标准形式 例： RCL 电路 U r U c L R i 解：根据克希夫定律： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 一、二阶系统传递函数的标准形式 由（ 1 ）式： Ur(s )= LsI(s)+Uc(s ) 1/Ls Uc Ur _ I(s ) 由（ 2 ）式 R I R (s ) Uc(s ) Ic(s ) 1/RCS I R (s ) 由（ 3 ）式 I R (s ) Ic(s ) I(s ) — 1/Ls Ur _ I(s ) Uc I R (s ) Ic(s ) — 1/RCS I R (s ) R Uc(s ) 1/Ls R _ Ur Uc(s ) 1/Ls R _ Ur Uc(s ) _ Ur Uc(s 由此得到 RCL 网络的传递函数 可见 LRC 网络为一二阶系统，将其传递函数化为标准形式 标准式 注意 前面介绍一阶系统是知道，一阶系统一个常数： T 二阶系统两个常数： 系统的性能取决于这些常数 二阶系统的动态结构图描述 — R(s ) Y(s ) 开环传递函数： 闭环传递函数 ： 二阶系统的特征方程为 解方程求得特征根： s 1 ,s 2 完全取决于 ， n 两个参数。 当输入为阶跃信号时，则二阶系统的阶跃响应的形式为 ： 式中： A 0 --- 二阶系统稳态输出部分，它取决于系统的输入信号，故 A 0 =1 --- 二阶系统瞬态输出部分，其主要 取决于 s 1 ,s 2 ，可见二阶系统的瞬态响应由系统的特征根 s 1 ,s 2 基本形式来决定。 特征根分析 当 时，我们将这样的二阶系统称为 欠阻尼系统 此时二阶系统的特征的根为： 此时 s 1 ,s 2 为一对共轭复根，且位于复平面的 左半部。 当 时，称此系统为 无阻尼系统 此时二阶系统的特征根为： 此时 s 1 ,s 2 为一对纯虚根，位于虚轴上。 S 1,2 =  jn 当 时，称为 临界阻尼系统 此时二阶系统的特征根为： 此时 s 1 ,s 2 为一对相等的负实根。 s 1 =s 2 =-n 当 时，称为 过阻尼系统 此时二阶系统的特征根为： 此时 s 1 ,s 2 为两个负实根，且位于复平面的负实轴上。 二、二阶系统的阶跃响应 下面我们就分别讨论这四种不同阻尼系数时，二阶系统的阶跃响应情况： 当 --- 欠阻尼情况 输入信号 r(t ) ， R(s )=1/s ，二阶系统的输出响应： 此时系统有一对共轭复根 将 s 1 ,s 2 代入 利用平方差公式 利用此式，确定待定系数 求 a 0 ，两边同乘 s ，并令 s=0 求 a 1 ， a 2 ： 将 (1) 两边同乘 ，得： （ 1 ） 所以，二阶系统单位阶跃响应为 ： 进行拉斯变换得： 将拉斯变换式代入，得： 教材（ 3-25) 1 二阶系统的单位阶跃响应分析 由求得单位阶跃响应函数，可见二阶系统的单位阶跃响应也是由两部分组成， （ 1 ） “ 1 ” 为稳态输出部分；它由输入信号决定。 （ 2 ） 瞬态输出部分 ，瞬态响应 是以 为幅值的正弦曲线，其幅值随着时间 t 增大，而减小。即输出的幅值是衰减的。 （ 3 ） 二阶系统的响应偏差 综合以上分析可见，二阶系统的单位阶跃响应有以下规律： 当 时，系统输出 y(t )=1-0=1 ，即系统逐渐趋于稳定。 系统的瞬态输出响应为衰减的振荡过程 振荡幅值 ： 振荡频率 ： 输出曲线 结论： 越大， ω d 越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之， 越小， ω d 越大，振荡越严重，平稳性越差。 2 、 当 --- 无阻尼情况 二阶系统的单位阶跃响应： 对上式两边进行拉斯变换，得： 将 代入 瞬态输出 系统有一对共轭纯虚根 2 ） 振荡频率 到目前为止我们介绍了两种频率 和 ；它们都有鲜明的物理意义 --- 为无阻尼 ( ) 振荡频率； --- 为有阻尼 ( ) 振荡频率 显然 等幅振荡 1 ） 无阻尼系统为一等幅的振荡过程（平均值 为 1 的等幅余弦振荡） 3 、 当 时 — 临界阻尼情况 二阶系统的单位阶跃响应： 将 代入 此时二阶系统有两个相同的负实根为： 对上式进行拉斯变换，得： 临界阻尼系统 从图中可见，当阻尼比 时，二阶系统的过渡过程是一个无超调的单调上升过程， 从 小于 1 变化到大于 1 ，其过渡过程则从有振荡变化到振荡消失。也就是说 是振荡与不振荡的分界，所以我们称 为临界阻尼。 4 、 当 时 --- 过阻尼情况 此式系统有两个不相同的负实根 二阶系统的单位阶跃响应： 式中： 对上式进行拉斯变换，得： 将 a,b 代入 从上式可见：当 时， s 2 将比 s 1 离虚轴要远的多，因此瞬态部分的第一项衰减的要比第二项快得多，因此系统的输出可近似地为 此时，二阶系统可简化为一个一阶系统。 过阻尼系统单位阶跃响应 1 t c(t ) 0 二阶过阻尼系统 一阶系统响应 1 与一阶系统阶跃响应的比较 归纳以上二阶系统的单位阶跃响应情况，其响应的瞬态过程随 结论 ： 当 时，系统的输出为一衰减的振荡过程 当 时，系统的输出为等幅振荡过程 当 时，系统的输出为单调的上升过程 在设计二阶系统时，一般选择 ---- 将此时的二阶系统称为 最佳二阶系统 因为，当 时的二阶系统其性能最好！它既能保证一定的快速性，同时振荡也不大等。 三、二阶系统的性能指标 通常，控制系统动态性能的好坏是通过系统的阶跃响应的一些指标来衡量的。为设计最佳二阶系统（欠阻尼系统）需要，我们定义的五项性能指标： 上升时间 t r 峰值时间 t p 最大超调量 调整时间（过渡过程时间） t s 振荡次数 N t ) ( t y ) ( p t y 1 p t s t 误差 带 0 1 ）上升时间 t r --- 指系统的输出曲线第一次到达稳态之所需的时间，（对于过阻尼过程来说，一般把从稳态值的 10% 上升到 90% 所需的时间定义为上升时间） 系统的输出： 按定义：有： 由于 t r 出现在第一个周期内： 2 、峰值时间 t p ---- 系统的输出响应曲线达到第一个峰值所需时间 按教材 P57 式（ 3-5b), 二阶系统的单位阶跃响应： 又因为峰值出现在第一个周期内 3 、超调量 ---- 在二阶系统的阶跃响应曲线中，超出稳态值的最大偏差量与稳态值之比，称为系统的超调量。 按定义 因最大超调量出现在 t= t p 处， 将 t p 代入 代入 4 、调整时间 t s ---- 系统的输出 y(t ) 与稳态值 [ y(t )=1] 之间的误差达到（ 2~5 ） % 而不在超出的过渡过程所花费的时间，称为调整时间。 按定义： 这里 ts 有多个 ，其中最小的 ts 即为方程的解，而直接从上面的方程中求解是比较困难的，为简单起见，可采用近似的的计算方法求得 ts . 由此求得 t s 特别提示 在设计二阶系统时，通常是根据最大超调量（ ）的要求确定 值，以 t s 的要求确定 ，当 和 确定后，二阶系统就设计完毕 5 、振荡次数 N ---- 在 t s 时间内 ( ) ， y(t ) 穿越稳态值 [ y(t )=1] 的次数的一半，称为振荡次数 振荡次数 N 振荡一次穿越稳态值两次 综合以上分析，可见： 参数 与系统性能指标的关系 1 ） --- 可提高系统的响应速度； 即： 2 ） --- 振荡性降低，即： 但会使 四、二阶系统举例 y 例（例 3-3 ）： 设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益 K A ＝ 200 ， 1500 ， 13.5 时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间 t p ，调节时间 t s 和超调量 ，并分析比较之。 例题解析 输入：单位阶跃 系统的闭环传递函数 当 K A ＝ 200 时 系统的闭环传递函数 ： 标准式 与标准的二阶系统传递函数对照得： 当 K A ＝ 1500 时 系统的闭环传递函数： 与标准的二阶系统传递函数对照得： 当 K A ＝ 13.5 时 系统的闭环传递函数 与标准的二阶系统传递函数对照得 无超调 调节时间： 系统尽管无超调，但调整时间过长 系统在单位阶跃作用下的响应曲线 利用 Matlab 可以很方便的对系统进行仿真分析 num1=5*200; den1=[1 34.5 5*200]; step(num1,den1); num2=5*1500; den2=[1 34.5 5*1500]; hold on step(num2,den2); num3=5*13.5; den3=[1 34.5 5*13.5]; hold on step(num3,den3) 改善二阶系统响应的措施 1. 误差信号的比例－微分控制 系统开环传函为： 未加误差信号的比例－微分闭环传函为： 增加误差信号的比例－微分闭环传函为： 将上式与标准式比较有： 增加误差信号的比例－微分环节后系统的等效阻尼比为： 可见，引入了比例－微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（和称为超前控制、 PD 调节器），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。 前面图的相应的等效结构 由此知道： 和 及 的大致形状如下 一方面，增加 项，增大了等效阻尼比 ，使 曲线比较平稳。另一方面，它又使 加上了它的微分信号 ，加速了 c(t ) 的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比 的平稳作用。 总结：引入误差信号的比例－微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数 。若 大一些，使 具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。 2. 输出量的速度反馈控制 将输出量的速度信号 y(t ) 采用负反馈形式，反馈导输入端并与误差信号 e(t ) 比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。 y(s ) 加入速度反馈后闭环传函为： 与二阶系统的标准式相比较得： 等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。 3. 比例－微分控制和速度反馈控制比较 从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。 从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。 从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。 总结 ① 系统的时间响应有两部分组成；即稳态响应瞬态响应，稳态响应取决于系统的输入信号，而瞬态响应取决于系统的特征根。 ② 瞬态响应的形式又取决于特征根的形式，如特征根为共轭复根（虚根）则系统的瞬态输出响应一定是一个震荡的过程，若特征根为实根，则系统的输出响应一定是一个单调的上升过程。 ③ 对于稳定的系统，瞬态分量随着时间的推移将趋于零，瞬态能否趋于零取决于特征根在 s 平面的位置。趋于零的速度快慢于特征根据虚轴的距离远近有关 五、具有闭环零点的二阶系统单位阶跃响应 设二阶系统具有如下形式，即 式中， s=-z 为二阶系统的闭环零点， z 为实零点 当 r(t )=1(t) 时，上式的阶跃响应 对于欠阻尼情况，该系统的闭环极点仍为 所以将上式写成部分分式的形式为 式中， A 1 ,A 2 ,A 3 用留数法（或其他方法）求得： 上式中： 故上式进行拉斯反变换，得： 根据上升时间 ts 、峰值时间 tp 、超调量以及过渡时间 ts 的定义，得出二阶系统具有闭环零点时的欠阻尼单位既阶跃响应的各项性能指标为： 式中 实践证明：闭环负实零点的主要作用在于加速二阶系统的响应过程，在响应过程的起始段这种加速作用尤为明显，但同时也削弱了系统的阻尼比。实践进一步说明，当 z=(2~5) 时，闭环负实零点对二阶系统阶跃响应的加速作用表现得比较明显，而超调量的增加又不过分大，是闭环负零点的合理取之范围 3-4 高阶系统（ P74 ） 定义：用高阶微分方程描述的系统称高阶系统。 在工程中，将三阶或三阶以上的系统称为高阶系统， 一、高阶系统的数学模型 式中 ： 由此的系统的传递函数 将传函数化为零、极点形式 式中 ： k 为闭环传递函数的增益 z i 为闭环传递函数的零点 ,i=1,2,3 … m p j 为闭环传递函数的极点， j=1,2,3 … n 系统有 n 个极点，其中 n 1 个实数极点 n 2 个共轭极点， n 1 +2n 2 =n 在实际中，高阶系统均可看成是一些一阶、二阶系统的简单环节组成的 对上式进行拉斯反变换，得： 由此可见，高阶系统的单位阶跃响应也是由瞬态、稳态两部分组成，同时也不过是有一些简单的一阶、二阶环节组成。 下面以在 s 平面作版面具有 2 对共轭复数极点 和 1 个实极点 p 3 =-q 的分布模式 为例，分析一五阶系统的单位阶阶跃响应 即：五阶系统的零、极点在复平面的分布为： s 5 s 3 s 4 s 1 s 2 由作图可见： 由 s 1 ,s 2 为一对共轭复根，它俩组成一二阶分量 由 s 3, s 4 为一对共轭复根，它俩组成一二阶分量 S 5 为一实根，它构成一阶分量 S 3,4 s 5 S 1,2 这一五阶系统接受阶跃信号输入时，系统的输出情况 由以上输出曲线可见： 由共轭复根 s 1 ， s 2 确定的瞬态分量，在单位阶跃响应的过渡过程中起主要作用，因为此分量衰减最慢，而由 s 3 ， s 4 ， s 5 构成的瞬态分两所对应的过渡过程则衰减很快，在 s 1 ， s 2 所对应的分量尚未达到上升时间时，它们早已衰减完毕了。 因此在高阶系统的过渡过程分析中常常忽略 s 3,4 ， s 5 三个极点对系统的影响，而只考虑 s 1,2 这对共轭复根对系统的影响。 为此引入了 主导极点 的概念 问题 ： 为何要引入主导极点的概念 ? 通过上面的例子，我们清楚地看见，若系统的特征根全部在 [s] 平面的左半边，一、二阶分量衰减的快慢程度，完全则取决于该极点距离虚轴的远、近。 s 5 s 3 s 4 s 1 s 2 由 s 1.2 构成的瞬态分量 衰减慢， 由 s 3,4 构成的瞬态分量 衰减快 由 s 3,4 构成的二阶系统的调整时间 t s 由 s 1,2 构成的二阶系统的上升时间 t r S 3,4 S 1,2 t s(3,4) t r(1,2) 从图中可见 ： 由 s 3,4 对应的瞬态分量早在 s 1,2 构成的分量尚未到达上升时间之前，就已调整完毕了进入稳定状态了，因此我们在研究系统的快速行时，完全可以忽略 s 3,4 的影响，只考虑 s 1,2 这个分量，此时我们称 s 1,2 为 主导极点 定义： 在高阶系统中，如果存在一对（或一个）离虚轴最近的共轭复数极点，而其它极点离虚轴的距离比起这对极点与虚轴的距离大于 5 倍以上 ( 而且附近不存在零点）则可以认为系统的动态响应主要有这对极点决定，对动态响应起主导作用的极点称为主导极点。 由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。因此在高阶系统动态分析中，如果能找到一对共轭附属主导极点，那么高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，并用二阶系统的性能指标来估算系统的性能；假如能找到一个主导极点，那么，高阶系统就可以按一阶系统来分析，这样问题就得到大大的简化。 同样在设计高阶系统时，也常常利用主导极点来选择参数，使系统具有一对共轭主导极点，近似地用二阶系统的性能指标来设计系统。 值得指出的是 ：近年来由于计算机技术的发展和普及，特别是出现了一些求解高阶微分方程的软件，如： Matlab ，给我们设计高阶系统带来了很大的方便。 3-5 线性系统的稳定性（ P74 ） 在线性控制系统中，最重要的问题首先是稳定性问题，因为系统只有稳定，才能正常工作。 稳定性是控制系统正常工作的首要条件，也是控制系统的重要性能。 分析控制系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一 。 本节要点 线性定常系统稳定的概念 系统稳定的条件和稳定性的判定方法 一、稳定性的定义 设线性定常系统处于某一平衡状态，若此系统在干扰作用下离开了原来的平衡状态，那么当干扰消失后，系统能回到原来的平衡状态，则称为系统是稳定的。否则系统不稳定。 不稳定 稳定 一个线性系统是否稳定，取决于系统的内部条件而与输入无关。 是指系统当扰动作用消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。 若系统能恢复平衡状态，就称该系统是稳定的，若系统在扰动作用消失后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。 二、系统稳定的条件 设系统的线性化增量方程为： 对上式行拉氏变换得： 或简写为： 其中： D(s ) 为系统闭环特征式，也称输出端算子式； M(s ) 称为输入端算子式。 R(s ) 为输入， y(s ) 为输出， M 0 (s) 为总的初始条件，与系统的初始状态有关的多项式。 则有： 假设： 方程的特解 与输入无关，方程的通解 系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态分量决定。此时，系统的输入为零。 故： 稳定性定义可转化为：当外界干扰消除后， 系统能恢复到原来的平衡状态。 将 y(s ) 等式右的两项分别展开成部分分式，可得 再进行拉氏反变换，得 该为瞬态分量， 即微分方程的通解， s i 是系统的特征根，其运动规律取决于 s i ，由系统的结构参数确定。 系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态分量决定。此时，系统的输入为零。 故：稳定性定义可转化为： 式中， A i0 为常值，因此，系统的稳定性仅取决于特征根 s i 的性质 。 S i 为系统的特征根。 特征根的性质对系统稳定性的影响 当 s i 为实根时，即 s i ＝  i ： y(t ) A io 特征根与系统稳定性的关系 当 s i 为共轭复根时，即 s i ， i+1 ＝  i ± jω i 共轭复根情况下系统的稳定性 结论： 系统稳定的充分必要条件是： 系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于 S 平面的虚轴之左。 三、稳定性判据 已知系统特征方程 要想知道系统是否稳定，最直接的办法就是求解特征方程，看其根是否全部在 [s] 平面的左半平面内，但我们知道求解高阶方程的根是十分困难的。为绕开这一难点，学者们寻找出无需求方程根的方法，即利用根与系数间的关系，判断特征根的位置，来判定系统稳定与否，这就是我们今天要介绍的稳定性判据 . 判据之一：劳斯 ( Routh ) 判据 系统稳定的充分必要条件是： 劳斯表 中第一列所有元素的计算值均大于零。 若系统的特征方程为： 则系统稳定的充要条件是： 系统特征方程式中所有系数 a n ， a n-1 ， … ， a 1 ， a 0 均存在且同号； 劳斯表中的第一行各元素均具有正号且值不为零 。 劳斯表如下： 排完为止 算到 b i 为零止 算到 c i 为零止 算到 e i 为零止 劳斯表共（ n+1) 行， n 为特征方程的阶数 其中： 类推下去 若劳斯表中第一行个元素均大于零 即 ： a n ， a n-1 ， b 1 ， c 1 … .e 1 >0 则表明系统特征根全部在 [s] 平面的左半边，则系统稳定。 关于劳斯判据的几点说明 如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳定； 如果第一列中有等于零的值，说明系统处于临界稳定状态； 第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。 例 1 ： 将特征方程系数列成劳斯表 结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。 在应用劳斯判据时可能遇到的几种情况 第一列各元素全为正数 对此情况我们容易解决，我们知道此时特征方程的根全部在 [s] 平面的左半边，系统是稳定的 第一列元素有正、有负 这说明系统有特征根在 [s] 平面右边，系统是不稳定的。 第一列元素出现零元素 如果在劳斯表中的某一行的第一个元素出现零元素，而此行的其它元素不为零，这时可以用一个任意小的数 代替此元素继续计算其它元素，如果 上面的元素和 下面的元素符号相反，则表示第一列元素符号改变一次 某行元素全为零 如果某行中所有元素都为零 ，则表明存在一些大小相同、符号相反的实根和共轭虚根，系统是不稳定的。如果还要继续做下去，则可利用上一行各元素为系数组成辅助多项式 p(s ) ，对 p(s ) 求导，得到一组新的系数，利用新系数代替全为零的那行的各元素，则可求其它诸元素。 上述大小相同、符号相反的实根或共轭虚根则可以由辅助方程 p(s ） =0 求出。 例 2 ：已知某系统的特征方程（教材例 3-9 方法 2 同类型） 式用劳斯判据判断系统的稳定性 解： 1 ）方程中各项系数均存在，且同号 2 ）列写劳斯表 由劳斯表中可以看出 例 3 ： 已知某系统的特征方程（教材例 3-10 同类） 仅判断系统的稳定性，一看便知系统是不稳定的，要判断其特征根的分布情况则要做劳斯表 列写劳斯表 辅助方程 6s 2 -6=0 对辅助方程求导，得： 12s+0=0 ，用 12 和 0 替代全为零的一行的各元素，得出新的劳斯表 新的劳斯表 从劳斯表中看出： 第一列元素符号改变一次，所以有一个特征根在 [s] 平面的右半边。此右根刻有辅助方程求得： 6s 2 -6=0 判据之二 胡尔维茨（ Hurwitz ）稳定判据 设系统的特征方程为  根据胡尔维茨稳定判据 系统稳定的必要条件是 ， 系统特征方程式的 各项系数均大于零； 系统稳定的充要条件是，由系统特征方程各 项系数所构成的主行列式（胡尔维茨行列式） 当各阶胡尔维茨行列式 (k=1,2,3 … ,n) 全为正。 则系统稳定。 胡尔维茨行列式： 胡尔维茨行列式的构成 行列式主对角线为 以行列式对角线为基准，向上序数减 1 ，向下序数加 1 各阶子行列式 系统稳定 例：已知系统特征方程为 试用胡尔维茨判据判断系统的稳定情况。 解： 1 ） （ 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）， 满足胡尔维茨判据的必要条件 。 2 ）胡尔维茨行列式为 所有子行列式都大于零，满足系统稳定的充分必要条件。因此，系统是稳定的。 四、结构不稳定及改进措施（ p83 ） 对于某些系统，仅仅高调整参数是没有办法稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统。因此消除结构不稳定的措施可以有两种方法 1 、改变积分性质 Ko/s _ x 1 x 2 用比例反馈包围积分环节，破坏其积分性质 kH 由此可见系统由原来的积分环节变成的惯性环节，改变的它原有的积分特性。改善了系统的稳定性，但会使系统的稳态精度下降（这点将在下一个小节详细叙述） 3-6 稳态误差分析 控制系统在某一输入作用下运动，可以用线性常系数微分方程来描述，方程的解包括通解和特解。当系统进入稳定后，表明系统过渡过程的通解已经减小到可以忽略的程度，方程这时就剩下描述系统稳态运动的特解。即此特解表示了在某一输入函数作用下系统的实际的稳态输出值。 对于一个稳定的系统， e ss 是衡量系统精度的指标 前面再进行时间响应分析时知道，系统的时间响应总是由两个部分组成 稳态输出部分 --- e ss 是评价 稳态性能的指标 瞬态输出部分 --- 如评价瞬态性能的好坏？ 一 . 误差与稳态误差 系统的误差 e(t ) 常定义为： e(t )= 期望值－实际值 在实际工程中，系统误差由两种定义方法： 从输入端定义 E(s )= R(s)-B(s ) --- 偏差 这种定义方法，在实际控制系统中是可以测量的 从系统的输出端定义 Ex(s )=Y*( s)-Y(s ) ---- 误差 期望输出 实际输出 这种定义方法概念上是清晰的，但在实际的控制系统中是检测不到的 E(s ） Y(s ) 两种定义方法有何关系？ 对于单位反馈系统， H(s )=1 ，此时 y(s )= B(s ) ，而输出量的期望值就是输入量，所以此时两种定义方法是等价的。 而对非单位反馈系统 E(s )= R(s)-H(s)y(s ) 下面我们讨论 E(s ) 与 Ex(s ）之间的关系 在前面地的学习中，我们知道自动控制的 本质就是检测偏差，用于纠正偏差。 由偏差产生控制作用。 当 此时由偏差 E(s ) 产生控制作用，力图将 y(s ） 调节为 y*(s) ，即使 y(s )=y*(s) 从上面的推导可见：求出偏差 E(s ) 即可确定误差 Ex(s ) ，当 H(s )=1 时， E(s )= Ex(s ) ， 当 H(s ) 确定之后， Ex(s ) 随 E(s ) 变化而变化， 所以在控制工程中大多是以来偏差来定误差的。 E(s ） Y(s ) 二、稳态误差的计算 稳态误差的一般 计算公式 当 N(s )=0 时，误差信号得拉斯变换 E(s ) 与输入信号得拉斯变换 R(s ) 之比，称为 误差传递函数 E(s ） Y(s ) 给定输入作用下的误差传递函数 干扰输入作用下的误 差传递函数 R(s ) 、 N(s ) 同时作用时，系统的误差 根据拉斯变换中的终值定律 (3-61) 输入信号为： 干扰信号为： 当输入信号单独作用于系统时，则稳态误差为 当干扰输入单独作用于系统时，则稳态误差为 当输入信号 r(t ) 和干扰信号同时作用于系统时，其稳态误差为： 二、利用终值定理求稳态误差 当 sE(s ) 的极点全部在 s 平面的左半部，可以应用拉斯变换中的终值定理计算在时间 t 区域无穷大时的稳态误差 e ss (∞) ，即 特别指出： 上式给出的是时间趋于无穷大时的稳态误差值，它不可以描述 ts 时间附近的系统误差随时间变化的规律，因此用终值定理求稳态误差具有一定的局限性。但此方法不需求各阶导数，用起来比较方便。 例 设随动系统，其方块图如下所示。已知该系统的输入信号及扰动信号分别为 r(t )= t,f(t )=-1 ，试计算该系统的稳态误差 R(s ) F(s ) _ C (s ) E(s ) 解： 由题意知 r(t )= t,f(t )=-1 由框图得给定输入作用下的误差传递函数 根据终值定理 干扰作用下的误差传递函数为 根据终值定理 例 3-12 ： 若系统的误差传递函数 试求系统的稳态误差 e ss 解： 因为 n(t )=0 ，所以 1 ） 当 r(t )=1(t) 时，则 R(s )=1/s 待定系数 k 1 =1,k 2 =-1 下面利用终值定理计算稳态误差 e ss 。因为 sE(s )=1/(s+1) ，其极点在 s 平面左半面，所以 使用终值定理是需要条件的，即 SE(s ) 的全部极点在 s 平面的左半面 2 ）当 r(t )=t ， R(s )=1/s 2 可见上式得极限不存在 3 ）当 r(t )=e t ，则 R(s )=1/(s-1) 但它并不是稳定误差。此例说明， sE(s ) 有 s 右半平面的极点，不具备应用终值定理的条件，不能用终值定理计算稳态误差。 4) 当 r(t )= sint ，则 R(s )=1/(s 2 +1) 可见， sE(s ) 有极点在虚轴上，不能使用终值定理。 此时的稳态误差为谐波函数而并非为零 例 设有随动系统，其方框图如下所示，求当输入信号为 r(t )=2t 时系统的稳态误差。 - R(s ) C(s ) 解： 由系统框图可得到单位反馈系统的误差传递函数 因为 r(t )=2t 则 故 其极点为 由特征方程 极点在 s 平面的左边，可以使用终值定理求系统的稳态误差 例 设有一阶系统，其方框图如下图所示，试计算系统 - R(s ) E(s ) C(s ) 解： 由系统框图可得到单位反馈系统的误差传递函数 因为 r(t )= sinwt 则 故有 由 sE(s ）的特征方程知其极点为： 由此可见 sE(s ) 的极点不完全在 s 平面的左半边，所以不能使用终值定理求稳态误差。 因此 三、（ P88 ）典型信号作用下的误差 这里我们首先讨论给定输入作用下的稳态误差，从稳态误差的计算公式中可以看出，影响系统的 e ssr 的因素。 元件质量 --- 将元件的质量理想化 系统的结构参数 输入信号的性质 (3-63) 这里我们仅从组成系统的结构和输入信号的性质这两点进行讨论。从给定输入作用下的稳态误差计算公式可见， e ssr 与系统的开环传递函数有关，设系统的开环传递函数为： （ 3-67 ） 式中： v --- 为整数（ v=1,2, … .) ， [ 或将 v 成为无差度 ] 当 v=1 时，说明系统中含一个积分环节，称为 1 型系统 当 v=2 时，说明系统中含两个积分环节，称为 2 型系统 等以此类推 k --- 为系统的开环增益 Q m (s )--- 为 m 阶 s 多项式 P n (s )--- 为 n 阶 s 多项式（ n>m ， s 0 =1) 故误差传递函数 给定输入作用下的输出误差 下面举例 例 1 ： 设某一具有单位反馈控制系统的开环传递函数为 试求系统在单位阶跃输入时 [ r(t )=1*(t)] 和单位斜坡输入 [ r(t )=t] 时， e ssr 各为多少？ 解： 由 v=0 ，该系统为 0 型系统 即 ： v=0 ， P n (s )=(0.5s+1)(0.04s+1) ， Q m (s ） =1 ， k 0 =20 当 r(t )=1(t) 时， R(s )=1/s 当 r(t )=t 时， R(s )=1/s 2 可见： 1 ） 0 型系统以一定的误差跟踪阶跃信号 2 ） 0 型系统无法跟踪斜坡信号 例 2 ： 在上题的基础上增加一个积分环节，即 解： 由题目知： v=1 ， Q m (s )=1 ， P n (s )=(0.5s+1)(0.04s+1) ， k=20 根据拉斯变换中的终值定律 当 r(t )=1(t) 时， R(s )=1/s 当 r(t )=t 时， R(s )=1/s 2 当 时， R(s )=1/s 3 同时作用 时， 1 型系统可以无差的跟踪阶跃信号； 1 型系统保持一定的误差跟踪斜坡信号 1 型系统没有能力跟踪加速度信号 例 3 ： 在上题的基础上增加一个积分环节，即 结论 解： 由题目知： v=2 ， Q m (s )=1 ， P n (s )=(0.5s+1)(0.04s+1) ， k=20 根据拉斯变换中的终值定律 当 r(t )=1(t) 时， R(s )=1/s 当 r(t )=t 时， R(s )=1/s 2 当 时， R(s )=1/s 3 结论 2 型系统可以无差的跟踪阶跃信号和斜坡信号 2 型系统以一定的误差跟踪加速度信号 从以上例题中，可以得出以下几点结论 同一系统对不同的输入将产生不同的 e ssr 同一输入对不同的系统，也产生不同的 e ssr 证实 e ssr 取决于系统的结构和输入信号的性质 观察各例中 e ssr 的有限值，可见 e ssr 的有限值恰好与系统的开环增益 k v 有关 系统的 e ssr 与 G k (s ) 中含积分环节的个数 v 及输入信号的象函数 R(s ) 的分母中含 s 因式的次数 b 有关 R(s ) 的分母中含 s 因式的次数 b 二、 静态误差系数 由以上分析可见 因此为简化 e ssr 的计算，提出了静态误差系数的概念，用它描述其内部的规律 1 、静态位置误差系数 k p 静态位置误差系数是描述系统接收单位阶跃输入时，系统的响应误差 e ssr ，其量纲与系统误差一样，切记位置误差并不是指位置上的误差 系统单位阶跃响应的 e ss ---- 静态位置误差系数 若系统开环传递函数 对 0 型系统（ v=0) 对于 1 型或高于 1 型的系统 所以，得 从以上分析可见，若 G k (s ) 中不含积分环节此系统的单位阶跃响应的 e ssr ，只要开环增益足够的大，也可以有效地减小 e ssr ，但开环增益 K v 的增大会给系统的稳定性带来困难。若要求系统对单位阶跃响应的 e ssr =0 ，则系统必须是 1 型或 1 型以上的 2 、 静态速度误差系数 k v 系统的单位斜坡响应的 e ss 静态速度误差系数是描述系统接受单位斜坡输入时，系统的响应误差 e ss ，其量纲与系统误差一样，切记速度误差并不是指速度上的误差 对 0 型系统（ v=0) 对于 1 型（ v=1) 对于 2 型或高于 2 型的 系统 所以，得 : 3 、静态加速度误差系数 k a 系统的单位加速度响应的 e ss 注意 加速度误差是指系统跟踪加速度信号的响应误差 对 0 型系统（ v=0) 对于 1 型（ v=1) 对于 2 型 (v=2) 对于 3 型或 3 型以上的系统 所以，得 : 注意 0 型和 1 型系统无法跟踪加速度信号 2 型系统保持一定的误差跟踪加速度信号 3 型（含 3 型）以上的系统无误差跟踪加速度信号 结论 无论是位置误差 速度误差 加速度误差 要理解其含义 比如说：如果是有限的速度误差，则表示在瞬态过程结束后，输入、输出以同样的速度变化，但总有一个有限的位置偏差。 可见三个静态误差系数 k p 、 k v 、 k a 分别是 0 、 1 、 2 型系统的开环放大系数 典型信号合成输入 式中 A 、 B 、 C 分别为阶跃、斜坡、加速度信号的幅值，此时我们一般采用叠加原理，分别求系统在三种情况下得 e ss ，然后再将其叠加 注意 这里的 三个误差系数 只适用于给定输入作用下得 e ssr 的计算 举例 例： 控制系统如下图所示，已知输入信号 ，试求系统的稳态误差。 K 1 (Ts+1) _ R(s ) Y(s ) 解： 第一步，判别系统的稳定性。 由上图的系统的闭环特征方程 系统稳定的条件： T m 、 k 1 、 k m 和 T 均大于零 由劳斯表，第一列元素大于零 k 1 k m T-k 1 k m T m >0 T>T m 第二步，根据系统结构与稳态误差之间的关系，由于系统的开环传递函数中有两个积分环节，属 2 型系统。 运用叠加原理 三、 干扰输入 作用下的稳态误差计算 实际系统中，除了给定输入作用外，往往还会受到不希望的干扰 作用 。例如：在电动机的拖动系统中，负载力矩的波动、电源电压波动等；在电力系统中，发电机端电压不仅随励磁电流变化，同时还会随负载电流变化。 要计算干扰作用下的稳态误差，首先要求干扰作用下的误差传递函数 根据拉斯变换中的终值定律 四、 给定输入、扰动输入同时作用下的系统稳态误差计算 实际控制系统中，给定输入和扰动输入往往同时存在。根据线性系统的叠加原理，可分别求出各自作用下的稳态误差，然后相加，即 e ss = e ssr +e ssn 由于作用在系统上的扰动方向会变化，因此，在实际系统设计中，常取它们的绝对值相加作为系统的稳态误差，即 例 ： 某控制系统的结构图如下图所示，给定输入和扰动输入均为单位斜坡信号，试求系统的稳态误差值。 令 N(s )=0,R(s)=1/s 2 , 计算给定误差 此时的系统为 1 型系统 , 系统的开环传递函数为 k 1 _ R(s ) Y(s ) N(s ) E(s ) 解 ： 因系统的给定输入为单位斜坡信号，故速度误差系数为 令 R(s )=0,N(s)=1/s 2 k 1 _ R(s ) Y(s ) N(s ) E(s ) 根据拉斯变换中的终值定律 当 r(t )=t ， N(t )=t 共同作用时，系统的稳态误差 K 1 、 k 2 值必须保证系统的稳定性 例 设有随动系统，其方块图如下图所示，已知该系统的输入信号及扰动系统的信号分别为 r(t )=t ， f(t )=-1 ，试计算该系统的稳态误差 - R(s ) F(s ) C(s ) 解： 1 ）求给定输入作用下的稳态误差 求系统的开环传递函数 为一型系统 2 ）干扰输入作用下的稳态误差 求 E(s)/F(s )=? 根据终值定律，得： 例： 设有随动系统，其方框图如下图所示，求当输入信号位 r(t )=2t 时系统的稳态误差 - 解； 由方框图求出系统的开环传递函数 得： R(s ) C(s ) 由于输入信号为斜坡信号，应通过求取速度误差系数取得稳态误差 例 设控制系统的方框图如下图所示，输入信号为： ，求系统的稳态误差 - C(s ) R(s ) 解： 由方框图求得系统的开环传递函数 当系统输入 r(t )=r 0 时， 当输入信号为 r(t )=r 1 t 时： 当输入信号为 时： 根据线性叠加原理，得： 特别提示 若某单位反馈控制系统的框图如下 系统的闭环传递函数为 系统的误差传递函数为 可见 或 3-8 复合控制的误差分析 从上面的分析可见，减少控制系统的稳态误差有两种方法： 提高系统的开环增益 K; 提高系统的无差度 v( 就是增加开环系统中的积分环节的个数） 但这两种方法都将影响到系统的稳定性，降低系统的动态性能。因此在要求系统既有高的稳态精度，同时又要使系统具有良好的动态性能，往往通过以上两种方法无法满足要求时，需要我们引入复合控制的结构 ( 或称为校正结构）。 一、 复合控制的基本概念 复合控制是有两个通道组成的： G c (s ) G 2 (s) G r (s ) G f (s ) R(s ) E(s ) F(s ) Y(s ) _ 是原来反馈回路的主通道，是按闭环控制的。 是由顺馈装置组成的顺馈通道，是按开环控制的 。 被控对象传函 干扰传函 校正环节 顺控传函 下面介绍几种复合控制的方法（补充）： 1 、 按给定输入补偿的复合控制 从图中可见输入信号除了通常情况下，通过补偿装置产生一个补偿信号参与控制，此时的系统闭环传递函数 误差： 根据梅森公式 若取 则 E(s )=0 此时： c(s )= R(s ) ---- 说明输入信号 r(t ) 所引起的稳态误差为零，就是说对输入信号引起的误差做到了全补偿，此时系统可以做到无误差响应。 2 、按干扰补偿 为补偿扰动对系统产生的影响，引入扰动补偿信号，补偿装置传函 G r (s ) G f (s ) G 2 (s) G 1 (s) G r (s ) F(s ) C f (s ) _ 根据梅森公式 误差： 若选取： 从上是可知：当 G r (s ) 选择合适，无论扰动如何， e ss 恒等于 0 。 注意 以上两种补偿的使用条件是：传递函数要准确，否则补偿效果将下降。 对扰动补偿，还必须要扰动可测 3 、复合控制的误差和稳定性分析 为方便分析，复合控制系统的构成如下图 未加顺馈通道 时，系统的开环传递函数 则闭环传递函数为： 取输入信号的一阶导数为顺馈控制信号，即取： 式中： 为常数，表明顺馈控制信号的强度，此时刻的复合控制系统的 等效闭环传递函数 为： 代入 ，得： 复合控制系统的等效误差传递函数为： 若 ，复合控制系统的等效 误差传递函数为 ： 进而复合控制系统的 等效闭环传递函数 为： 复合控制系统的等效开环传递函数为： 比较加顺馈控制装置前后系统的开环传递函数，可见未加顺馈前的系统为 1 型系统，而加入顺馈控制装置后系统为 2 型系统，即控制系统的误差度由 1 变为 2 ，所以误差变小。 例 : 控制系统的方框图如下图所示。图中 G f (s ) 为补偿器的传递函数。试确定使干扰 f(t ) 对输出 c(t ) 无影响的 G f (s ) 解：方法 1 ：求 C(s)/F(s ) ，令 R(s )=0 G 1 (s) G 2 (s) G f (s ) R(s ) F(S) C(s ) - G 1 (s) G 2 (s) G f (s ) R(s ) F(S) C(s ) - G 2 (s) -1 G 1 (s) G f (s ) C(s ) F(s ) 根据梅森公式： 系统存在两条前向通道 当 时， F(S) G 1 (s) G 2 (s) G f (s ) R(s ) C(s ) - G 2 (s) -1 G 1 (s) G f (s ) F(S) E( s ) 根据梅森公式： 系统存在两条前向通道 方法 2 ：求 E(s)/F(s ) ，令 R(s )=0 当 时， 四、系统零、极点分布与阶跃响应的关系 前面主要对一、二阶系统的性能做了较为全面的分析。从中可以看到，系统的极点再复平面上分布的位置直接影响到控制系统的性能和响应的性质。在此，对其一般情况做一抽象和概括，可进一步提高认识。 1 、一般系统单位阶跃响应的讨论 系统闭环传递函数的一般形式 补充 在此，以输入信号 r(t )=1(t) 为例进行讨论 讨论 1 ）、当 p i 为均互异的实极点 为待定系数 对上式进行 L 反变换，即可得到系统的阶跃响应 2 ）、当 p i 均为复极点 对上式进行 L 反变换，即可得到系统的阶跃响应 通过上面不同形式极点下单位阶跃响应的分析，我们可以得到结论： 结论 系统的时间响应有两部份组成： 动态分量 和 稳态分量 。动态分量的形式（ ）取决于系统的极点；而稳态取决于输入信号的形式。 响应输出的幅值（ C i ），由闭环的零点、极点和增益（ K* ）共同决定 闭环传递函数有实极点 (p) 时，它所决定的分量（ ）是按指数规律单调变化的，闭环极点有复极点（ ）时，它所决定的分量（ ）是按指数振荡变化的。 闭环传递函数极点的实部（ p<0, ) ，它所决定的相应分量是衰减的；极点的实部（ p>0, ) ，它所决定的响应分量是发散的，极点的实部为零 (p=0 ），虚部也为零时，它所决定的分量为常数；极点的实部零，虚部不为零时，它所决定的响应分量为等幅振荡。 由以上结论可见，系统的传递函数决定系统的全部性能。通过对传递函数的分析，可以不求解微分方程也能知道系统的响应特点。 系统传递函数的特性唯一地决定了系统的响应性质 2 零点分部对系统动态性能的影响 由前面对一般单位阶跃响应的讨论知道，极点决定响应的性质，零点对响应的幅值有影响，下面对零点影响幅值的情况，以及由此导致对响应性能的影响作一般概括分析 由上式可见： C k 的大小，即响应曲线的幅值由系统的极点、零点和增益 K* 共同决定 为了看清楚零点的作用，设极点保持不变，也就是说式中分母保持不变，则 C k 的大小有零点的情况决定。 若零点 z i 靠近极点 P k ，则分子的值较小 (C k 小），即 P k 所决定的响应分量幅值较小 若零点 zi 远离极点 Pk ，则分子的值较大 (Ck 大），即 Pk 所决定的响应分量幅值较大； 若零点 zi 等于极点 Pk ，则分子的值为零 (Ck=0 ），即 Pk 所决定的响应分量幅值为零； 由此可见，零点载负平面上的分布情况，直接影响了响应幅值的大小，而幅值的大小，直接影响了极点所决定的响应分量在系统中所起的作用的强弱。 结论： 若零点远离某极点，则该极点对系统响应的影响大；若零点靠近某极点，则该极点对系统响应的影响小；若零点等于某极点（零、极点对消），则该极点对系统的响应无影响， 通常把一对靠得很近的零、极点称为偶极子 工程上，某极点 P k 与某零点 Z i 之间的距离比它们的模值小一个数量级时，就可以认为这对 零、极点为偶极子 因此，在工程中可以应用偶极子的概念，消除对系统对系统性能影响较大的不利极点的作用，使系统的动态性能得到改善 3 、系统极点分布与动态性能的关系 上面粗略分析了零、极点分布与系统时域响应的关系，下面再进一步分析极点分布与系统动态特性的关系。