第二届广东省大学生数学竞赛（经管类） 6页

‎ 学校 姓名 考场 座位号 ‎ ‎( 密 封 线 内 不 答 题 )‎ ‎…………………………………密………………………………………………………封……………………………………………线……………………………………‎ 第二届广东省大学生数学竞赛（经管类）‎ 一、 计算题（每小题5分，共40分）‎ ‎1）．‎ 解：原式 2分 ‎ 3分 ‎ 因为 ‎ ‎ 所以 5分 ‎2）设函数，求．‎ 解：因为 3分 ‎ 所以 5分 ‎3）计算．‎ 解：用换元法，设 原式 3分 ‎ 5分 ‎4）已知时，与是同阶无穷小，求．‎ 解：因为 3分 ‎ 所以 5分 ‎5）设曲线由方程确定，求曲线在点处的切线方程．‎ 解：方程两边关于求导得 ‎ 3分 第 6 页 共 6 页 ‎ 当时， 4分 ‎ 所求切线方程为 5分 ‎6）计算．‎ 解：方法一、‎ ‎ 原式 2分 ‎ 令，则 上式 ‎ 4分 ‎ ‎ ‎ 5分 方法二、‎ 原式 2分 ‎ 令，则 ‎ 上式 而 上式 4分 ‎ 5分 方法三、‎ 原式 3分 第 6 页 共 6 页 整理可得 原式 ‎ 5分 ‎7）设曲线与曲线在处相切，求．‎ 解：由已知可得 ‎ 2分 ‎ 4分 ‎ 5分 ‎8）求级数的收敛域．‎ ‎ 解：因为 2分 ‎ 所以此级数收敛半径为 ‎ 当时， 发散 ‎ 当时，收敛 4分 ‎ 所求收敛域为。 5分 二、（本题13分）证明不等式 ‎ ‎ 第 6 页 共 6 页 证明： ‎ ‎ 考虑函数 4分 因为，考虑函数 当时，，且，所以当时，，又因为 所以当时，，由此可得当时，是减函数。 9分 数列是递增数列，由于时，，且 所以。 13分 三、（本题10分）设函数在上可导，在上连续，且，证明：至少存在一点使得 ‎ 证明：考虑函数， 6分 由已知可得在上可导，在上连续，且，利用罗尔中值定理，至少存在一点使得 ‎ 10分 第 6 页 共 6 页 四、（本题12分）设在是连续的，‎ ‎ 1）证明：；‎ ‎ 2）若，证明：．‎ 证明：1）设为任意实数，因为，所以 ‎ 3分 这就说明关于的一元二次方程的判别式小于或等于零，即有 ‎ 5分 ‎2）利用1）中结论证明 ‎ 9分 所以 ‎ 12分 五、（本题10分）讨论级数的敛散性．‎ 解：因为 4分 ‎ ‎ 8分 而收敛，所以收敛。 10分 第 6 页 共 6 页 六、（本题15分）已知函数，‎ ‎1）证明：；‎ ‎2）证明：；‎ ‎3）若数列满足，证明 存在，并求．‎ 解：1）因为，所以 3分 ‎ 2）容易看出，所以利用拉格朗日中值定理有 6分 ‎ 3）容易看出，且若，则有，所以这样 定义的数列是有意义的。利用1）和2）的结果我们有 ‎ ‎ ‎ 12分 由夹逼准则得。 15分 第 6 页 共 6 页