第12讲 数学猜想 12页

第12讲 数学猜想 数学发展到今天，可谓枝叶繁硕，每个分支都有自己的基本问题。但就整个数学而言，最最根本的没过于“数”。回答数是什么的问题，应该说是数学家们最为根本的目的。美籍德国数学家柯朗（Richard Courant, 1888.1.8 -1972.1.27）曾说过：“数是近代数学的基础。……虽然希腊人曾把点和线等几何概念作为他们的数学基础，但是，所有的数学命题最终都应归结为关于自然数1，2，3，……的命题。这一点已变成了现代数学的指导原则。”关于数，人们曾提出过许许多多的问题，有的业已获得解决，有的至今依旧是谜，我们习惯上称其为“猜想”（conjecture）。著名的如费马猜想，哥德巴赫猜想等等。为了将其变为定理，一代代、一批批数学家们，通过自己的工作，极大地革新并丰富了数学的内容与方法。对于数学猜想之于数学发展的作用，高斯有言：“若无某种大胆果敢的猜想，一般是不可能有知识进展的。”‎ 由于受能力与时间限制，我们本讲只能通过费马大定理的来龙去脉，体味一下数学猜想的魅力所在。关于这个故事的开始和结局其实很简单。那就是：很久以前（1637年左右），一位名叫费马的法国人说xn+ yn = zn 在n > 2时无整数解，三个半世纪之后（1994年），一位名叫怀尔斯的英国人证明了他所讲为真。据怀尔斯称：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解决它。这里正摆着一个连我这样只有十岁的孩子都能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永远不会放弃它。我必须解决它。”怀尔斯道出了费马问题的魅力所在。这个问题看似如此简易，就连10岁的学童都能理解。其中一个原因就在于，它与人们在很小时就已记住的一段数学术语——毕达哥拉斯定理极其亲密。‎ 1. 历史性背景 ‎1.1 万物皆数 毕氏定理称：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。写成公式既是x2 + y2 = z2。毕达哥拉斯是数学史上最具影响但又是最神秘的人物之一。由于缺少相关资料，他的一生显得颇为神秘。但可以肯定的是毕达哥拉斯发展了关于数的逻辑的思想，并且在确立数学证明思想方面功不可没。‎ 生活在公元前6世纪的毕达哥拉斯十分热衷于哲学研究，尤其是从哲学的角度思考他在多年游历过程中所获得的数学法则。他的志趣是要理解数，而不仅仅是使用它们。由他创建的兄弟会崇拜的偶像之一就是数，他们相信，通过了解数与数之间的关系就能够提示宇宙的神圣和秘密，从而使自己更接近神。兄弟会曾致力于“计数数”和分数的研究。他们很乐于寻找那些具有特殊意义的数，如所谓的“完全数”。除了是它们的各因数之和外，所有的完全数还显示出另外几个美妙的性质，如它们总等于一系列相邻的计数数之和。6和28就是这样的数。除了数间的关系，数与自然之间的关系也引起了毕达哥拉斯的兴趣。毕达哥拉斯将自己称为哲学家，以揭示自然奥秘为己任。毕达哥拉斯意识到从音乐的和声到行星的轨道，一切事物中皆藏有数。这导致他宣布“万物皆数”。通过探究数学的内涵，毕达哥拉斯发展着使他和其他人能描述宇宙性质的这种语言。事实上，数学上在此后的每一次突破都会给科学家们带来解释周围现象而需要的词汇。可以讲，数学的进展往往会唤起科学的革命。‎ 68‎ 在毕达哥拉斯兄弟会研究的数与自然之间的所有关系之中，最为重要的当推毕氏定理。该定理为我们提供了一个方程，它对一切直角三角形都成立，因而它也定义了直角三角形本身。接着，直角定义垂直，即竖直与水平的关系；最后定义我们熟悉的宇宙中的三维关系。数学就这样利用直角定义了我们生活着的空间的结构。毕达哥拉斯完全相信该定理的正确性与普遍性。使他有这种信念的理由是数学证明了这种关系。毕达哥拉斯定理的意义在于：它发展了证明的思想。一个被证明的数学结果具有比任何别的真理更可靠的真实性，因为它是一步接一步的逻辑结果。其次，该定理将抽象的数学方法与有形的实体结合起来。毕氏向人们展示了数学的真理可以应用于科学世界并为其提供逻辑基础。‎ 寻找一个数学证明就是寻找一种认识，这种认识比任何别的训练所积累的认识都更不容置疑。约二千五百多年以来，驱使数学家们的正是这种以证明的方法发现最终真理的欲望。费马大定理的故事以寻找遗失的证明为中心。经典的数学证明是从一系列公理、陈述出发，这些陈述有些可以是假定为真的，有些则是显然真的；然后通过逻辑论证，一步接一步，最后就可能得到某个结论。如果公理是正确的，逻辑也无缺陷，那么得到的结论将是不可否定的。这个结论就是一个定理。数学证明依靠这个逻辑过程，而且一经证明就永远是对的。需要经过确实无疑地证明才能承认某个结论，对这一点数学家是以其一丝不苟而著称的。‎ ‎1.2 反证法 数学证明的思想在文明世界中迅速传播着，在毕达哥拉斯学派被毁2个世纪后，数学研究的中心移至亚历山大城。位于亚历山大城的图书馆因其藏书丰富而吸引了来自世界各地的数学家。其中的头号人物就是我们熟知的欧几里得。一提起欧几里得，人们也许很快就会联想到他的《几何原本》，似乎这完全是一本几何著作，其实不然，该书还包含了许多数论思想，和其他处理问题的方法。这些方法的影响至今仍在。‎ 欧几里得生于公元前330年，与毕达哥拉斯一样，欧几里得只是为数学本身而探求数学真理，在他的著作中并不寻求应用。自毕达哥拉斯之后，数学家们已经发明了许多可以应用于不同场合的逻辑推理方法，欧几里得娴熟地在《原本》中使用了这些方法。特别是，他用到了一种称之为“反证法”的逻辑武器，这种方法围绕这样一个有点不合情理的想法展开：企图证明某个定理是真的，但首先假定它是假的；然后数学家去探讨由于定理不真而产生的逻辑矛盾，而数学不能容忍矛盾，于是原来的定理不可能是假的。‎ 欧几里得曾使用这种方法证明了素数的个数有无穷多个。所谓素数是指没有因数的数，也就是除了1和该数本身以外没有其他数能够整除它。数学家们认为素数是最重要的数，因为它们是数学中的原子。素数是数的建筑材料，所有别的数都可以表示为若干个素数的乘积，而且这种表示是唯一的，也就是说任何数的本质和特征都可以通过其素数构成得以反映。‎ 欧几里得使用反证法的另一个典型实例是对所谓“无理数”存在性的证明。无理数的确定，第一次使数具有了一种崭新的、更为抽象的性质。历史上在这之前，一切数都只能表示成自然数或正分数。无疑，无理数的概念是一个重大的突破。‎ 从《原本》的内容来看，欧几里得对于数的研究也很感兴趣，但这不是他对数学的最大贡献。他的真正爱好是几何学。在数论方面，编纂了有同样价值的数学书籍的是丢番图。‎ ‎1.3 不定方程 亚历山大的丢番图，可谓是希腊数学的最后一位卫士。丢番图在亚历山大的生涯以收集问题并对其整理创新为主。他将这些问题及其解法汇集成一部名为《算术》的论著。组成《算术》的13卷书中，只有6卷逃过了欧洲中世纪黑暗时代的骚乱幸存下来，继续激励着文艺复兴时期的数学家们，包括费马在内。其余的7卷则在一系列悲剧性事件中被遗失。‎ 68‎ 丢番图《算术》特别以求解不定方程的整数解而著称。所谓不定方程，是指末知数个数多于方程个数的代数方程或代数方程组。这类问题在丢番图之前已有人接触过，但丢番图是第一个对不定方程问题作出广泛深入研究的数学家，以致于我们今天已习惯于将不定方程问题称为丢番图问题。其求解过程也被称为丢番图分析，由求解这类问题而发展起来的当代两大先进手段也被称为丢番图逼近和丢番图几何。‎ ‎《算术》第2卷问题8是一个与毕达哥拉斯定理类似的问题：将一个已知的平方数分为两个平方数。即已知Z2，求x, y，使x2 + y2 = Z2。丢番图以实例给出了这一问题的求解办法。以Z2=16为例，求数x和y。可先设一个平方数是x2，则另一个平方数是16 – x2. 所以问题变为要求16 – x2是平方数y2。设y =mx – 4，其中m是某一整数，例如m = 2，于是就有16–x2 = 4x2–16x+16, 容易解出x = 16/5 或12/5。显然还有其他解的存在，也就是说，应该存在无穷多组三元组，使得不定方程x2 + y2 = z2成立。‎ 我们只所以在此独独提到丢番图的这一个问题，是因为，大约16个世纪之后，正是在这一问题的启发下，费马在其旁白处写下了一段边注，从而诞生了一个让整个数学界为之若思冥想了三百多年的问题。‎ 1. 猜想与证明 ‎2.1 谜面的诞生 图9-1 费马(1601-1665)‎ ‎1601年的8月20日，费马出生在法国西南部的博蒙-德罗马涅镇。他的父亲是位富有的皮革商，所以费马有幸接受良好地教育并最终当上了图卢兹的大法官。为了避免社会动荡时期政治风波的影响，除了小心履行职责之外，费马将业余时间全都用以闭门读书。他是一位真正的业余数学家，一个被称为“业余数学家之王”的人。他孤居于数学家的圈子之外，只在家中思考数学。费马认为公开发研究成果和被人们承认对他来说没有任何意义，他只对能够创造未被他人触及的定理所带来的那种愉悦而感到满足。解析几何、微积分、概率论，不管是哪一方面的工作都可以使费马在数学家的荣誉殿堂占有一席之地，但他最大的成就还是在另一个数学分支中，那就是他一直钟情的，一门大体上无用的学科：数论。象毕达哥拉斯一样，费马也被那种强烈的意念驱使着：想要了解数的性质以及它们之间的关系。这是最纯粹和最古老也是最为根本的数学形式。费马的研究是建立在从毕大哥拉斯一直传到他的大量知识的基础上的。指导他的就是丢番图的那本《算术》书。‎ 丢番图的每个问题都有详细解答。费马的做法却与之不同，他只想通过解出问题而获得自我满足。在研究丢番图的问题和解答时，他常因某种触动而去思考和解决一些相关问题，并偶尔写下部分心得体会，但却很少给出详细证明。在《算术》第2卷问题8的旁边，就是这样一条结论：不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。按照费马的说法，似乎根本不存在这样的3个数，它们完全适合方程xn+yn=zn，这里n代表3，4，5，……。这是一个异乎寻常的结论，但费马却自信自己已经找到了一种证明方法。在这个结论的后面，他又草草写下一个注记：对于该命题，我确信已发现一种奇妙的证明，可惜这里的空白太小，写不下。‎ 费马的话暗示人们，他由于发现这个美妙的证明而特别愉快，但却不想劳神写出证明的细节，更无心去发表它。‎ 68‎ ‎《算术》中的注记大约写于1637年前后，在费马于1665年1月11日因病去世后，他的各种发现处于被永远遗失的危险之中。幸运的是，1670年，费马的长子塞缪尔在图卢兹出版《附有费马评注的丢番图的算术》，与的原版希腊文和拉丁译文一起的还有费马所做的48条评注。不幸的是，费马对这些评注或者根本没有任何解释，或者仅仅只给出对相关证明的一点点提示。其中略微透露出的带有挑逗性的逻辑推理，足以使数学家们毫不怀疑费马已经有了证明的方法，而补全所有的细节就作为一种挑战留给了他们。‎ 数学家们习惯于将已经证明的定理作为通向其他成果的阶梯，定理是数学的基础，因为一旦它们的正确性被证明，就可以放心地在它们上面建立别的定理。未经证实的想法是很难评价的，因此被称之为猜想。任何依靠猜想而进行的逻辑推理，其本身也是一个猜想。费马所写下的每一条定理，实际上应该称为猜想，都应该加以证明，这是至关重要的。不能仅因为费马说过他对某一定理已有一个证明就信以为真。每一个定理在能被使用之前，必须经过极其严格的证明，否则其后果可能是灾难性的。随着几个世纪的时光流逝，费马的众多评注一个接一个地获得证明。然而，我们刚才提到的那个，却固执地拒绝被如此轻易地征服。事实上，它之所以被称为“最后”定理（Fermat’s Last Theory），是因为它是需要被证明的评注中的最后一个。费马说过他对他的每一个评注都有证明，因而在他看来它们都是定理。然而，在数学界能重新发现这一个个的证明之前，每个评注只能被当作猜想。事实上，近350年来，费马大定理应该更准确地被称为费马大猜想。‎ ‎2.2 解谜的方法 图9-2 欧拉(1707-1783)‎ 费马去世一个世纪以后，对于费马大定理仅发现两种特殊情况的证明。1753年欧拉写信给哥德巴赫称自己证明了n = 3时的费马大猜想。其证明方法正式发表在1770年的《代数学》一书中。欧拉之所以首先给出了n = 3时费马大猜想的证明，其中可能存在两个原因。其一，这是他一贯的作风，即从简单到复杂，从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程。这也是大多数数学家思考问题的方法。欧拉的策略是，对于涉及到无穷多对象的事件，他只需证明某结论对于最基本的情形成立，而任何使这种情形复杂起来的操作都将继续保持这一结论的正确性。那么，这一结论就可获得最终证明。其次，隐藏在费马其他注记中的一条线索, 为他的上述计划提供了良好开端。尽管费马的那条注记依然缺少细节，但却清楚地展示了一种特殊形式的反证法，即无穷递降法：假设某结论对于某正整数成立，则可得出某更小的正整数使之成立。如此可得到一个无穷正整数列。而正整数是有下限的，故假设不成立。 ‎ 借助于无穷递降法，欧拉找到了n=4时的证明。随之便开始实始自己的计划，对一切n构造一种证明方法。除了要向上构造至无穷外，他还必须向下构造n=3的情形。为了将费马的证明延伸到n=3的情形，欧拉引入了一类特殊的复整数概念。通过修改费马的证明，即引入复整数a + bÖ–3后，无穷递降法也可证明n=3时的费马大猜想。欧拉的策略曾使他从著名的哥尼斯堡七桥问题很快发展出一般的网络理论。然而，面对费马大猜想，欧拉的这一方法却在走出第一步之后就显得举步维艰。他引进复整数的方法在其他情形下并不凑效。‎ 截止欧拉的时代，数学家们对于费马大猜想所取得的进展慢得让人发窘，但情况还不像初看时感到的那么糟糕。这是因为，反证法可以使数学家们认识到如下事实，即如果证明了n=k的情形，数学家们便在实质上也证明了n为k的倍数时的情形。所以欧拉的工作实质上也证明了n= 6，9，12，15，……等多种情形。这使得我们想起，既然任何正整数都可以表成某些素数的乘积，那么，只要证明n取奇素数时费马大猜想成立，也就等于证明了费马大猜想对于所有正整数n都成立。在0和100之间有25个素数，除去2和3，只剩下23个。而且越往后素数的个数会越来越稀少。合数的个数似乎远远多于素数的个数，因此从表面上看来，费马大猜想的证明似乎也已经解决了一大半。然而，我们不要忘了欧几里得证明的那个结论，即素数的个数是无穷的。也就是说，我们仍然有无穷多个命题需要证明。转而考虑n 68‎ 为奇素数时的费马大猜想，并没有在实质上给我们带来任何解决问题的希望。但这一思想却为下一次关于证明费马大猜想的突破指明了方向。‎ 就在欧拉声称他证明了n=3情形下的费马大猜想之后半个世纪，关于费马大猜想的证明又迎来了第二次突破性成果。取得此次突破的是一位年轻的法国女性，她叫索菲·热尔曼。据传热尔曼在13岁时便被阿基米德之死的故事所震憾：如果一个人会如此痴迷于一个数学问题而不顾生死，那么数学必定是世界上最迷人的学科了。从此他便开始迷恋于数学。为了寻求数学知识，热尔曼冒名一位退学的男生，进入巴黎综合工科学校学习。不久，她的才华便得到了拉格朗日的赏识。在拉格朗日的鼓励下，热尔曼开始与高斯通信。正是在与高斯的通信过程中，她提出了自己关于费马大猜想的若干想法。‎ 图9-3 热尔曼(1776-1831)‎ 热尔曼采用了一种新的策略：她直接的目标并不是去证明一种特殊情形下的费马大猜想，而是一次就得出适合许多情形的解答。即当p和2p+1皆为素数时，xp + yp、= zp大概无整数解。今天我们已习惯于将使得(2p+1)也为素数的那类素数p称为热尔曼素数，以纪念这位女性。而这里的“大概”意指，对于n为热尔曼素数时，费马方程有解存在是不太可能的。因为如果有解存在，那么x, y中的一个或z 将是n的倍数，而这就将对解加上非常严格的限制。热尔曼的工作，使得费马大猜想的证明被划分为两种情形。即在p为奇素数时，方程xp + yp、= zp无其积不能被p整除的整数解，和方程xp + yp、= zp也无其积可以被p整除的整数解。热尔曼自己验证了在p<100时，第一种情形成立。在热尔曼的工作基础上，1825年，狄利克雷（1805-1859）和勒让德（1752-1833）独立证明了n=5的情形。当时狄利克雷刚刚20出头。即1839年，拉梅对热尔曼的方法作了进一步的巧妙补充，并证明了n=7的情形。热尔曼的思想使得数学家看到了解决费尔马问题的一线曙光。于是法国科学院设立了一系列鼓励措施，以奖励能最终揭开费马大猜想神秘面纱的数学家。‎ 图9-4 拉梅(1795-1870)‎ ‎1847年3月1日，巴黎科学院开会，拉梅宣称他证明了费马大定理，而且报告了他的证明梗概。拉梅的策略是想把自己对n=7时的证明方法推广到一般情形。为了把费马方程的左端分解成一次因子，拉梅借用了1的n次复根，从而引入了分圆整数的概念。事实上，欧拉对n=3就是这么做的，而且拉格朗日曾指出，在研究费马大定理时，可以引入n次单位根把xn+yn分解成n个一次因子的乘积。拉梅在引入分圆整数后，不加证明地把通常的素数理论推广到分圆整数上，从而埋下了失败的伏笔。这个表面上没有问题的证明当时就遭到刘维尔的反对，因为他看出了拉梅证明中的薄弱环节：在分圆整数域中，素因子唯一分解定理并不成立。不过拉梅的证明过程所存在的主要问题，却导致了一个全新的数学领域的诞生：（1）在分圆整数域Z(e)之中，两个整数的最大公因数是什么？（2）分圆整数ab是一个分圆整数的p次幂，且a和b没有公因数或说互素时，是否可以推出a和b也是分圆整数的p次幂？（3）对Z(e)，素因子唯一分解定理是否成立？（4）假设素因子唯一分解定理成立，如何定义单位元？所有这些问题不久就变成了代数数论中的主要问题，可以说，它们是在解费尔马大定理过程中得到的一个大金蛋。‎ ‎2.3 产下金蛋 68‎ 就在拉梅准备发表他的论文时，法国科学院收到了德国军事工程专家库默尔的来信。根据拉梅事前透露的信息，库默尔发现法国人正在走入一条逻辑死胡同：他们的证明都要借助“唯一因子分解定理”，而该定理对于复整数是不成立的。为了重建唯一因子分解定理，库默尔创立了理想数理论，使得数域的内涵得到再次扩张。利用理想数理论，库默尔成功证明对于许多素数费马大定理成立。不过，库默尔的工作也使人们意识到费马大定理的完整证明是当时的数学方法不可能实现的。这是数学逻辑的光辉一页，但也是对希望能解决这个世界上最为棘手的数学问题的整整一代数学家的巨大打击。‎ 图9-5 库默尔(1810-1893)‎ 库默尔的工作沉痛地打击了那些试图证明费马大猜想的热心者，但却为代数数论的进一步发展开辟了一片新天地。代数数论的创立人是高斯。在19世纪以前，数论只是一系列孤立的结果，但自从高斯在1801年出版了他的《算术研究》之后，数论作为现代数学的一个重要分支才得到系统发展。《算术研究》中有三个主要思想：同余理论，复整数理论和型的理论。其中复整数理论正是代数数论的开端。而这个理论又是从高斯对同余理论的研究中派生出来的。高斯的理论进一步扩展了数的概念。现在，我们可以给整个数系或它的一个子系统中加入任何数原子而形成新的数系。而且这些数也不一定是单一的一个个的数，而每个数可能是某类数的总称，但它仍可以象单个的数一样参与运算。‎ 人们普遍认为高斯是在证明了欧拉发现的二次互反律之后，为了将其结论推广到三次或四次互反律而引进复整数的，但我们有理由相信，他的某些思想原本是他在探寻证明费马定理的过程中所获得的结果。有证据显示，高斯曾研究过n=3和n=7情形的费尔马定理。只是高斯平生比较谨慎，对于自己没有完全把握的事很少声张而已，这从他对非欧几何的工作也可见一般。高斯对各种数域中的素因子唯一分解定理给予了高度重视。他明确指出，在复整数域中，若不把四个可逆单位元素作为不同的因数，那么，唯一因子分解定理仍然成立。高斯的学生戴德金以全新而富有启发性的方式探讨唯一分解问题。1871年，他推广了高斯的复整数和库默尔的代数数理论，创立了现代 代数数 理论。在代数数的概念一般化之后，戴德金就用一种不同于库默尔的做法来重建代数数域中的唯一因子分解定理，他引进了 代数数类 代替 理想数， 为了纪念库默尔的理想数，今天，我们就把它们称为 理想。代数数论的工作，在十九世纪末被希尔伯特推至顶峰。‎ 数学上一个看似平常的特殊问题，有时甚至会对数学本身的发展产生难以估量的影响。费马大猜想与代数数论的关系就是这方面的一个极好的例子。代数数论本来是研究费马大猜想的一种方案，而现在，自身却变成了一个目的。它的创立被认为十九世纪代数学上最大的成就。难怪在问及为何不设法证明费马大猜想时，希尔伯特的回答却是：“我为什么要杀死一只会产金蛋的鹅”。当然，希尔伯特的话还有另一层含义。1908年，德国人沃尔夫斯凯尔遗赠10万马克为解决费尔马大定理设奖，这笔奖金颁发之前，其利息交由格廷根科学院一个委员会处置，而希尔伯特是该委员会的主席。于是在定理尚未证明之前，希尔伯特有权将其利息用来发展格廷根的数学事业。‎ 面对费马大定理一时难以证明的事实，数学家们不再在库默尔和其他19世纪数论学家的工作上添砖加瓦，而是开始探索他们自己学科的基础，目的在于提出关于数的一些最基本的问题。罗素、希尔伯特、哥德尔先后开始了他们重建数学基础的工作。他们有一个目的，就是要弄清楚数学的最深刻的性质以便掌握它们的真实意义和发现哪些问题是数论能够解决的，更重要的是发现哪些问题是数论无法回答的。1931年哥德尔的不完全性定理发表以后，给所有正在坚持尝试证明费马大猜想的数学家送去了令人烦恼的信息——‎ 68‎ 或许费马大猜想是不可判定的！数学家们花了几个世界的时间却是在寻找一个根本不存在的证明。然而，奇怪的是，根据哥德尔的理论，如果费马大猜想结果是不可判定的，那么这将隐含着它必定是对的。关于这一点，反证法的思想仍然可以给我们一点说明：大定理说费马方程无解。如果大定理事实上是错的，那么就有可能通过确定一个解（一个反例）来证明这一点。于是，大定理将是可判定的。也就是说，是错的将与不可判定不相容。‎ ‎3. 神秘的终结者 ‎3.1 终结者降生 现在终于轮到终结者出场了。怀尔斯于1953年4月11日生于英国剑桥。从10岁起，费马大定理就一直是他最大的兴趣所在。在随后的十几年里，怀尔斯所做的大部分事情都是为迎接费马的挑战作着准备。然而，当他步入剑桥大学开始自己的研究生学业之后，他不得不暂时放弃自己的梦想：“我进入剑桥时，我真正把费马大定理搁在一边了。这不是因为我忘了它，它总在我的心头，而是我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技术已经反复使用了130年。这些技术似乎没有真正地触及问题的根本所在。”‎ 怀尔斯于1975年进入剑桥大学，跟随导师从事“椭圆曲线”的研究。所谓椭圆曲线实质上是一些特殊形式的三次不定方程，之所以如此称呼，是因为它们在过去常常被用来计算椭圆的周长和行星轨道的长度。为了清晰起见，我们不妨称其为椭圆方程。椭圆方程之所以特别吸引人，原因在于它们占有一个很有意思的地位——介于别的较简单的几乎是平常的方程与另一些复杂得多甚至是不可能解出的方程之间。通过简单地改变一般椭圆方程中的系数值，数学家可以构造出无穷多种方程，每种都有自己的特性，但它们都恰好是可解的。‎ 在怀尔斯读研期间研究的方程中，决定其解的确切个数是非常困难的。因而取得进展的唯一办法是将问题简化。为此，数学家们采取了一种类似于时钟的算法，即同余类算法。数可以被想象成为沿着一条无穷伸展的数轴上的点。为了使数的范围有限，时钟算术采用了截断这条数直线并将其绕回去的方法构成一条环路。因为在时钟算法中，数的同余类是有限的，对给定的时钟算术算出椭圆方程的所有可能的解就相对容易完成。由于在无限个数的范围内无法列出一个椭圆方程的所有解，数学家们（包括怀尔斯）就改为在各种不同的时钟算术中求出解的个数。概括地说，一个椭圆方程若在n 格时钟算法中有m个解，数学家们就会写下一个记号En = m。把该椭圆方程在每个时钟算法中的解的个数列成一张表，它就是椭圆方程对应的L序列。L序列浓缩着关于它描述的那个椭圆方程的许多信息。如同生物中的DNA携带着构成生命组织所需的全部信息一样，L序列携带着椭圆方程的本质要素。数学家们希望通过研究L序列这个方程的DNA，最终能够算出他们曾想要知道的有关椭圆方程的一切东西。‎ 怀尔斯在导师的指导下，很快就对椭圆方程及其L序列具有了深刻理解。3年的研究生学习，已经为怀尔斯彻底解决费马大猜想奠定了坚实的基础。可是我们的这位注定了将要成为终结者的主人公，当时对此却并无知觉。要让其意识到自己的使命，还必须等待其他一些人物的出场。1978年，怀尔斯取得博士学位。之后便横渡大西洋前往普林斯顿大学工作。‎ ‎3.2 朗兰兹纲领 68‎ 也是在普林斯顿，时间回溯至1967年，一位名叫朗兰兹的数学家提出一个猜想，意思大概是在数论、自守形式、表示论之间存在着一种对应关系。后来他将这一猜想进一步拓展，试图寻找所有主要数学领域之间原本就存在着的统一的连接链环。朗兰兹争取说服其他数学家加入这个被称为朗兰兹纲领的计划，齐心协力地寻找这种链环的存在性。如果这个梦想成图9-6 朗兰兹(1936-)‎ 为现实，则其回报将是巨大的：在某个数学领域中无法解答的任何问题，可以通过这种链环被转换成另一个领域中相应的问题，而在那里有一整套新武器可以用来对付它。如果仍然难以找到答案，那么可以把问题再转换到另一个数学领域中，继续下去直到它被解决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能够解决曾经是最深奥最难对付的问题，办法是领着这些问题周游数学王国的各个风景胜地。‎ 截止70年代，朗兰兹纲领已经成了数学未来的一份蓝图，但这条通向问题解答者天堂的道路却被一个简单的事实所阻拦，即没有人有任何切实可行的方法来证明朗兰兹的任何一个猜想。在数学王国的所有岛屿之间，似乎只有一座桥梁若隐若现，那就是谷山-志村猜想。它的提出者是两位日本数学家，谷山丰和志材五郎。后者今天依然健在，而前者却在英年31岁时自杀身亡。谷山志村猜想使人们看见了椭圆方程与模形式两个截然不同的数学世界间隐藏着一座沟通桥梁。模形式（modular forms）是数学中最为深奥的内容之一。处于四维“双曲空间”中的模形式在外形和规模上是各种各样的，但好在每一个都是由相同的一些基本要素构造出来的，各个模形式之间的差别在于它包含各种要素的量不同。模形式的要素可以从1开始编号到无穷，因此一个特定的模形式可能包含1个1号要素，3个2号要素，2个3号要素，等等。这些刻画了模形式是如何构造的信息可以概括成为所谓的模序列，或称M序列，即要素(n)及每一要素所需要的数量(k)组成的表Mn=k。M序列是模形式的DNA。模形式是一种异乎寻常的复杂对象，之所以要研究它，主要是因为它的对称性以及由于它只是在19世纪刚被发现。然而，谷山和志村却使数学界震惊地想到椭圆方程和模形式实质上是完全相同的东西。按照这两位有独特见解的数学家的说法，他们能够将模世界与椭圆方程世界统一起来。‎ 这是一个惊人的发现，表面上完全不同的研究方向之间存在的联系对于创造新的成果至关重要，这一点在数学中与在别的学科中是一样的。这种联系暗示着存在某种深藏的使这两个方向都更为增色的真理。谷山志村的猜想在两个原本被独立研究着的数学领域内设计了一座桥梁。数学中的桥有着巨大的价值。它们使生活在孤岛上的各个数学家能够相互交流想法，探讨彼此的创造。数学是由未知海洋中的一个个知识孤岛组成的。谷山志村猜想的巨大潜力在于它将沟通这两个孤岛。使孤岛上操有不同语言的数学家们可以彼此对话。有人曾形象地将其比作罗赛塔石碑。谷山志村猜想的证明将会是实现朗兰兹纲领的第一步，正因为如此，它成为了现代数论中最有价值的猜想之一。‎ 在朗兰兹纲领的引领下，一些急切的热心解题者，已经开始在这座尚未建成的桥梁上搭建大厦。欧几里得的反证法在此再次发挥了它巨大的作用。1984年，一位名叫格哈德·费赖的人给出了如下猜想：假如谷山志村猜想成立，则费尔马猜想为真。通过将费马方程转变为一个椭圆方程，我们姑且称其为弗赖椭圆方程，费赖进行了如下推理：当且仅法费马大猜想是错的，则存在弗赖椭圆方程；弗赖椭圆方程是如此地古怪以致它决不可能被模形式化；谷山-志村断言每一个椭圆方程必定可以模形式化；因而谷山-志村猜想必定是错的。将这一推理过程倒转过来，即可证明他的猜想成立。费赖的杰出见解在1986年由肯·‎ 68‎ 里贝特给出完整严密的证明。从此，费马大定理不可摆脱地与谷山志村猜想联结在一起，如果有人能证明每一个椭圆方程都可以模形式化，那么这就隐含费马方程无解，于是可立即证明费马大定理。‎ ‎3.3 终结之路 自怀尔初识费马大定理以来，已经20多年过去了，但现在，他第一次望见了一条实现童年梦想的道路。他虽然懂椭圆方程，但他也清楚即使凭借自己广博的基础知识和数学修养，未来的工作仍然极为艰巨。于是他把自己关在阁楼上，着手筹划着一次终结之旅。怀尔斯决定要完全独立和保密地进行研究。现代数学已经发展成为一种合作性的文化。因此，怀尔斯的决定似乎使他返回到了以前的时代，仿佛他正在仿效着著名的数学隐士费马本人。‎ 为了证明费马大猜想，怀尔斯必须证明谷山志村猜想：每一个椭圆方程可以相关于一个模形式。即使在它与费马大猜想联系起来之前，数学家们也曾徒劳地试图证明这个猜想，但每一次尝试都以失败而告终。经过一年多的思考，怀尔斯决定采用归纳法的一般方法作为他的证明基础。尽管这是一个传统的证明方法，但却是一种极其有效的证明形式，因为它允许数学家通过只对一种情形证明某个命题的办法，来证明该命题对无限多个情形都成立。归纳法的基本思路在于：先证明命题对第一种情形成立；再证明若该命题对任何一种情形成立，则它一定对下一个情形成立。‎ 怀尔斯面临的挑战是，构造一个归纳法的论证来证明无穷多个椭圆方程中的每一个都和无穷多个模形式中的每一个相配对。借助于伽罗瓦发明的群理论，怀尔斯在他的归纳法上走出了证明的第一步。怀尔斯一改数学家以往对待谷山志村猜想的方法，借助于L序列和M序列的自然顺序，创造性的证明了每一个L序列的第一个元素可以与M序列的第一个元素相配对。怀尔斯要走出的第二步是证明，如果L序列的任一个元素和M序列的对应元素配对，那么下一个元素必定也可以配对。‎ 然而就在他秘密地工作了两年之后，1988年，《华盛顿邮报》和《纽约时报》等都以头版标题宣布了费马大猜想已被一位日本数学家宫冈洋一（Yoichi Miyaoka）所证明的消息。这不能不令怀尔斯大吃一惊。宫冈洋一是从一个全新的角度，即从微分几何学的角度出发来处理费马问题的。他依据的是一种所谓的并行论哲学，即希望通过考察微分几何学中对应的已被解答的问题来解决数论中未解答的问题。这其实也是朗兰兹纲领的一部分。尝试解决数论中问题的微分几何学家被称为 算术代数几何学家，1983年，他们宣布了第一个重大胜利。当时也在普林斯顿的 法尔廷斯 对理解费马大定理作出了一个重要贡献。他并没有给出费马大定理的完整证明，但他的工作至少已经能够排除费马方程有无限多个解的可能。而这一次，宫冈宣称他更进了一步。他在20出头时就提出了一个有关所谓宫冈不等式的猜想。已经清楚的是，如果他自己的这个几何猜想得到证明，那么这将表明费马方程解的个数不仅仅是有限的，而且只能是零。宫冈和怀尔斯的处理方式相似之处在于他们都试图通过把大定理与另一个不同数学领域中的基本猜想联系起来加以证明。这个数学领域在宫冈的情形中是微分几何，而对怀尔斯来说则是椭圆方程和模形式。‎ 图9-7 怀尔斯(1953-)‎ 然而在报纸刊出相关消息一个月过后，事实说明，怀尔斯仅仅是虚惊一场。不过像以前曾有的多次失败情形一样，宫冈还是作出了新的有趣的数学成果，他的证明中的许多独特的部分，作为微分几何学在数论中的精妙应用，具有其本身的存在价值。后来被一些别的数学家进一步发展，用于证明其他一些定理，不过决不是费马大猜想。‎ 68‎ 虚惊一场过后，为了走完归纳法中的第二步，彻底证明谷山志村猜想，从而证明费马大定理，怀尔斯几乎动用了20世纪及以前的大部分数学工具。1993年6月，怀尔斯回到剑桥，在那里，他终于可以公布自己七年来所取得的成果了。然而，就在怀尔斯将他的证明手稿投交Inventiones Mathematicae之后，不幸的事情还是发生了。怀尔斯的证明中存在着一个小问题。不过，在查德·泰勒的协助下，经过一年多的努力。问题获得圆满解决。1994年10月5日，从普林斯顿送出了两份手稿，《模椭圆曲线和费马大定理》（安德鲁·怀尔斯）、《某些赫克代数的环论性质》（理查德·泰勒和安德鲁·怀尔斯）。这一次，对证明不再有怀疑了。这两篇论文总共130页，作为历史上核查得最彻底的数学稿件，最终发表在《数学年刊》（Annals of Mathematics，1995年5月）上。‎ 怀尔斯的工作完全可以为自己赢得费尔兹奖，可惜的是，在正式完成证明的时候，他刚刚度过了获奖的年限。1996年3月，怀尔斯与朗兰兹共同分享了10万美元的沃尔夫奖（Wolf Prize），这算是数学界里的终身成就奖。此外，沃尔夫斯凯尔奖的最后申请期限还没有截止。1997年6月27日，怀尔斯还收到了价值5成美元的沃尔夫斯凯尔奖。可以肯定的是，怀尔斯的证明不同于费马的证明，对于费马遗失的证明，数学家们仍然莫终于是。不容置疑的是，怀尔斯的确利用20世纪的方法证明了一个17世纪的难题。‎ 在怀尔斯经受严峻考验的8年中，他实际上汇集了20世纪数论中所有的突破性工作，并把它们融合成一个万能的证明。他创造了全新的数学技术，并将它们和传统的技术以人们从未考虑过的方式结合起来。通过这样的做法，他开辟了处理为数众多的其他问题的新思路。谷山志村猜想，现在应该称谷山志村定理的重要性前已提及，怀尔斯使宏伟的朗兰兹计划跨出了第一步。现在，在数学的其他领域之间证明统一化猜想的努力又重新恢复起来。‎ ‎4. 无尽的追求 ‎4.1 未解之谜 成功之后的失落感是难免的，为了把最杰出的证明之一献给数学，怀尔斯不得不使数学丧失了一个最诱人的谜。此后的一段时间里，常常有人半开玩笑的对怀尔斯讲，你夺走了我们想要解决的问题，现在是否能给我们一点别的事情做做。‎ 其实世界上的解谜者们无需失去希望，因为还有大量未解决的数学难题。这些艰深的问题中有许多像费马大定理一样起源于古希腊的数学，并且中学生都能理解。例如关于完全数还有许多不解之谜（它们都是偶数吗？它们有无穷多吗？）。素数理论也是如此，如孪生素数问题（(5,7), (17,19), (22271,22273), (1 000 000 000 061, 1 000 000 000 063)这样的数对有多少？），哥德巴赫猜想（1742年哥德巴赫写信问欧拉是否能够证明每个偶数可以分解成两个素数之和， 1966年陈景润证明了“每个大偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，这是迄今在哥德巴赫猜想方面最好的结果。如同谷山志村猜想之于费马大猜想一样，有人证明了如果黎曼猜想成立，则哥德巴赫猜想也成立，可在如何证明黎曼猜想方面，迄今取得的成就仍然少得可怜。）等等，此外，还有连接数论与函数论领域的黎曼猜想，拓扑学的的庞加莱猜想，像这样具体的问题举不胜数。以下让我们仅从战略上来看看费马大定理解决后的数学格局。‎ ‎(1)费马大定理只是千千万万个丢番图方程中的一个，其它许许多多丢番图问题并未解决，或者并没有彻底解决，而这些方程仍将成为数学继续前进的动力。(2)费马大定理引出的代数数论已经成为一门独立的前沿学科，它经历过代数数理论、类域论、局部理论、非阿贝尔理论，现已汇入朗兰兹纲领的框架之中，与许多学科，如代数K理论，群表示等密切相关。另外，它的一些原始问题如类数的计算仍是令人头痛的事。(3)代数数论与代数几何已密不可分，特别是韦依猜想证明之后，这种关系越发密切，有一些统一的猜想，如贝林森猜想等正等待大手笔的解决。(4)‎ 68‎ 代数曲线论仍然还有一些遗留问题，特别是椭圆曲线的三大猜想仍然迫在眉睫，但是，人们已经开始向代数曲线进军了。(5)更一般的理论，数论和代数几何的理论和工具库中还有许多我们没有提过的理论如动形理论等（motive）。‎ ‎4.2 目的何在 费马大定理从提出到解决，历时三个半世纪。一代代的数学家们为之前赴后继。那么究竟是什么原因使人们对它如此着谜呢？也许我们的认识有些浅陋，但不妨说来一听。‎ 有两个原因使一代又一代的数学家着迷于费马大定理。首先是一种极为强烈的要胜人一筹的意识。大定理是最高的测试，无论谁能证明它，谁就在欧拉、高斯、柯西、库默尔以及无数别的人曾经失败过的地方取得了成功。正像费马本人从解决使他的对手难倒的问题中得到很大的乐趣一样，谁能证明大定理，谁就会因自己解决了一个困惑整个数学界长达几百年的问题而感到非常愉快。其次，无论谁能响应费马的挑战，他就会享受到解谜时的那种单纯的满足感。这种来自于解答数论中深奥问题的喜悦是与一般智力游戏时的单纯乐趣并无多大差别。这也正是怀尔斯被费马定理吸引的原因。（怀尔斯曾说过：“纯粹数学家就是爱好挑战。他们喜欢解答未解决的问题。做数学时会产生一种极好的感觉。……费马大定理是这类问题中最典型的例子。”）‎ 希尔伯特似乎站得更高，看得更远，他说：“某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人工作中所起的重要作用是不可否认的。……数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”‎ 其实此前我们已经说过，真正的纯粹数学家是最不懂实际的人。数学在科学技术中有它的重要作用，但这不是驱使数学家们的动力，激励数学家们的是因发现而得到的乐趣。毕达哥拉斯为了自己的哲学而得罪了一位小人，从而失去了自己的学派。欧几里得驱逐了一位追求实惠的学徒，庆幸的是他没有因此受到恶意的报复。费马放弃自己对多种数学思想的发明权，而沉迷于解决数论问题所带来的乐趣之中。这种数论，曾被哈代称为最无用的学问。哈代说他从来不做有用的事。曾以弈棋比喻过欧几里得反证法的哈代又一次谈起了弈棋：‎ ‎“如果栾棋中的问题是“无用的”，那么对于绝大多数最出色的数学来说也同样如此……我从未完成过任何“有用处”的工作。在我做出的发现中没有一个使世界的舒适方便发生过或者可能发生丝毫的变化，不管是直接的还是间接的，有益的还是有害的，从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零：在数学圈之外，它不管怎样是没什么价值的。我只有一种选择才能免得被裁决为完全无价值，那就是可以认为我创造了某些值得创造的东西。”‎ 为费马大定理的证明最初设计了桥梁的志村五郎也说过：我持有至善至美的哲学观。数学应该容纳善和美。……大多数数学家是按某种审美观点来做数学的，至善至美哲学观来自于我的审美观。‎ 以下再让我们来听听，我们的终结者怎么说：“当时谷山和志村的猜想正席卷全世界。每个人都感到它很有意思，并开始认真地看待关于所有椭圆方程是否可以模形式化的问题。这是一段非常令人兴奋的时期。当然，唯一的问题是它很难取得进展。我认为，公正地说，虽然这个想法是漂亮的，但它似乎非常难以真正地证明，而这正是我们数学家主要感兴趣的一点。”“研究费马可能带来的问题是，你也许会虚度岁月而一无所成。只要研究某个问题时能在研究过程中产生使人感兴趣的数学，那么研究它就是值得的——即使你最终也没有解决它。判断一个数学问题是好是坏，其标准就是看它能否产生新的数学，而不是问题本身。”‎ 参考文献：‎ 1、 胡作玄：350年历程，从费尔马到维尔斯。山东教育出版社 2、 ‎[英]西蒙·辛格：费马大定理，一个困惑了世间智者358年的谜。上海译文出版社 3、 刘逸，纪志刚：数学史导引。北京师范大学出版社 68‎ 1、 哥德巴赫猜想 2、 黎曼猜想 3、 庞加莱猜想 68‎